湖南省娄底市新化县2024年九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共8页湖南省娄底市新化县2024年九年级数学第一学期开学监测试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）七位评委对参加普通话比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下了5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数2、（4分）在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点，OA=OD=4，点C(0,-1)，AB=5，点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界)，则a的取值范围是()A．-3<a<4 B．-1<a<4 C．-3.5<a<4 D．-3<a<7.53、（4分）下列关于变量的关系，其中不是的函数的是（）A．B．C．D．4、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，若，则（）A．15.5 B．16.5 C．17.5 D．18.55、（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF＝30°．设DE＝x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的（）．A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF6、（4分）甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如下表所示：选手甲乙丙丁方差0.0350.0360.0280.015则这四人中成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7、（4分）若，则下列变形错误的是（）A． B． C． D．8、（4分）某汽车制造厂为了使顾客了解一种新车的耗油量，公布了调查20辆该车每辆行驶100千米的耗油量，在这个问题中总体是（）A．所有该种新车的100千米耗油量 B．20辆该种新车的100千米耗油量C．所有该种新车 D．20辆汽车二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐次数，并给制成如图所示的频数分布直方图，请根据图中信息，计算仰卧起坐次数在次的频率是______10、（4分）与最简二次根式是同类二次根式，则a＝__________.11、（4分）如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为cm．12、（4分）如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______.13、（4分）如图，在宽为10m，长为30m的矩形地块上修建两条同样宽为1m的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据计算，耕地的面积为m1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图1，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交x轴于点A(8，0)，交y轴正半轴于点B．(1)求点B的坐标；(2)如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB=BC，P为线段AB上一点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，M为CA延长线上一点，且AM=CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标及PN的长度；若不存在，请说明理由.15、（8分）如图，已知点A在反比例函数（x＞0）的图像上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图像经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是，求一次函数y=kx+b的表达式．16、（8分）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连结DE．（1）当E在线段BC上时①若DE=5，求BE的长；②若CE=EF，求证：AD=AE；（2）连结BF，在点E的运动过程中：①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；②记△ADF的面积为S1，记△DCE的面积为S2，当BF∥DE时，请直接写出S1：S2的值．17、（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．18、（10分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，AE=AB，连结AC、DE、CE．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形．（2）若AB=AC，AD=4，CE=6，求四边形ACDE的面积．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m＝_____．20、（4分）定义一种运算法则“”如下：，例如：，若，则的取值范围是____________.21、（4分）一只不透明的袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同．搅均后从中任意摸出1个球，摸出白球可能性______摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．22、（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是________．23、（4分）如图，矩形中，，延长交于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点，，则=_________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B．（1）请直接写出点A的坐标：______；（2）点P为线段AB上一点，且点P的横坐标为m，现将点P向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得点P′在射线AB上．①求k的值；②若点M在y轴上，平面内有一点N，使四边形AMBN是菱形，请求出点N的坐标；③将直线l1绕着点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的解析式．25、（10分）阅读材料，解决问题材料一：《孟子》中记载有一尺之棰，日取其半，万世不竭，其中蕴含了“有限”与“无限”的关系.如果我们要计算到第n天时，累积取走了多长的木棒？可以用下面两种方法去解决：方法一：第n天，留下了尺木棒，那么累积取走了尺木棒.方法二：第1天取走了尺木棒，第2天取走了尺木棒，……第n天取走了尺木棒，那么累积取走了：尺木棒.设：……①由①×得：……②①－②得：则：材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=？据说当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确的答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.也可以这样理解：令S=1+2+3+4+…+100①，则S=100+99+98+…+3+2+1②①+②得：2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）=100×（1+100）即请用你学到的方法解决以下问题：（1）计算：；（2）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层的2倍，问塔的顶层共有多少盏灯？（3）某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，某一周，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，……其中第1项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推，求满足如下条件的正整数N：，且这一列数前N项和为2的正整数幂，请求出所有满足条件的软件激活码正整数N的值.26、（12分）如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点．（1）求，，的值；（2）请直接写出不等式组的解集．

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】

根据平均数、中位数、极差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到平均数、极差，可能会影响到众数，一定不会影响到中位数，故选B.此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握各性质定义.2、D【解析】

只要求出点B的横坐标以及直线AD与直线BC交点的横坐标值即可.【详解】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理得OB=A∴B(-3,0)∵OA=OD=4∴A(0,4),D(4,0)设直线AD的解析式为y=kx+b，将A(0,4),D(4,0)代入得：b=44k+b=0，解得b=4k=-1，所以直线AD的解析式为同理由B(-3,0)，C(0,-1)两点坐标可得直线BC的解析式为y=-联立得y=-x+4y=-13x-1，解得x=7.5y=-3.5，所以直线AD因为点B与直线AD与直线BC交点处于阴影部分的最边界，所以由题意可得-3<a<7.5.故选：D本题考查了平面直角坐标系及一次函数，灵活应用待定系数法求函数解析式是解题的关键.3、D【解析】

根据函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而判断得出即可．【详解】解：选项ABC中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故y是x的函数；

只有选项D中，x取1个值，y有2个值与其对应，故y不是x的函数．

故选D．此题主要考查了函数的定义，正确掌握函数定义是解题关键．4、C【解析】

根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABF，再根据同高的三角形的面积之比等于底的比得出△BEF的面积，则=+即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：5，∵=2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴：=，即==12.5，∵同高的三角形的面积之比等于底的比，△DEF和△BEF分别以DF、FB为底时高相同，∴：=DF：FB=2：5，即==5，∴=+=12.5+5=17.5，故选C．本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比，解题的关键是掌握相似三角形的性质．5、B【解析】分析：求出当点E与点D重合时，即x=0时EC、AE、EF、BF的长可排除C、D；当点E与点C重合时，即x=2时，求出EC、AE的长可排除A，可得答案．详解：当点E与点D重合时，即x=0时，EC=DC=2，AE=AD=2，∵∠A=60°，∠AEF=30°，∴∠AFD=90°，在Rt△ADF中，∵AD=2，∴AF=AD=1，EF=DF=ADcos∠ADF=，∴BF=AB-AF=1，结合图象可知C、D错误；当点E与点C重合时，即x=2时，如图，连接BD交AC于H，此时EC=0，故A错误；∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAC=30°，∴AE=2AH=2ADcos∠DAC=2×2×=2，故B正确．故选：B．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象与菱形的性质、解直角三角形的应用，结合函数图象上特殊点的实际意义排除法求解是解此题的关键．6、D【解析】∵0.036>0.035>0.028>0.015,∴丁最稳定，故选D.7、D【解析】

根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解【详解】解：由得3a=2b,A.由可得：3a=2b,本选项正确；B.由可得：3a=2b,本选项正确；C.,可知本选项正确；D.,由前面可知本选项错误。故选：D本题考查了比例的性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．8、A【解析】

首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.【详解】解：在这个问题中总体是：所有该种新车的100千米耗油量；样本是：20辆该种新车的100千米耗油量；样本容量为：20个体为：每辆该种新车的100千米耗油量；故选：A.本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、0.4【解析】

根据计算仰卧起坐次数在次的频率.【详解】由图可知：仰卧起坐次数在次的频率.故答案为：.此题考查了频率、频数的关系：.10、1.【解析】

先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式，且＝1，∴a+1=3，解得：a=1．故答案为1．本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．11、8【解析】试题分析：根据图形以及等腰直角三角形的性质可得：正方形①的边长为64cm；正方形②的边长为32cm；正方形③的边长为32cm；正方形④的边长为16cm；正方形⑤的边长为16cm；正方形⑥的边长为8cm；正方形⑦的边长为8cm.考点：等腰直角三角形的性质12、3【解析】

先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．【详解】∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB=OD，AD=BC=6∵点E是CD的中点，∴CE=DE，∴OE是△BCD的中位线，∵AD=6，∴OE=AD=3.故答案为：3此题考查平行四边形的性质，解题关键在于利用OE是△BCD的中位线13、2．【解析】试题分析：由图可得出两条路的宽度为：1m，长度分别为：10m，30m，这样可以求出小路的总面积，又知矩形的面积，耕地的面积=矩形的面积-小路的面积，由此计算耕地的面积．由图可以看出两条路的宽度为：1m，长度分别为：10m，30m，所以，可以得出路的总面积为：10×1+30×1-1×1=49m1，又知该矩形的面积为：10×30=600m1，所以，耕地的面积为：600-49=2m1．故答案为2．考点：矩形的性质．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)B(0，6)；(2)d=﹣t+10；(3)见解析.【解析】【分析】(1)把A(8，0)代入y=﹣x+b，可求解析式，再求B的坐标；（2）先求点C(0，﹣4)，再求直线AC解析式，可设点P(t，﹣t+6)，Q(t，t﹣4)，所以d=(﹣t+6)﹣(t﹣4)；过点M作MG⊥PQ于G，证△OAC≌△GMQ，得QG=OC=4，GM=OA=8；过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，得四边形GHRM是矩形，得HR=GM=8；设GH=RM=k，由△HNQ≌△RMN，得HN=RM=k，NR=QH=4+k，由HR=HN+NR，得k+4+k=8，可得GH=NH=RM=2，HQ=6，由Q(t，t﹣4)，得N(t+2，t﹣4+6)，代入y=﹣x+6，得t+2=﹣(t+2)+6，求出t=2，再求P(2，)，N(4，3)，可得PH=，NH=2，最后PN=.【详解】解：(1)∵y=﹣x+b交x轴于点A(8，0)，∴0=﹣×8+b，b=6，∴直线AB解析式为y=﹣x+6，令x=0，y=6，B(0，6)；(2)∵A(8，0)，B(0，6)，∴OA=8，OB=6，∵∠AOB=90°，∴AB=10=BC，∴OC=4，∴点C(0，﹣4)，设直线AC解析式为y=kx+b’，∴，∴,∴直线AC解析式为y=x﹣4，∵P在直线y=﹣x+6上，∴可设点P(t，﹣t+6)，∵PQ∥y轴，且点Q在y=x﹣4上，∴Q(t，t﹣4)，∴d=(﹣t+6)﹣(t﹣4)=﹣t+10；(3)过点M作MG⊥PQ于G，∴∠QGM=90°=∠COA，∵PQ∥y轴，∴∠OCA=∠GQM，∵CQ=AM，∴AC=QM，在△OAC与△GMQ中，，∴△OAC≌△GMQ，∴QG=OC=4，GM=OA=8，过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90°，∴四边形GHRM是矩形，∴HR=GM=8，可设GH=RM=k，∵△MNQ是等腰直角三角形，∴∠QMN=90°，NQ=NM，∴∠HNQ+∠HQN=90°，∴∠HNQ+∠RNM=90°，∴∠RNM=∠HQN，∴△HNQ≌△RMN，∴HN=RM=k，NR=QH=4+k，∵HR=HN+NR，∴k+4+k=8，∴k=2，∴GH=NH=RM=2，∴HQ=6，∵Q(t，t﹣4)，∴N(t+2，t﹣4+6)即N(t+2，t+2)∵N在直线AB：y=﹣x+6上，∴t+2=﹣(t+2)+6，∴t=2，∴P(2，)，N(4，3)，∴PH=，NH=2，∴PN==.【点睛】本题考核知识点：一次函数综合应用.解题关键点：熟记一次函数性质，运用数形结合思想.15、（1）；（2）y=+2【解析】

（1）由AC=OC，设A（m,m）代入反比例函数得m2=9，求出A点坐标；（2）利用四边形ABOC的面积求出B点坐标，再用待定系数法确定函数关系式即可求出AB的解析式.【详解】（1）∵AC=OC∴可设A（m,m）∵点A（m,m）在y=的图像上∴m2=9∴m=±3∵x＞0∴m=3（2）∵AC⊥x轴，OB⊥x轴∴S四边形ABOC==(3+OB)·3=∴OB=2∴B（0，2）∵y=kx+b过点A（3，3），B（0，2）∴∴∴一次函数的表达式为y=+2此题主要考查反比例函数钰一次函数综合，解题的关键是求出A点坐标.16、（1）①BE＝2；②证明见解析；（2）①BE＝2；②S1：S2＝1【解析】【分析】（1）①在矩形ABCD中，∠B＝∠DCE＝90°，BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，由勾股定理求得CE的长，即可求得BE的长；②证明△CED≌△DEF，可得∠CED＝∠FED，从而可得∠ADE＝∠AED，即可得到AD＝AE；（2）①分两种情况点E在线段BC上、点E在BC延长线上两种情况分别讨论即可得；②S1：S2＝1，当BF//DE时，延长BF交AD于G，由已知可得到四边形BEDG是平行四边形，继而可得S△DEF＝S平行四边形BEDG，S△BEF＋S△DFG＝S平行四边形BEDG，S△ABG＝S△CDE，根据面积的知差即可求得结论.【详解】（1）①在矩形ABCD中，∠B＝∠DCE＝90°，BC＝AD＝5，DC＝AB＝4，∵DE＝5，∴CE＝=3，∴BE＝BC-CE=5-3=2；②在矩形ABCD中，∠DCE＝90°，AD//BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE，∵CE＝EF，DE＝DE，∴△CED≌△DEF（HL），∴∠CED＝∠FED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE；（2）①当点E在线段BC上时，AF＝BF，如图所示：∴∠ABF＝∠BAF，∵∠ABF＋∠EBF＝90°，∠BAF＋∠BEF＝90°，∴∠EBF＝∠BEF，∴EF＝BF，∴AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝5，在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，∴CE＝3，∴BE＝5－3＝2；当点E在BC延长线上时，AF＝BF，如图所示，同理可证AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝5，在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，∠DCE＝90°，∴CE＝3，∴BE＝5＋3＝8，综上所述，可知BE=2或8；②S1：S2＝1，解答参考如下：当BF//DE时，延长BF交AD于G，在矩形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，AB＝CD，∠BAG＝∠DCE＝90°，∵BF//DE，∴四边形BEDG是平行四边形，∴BE＝DG，S△DEF＝S平行四边形BEDG，∴AG＝CE，S△BEF＋S△DFG＝S平行四边形BEDG，∴△ABG≌△CDE，∴S△ABG＝S△CDE，∵S△ABE＝S平行四边形BEDG，∴S△ABE＝S△BEF＋S△DFG，∴S△ABF＝S△DFG，∴S△ABF＋S△AFG＝S△DFG＋S△AFG即S△ABG＝S△ADF，∴S△CDE＝S△ADF，即S1：S2＝1.【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活用相关知识是解题的关键.17、(1)﹣4≤y＜1；（2）点P的坐标为（2，﹣2）.【解析】

利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（1）利用一次函数增减性得出即可．（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．【详解】设解析式为：y=kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，解得：，∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=1，把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y＜1．（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n=﹣2m+2，∵m﹣n=4，∴m﹣（﹣2m+2）=4，解得m=2，n=﹣2，∴点P的坐标为（2，﹣2）．考点：1、待定系数法求一次函数的解析式，2、一次函数图象上点的坐标特征，3、一次函数的性质18、(1)证明见解析；(2)12.【解析】

（1）根据题意得到且，可得四边形ACDE为平行四边形；（2）先证四边形ACDE为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可.【详解】解：(1)在中，，．，∵，．四边形ACDE为平行四边形．(2)∵，，．四边形ACDE为菱形．∵，，．本题考查了平行四边形和菱形的判定和性质，能够熟练应用基础知识进行推理是解题关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、-3【解析】点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则20、【解析】

根据新定义列出不等式即可求解.【详解】依题意得-3x+5≤11解得故答案为：.此题主要考查列不等式，解题的关键是根据题意列出不等式进行求解.21、小于【解析】

先分别求出摸出各种颜色球的概率，再进行比较即可得出答案．【详解】解：∵袋子中有1个白球、1个红球和2个黄球，共有4个球，∴摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是=，∴摸出白球可能性＜摸出黄球的可能性；故答案为小于．本题主要考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．22、x≤1【解析】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可.详解：∵二次根式有意义，被开方数为非负数，∴1-x≥0，解得x≤1.故答案为x≤1.点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键.23、【解析】

通过四边形ABCD是矩形以及，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．【详解】解：如图，设NE交AD于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC∵，∴△BCE为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN⊥BE，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，KE=，∴NE=NK+KE=6+，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+，∴BE=，∴BC=BE=，故答案为：本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）（0，1）；（2）①k=；②N（-3，）；③直线

l2的解析式为y=x+1．【解析】

（1）令，求出相应的y值，即可得到A的坐标；（2）①先设出P的坐标，然后通过点的平移规律得出平移后的坐标，然后将代入中即可求出k的值；②作AB的中垂线与y轴交于M点，连结BM，分别作AM，BM的平行线，相交于点N，则四边形AMBN是菱形,设M（0，t），然后利用勾股定理求出t的值，从而求出OM的长度，然后利用BN=AM求出BN的长度，即可得到N的坐标；③先根据题意画出图形，过点B作BC⊥l1，交l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D，利用等腰三角形的性质和AAS证明△AOB≌△BDC，得出AO=BD，OB=DC，进一步求出点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线l2的解析式．【详解】（1）∵y=kx+1与y轴交于点A，令，，∴A（0，1）．（2）①由题意得：P（m，km+1），∵将点P向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得点P′，∴P′（m-3，km），∵P′（m-3，km）在射线AB上，∴k（m-3）+1=km，解得：k=．②如图，作AB的中垂线与y轴交于M点，连结BM，过点B作AM的平行线，过点A作BM的平行线，两平行线相交于点N，则四边形AMBN是菱形．，，当时，，解得，∴．设M（0，t），则AM=BM=1-t，在Rt△BOM中，OB2+OM2=BM2，即32+t2=（1-t）2，解得：t=，∴M（0，），∴OM=，BN=AM=1-=，∴N（-3，）．③如图，过点B作BC⊥l1，交l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D．则∠ABC=∠BDC=90°，∵∠BAC=15°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠ABO+∠CBD=90°，又∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠CBD，在和中，∴△AOB≌△BD