北京市师范大附属中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共3页北京市师范大附属中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学教学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130° B．150° C．160° D．170°2、（4分）甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶15km．设甲车的速度为xkm/h，依题意，下列所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3、（4分）下列关于直线的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于点C．随的增大而减小 D．与轴交于点4、（4分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80° B．120° C．100° D．90°5、（4分）下列函数：①y＝2x+1②y＝③y＝x2﹣1④y＝﹣8x中，是一次函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、（4分）下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．7、（4分）已知点P（1，-3）在反比例函数的图象上，则的值是A．3 B．-3 C． D．8、（4分）在中,,则的值是()A．12 B．8 C．6 D．3二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，将ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1=________．10、（4分）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差____．（填“＞”、“＜”或“＝”）11、（4分）在矩形中，，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为___________．12、（4分）如图，在正方形ABCD的右边作等腰三角形ADE，AD＝AE，，连BE，则__________．13、（4分）等腰梯形的上底是10cm，下底是16cm，高是4cm，则等腰梯形的周长为______cm．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在直角坐标系中，正方形OABC的边长为8，连结OB，P为OB的中点.（1）直接写出点B的坐标B（，）（2）点D从B点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段BC上向终点C运动，连结PD，作PD⊥PE，交OC于点E，连结DE.设点D的运动时间为秒.①点D在运动过程中，∠PED的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由如果不变，求出∠PED的度数②连结PC，当PC将△PDE分成的两部分面积之比为1:2时，求的值.15、（8分）如图，AD是△ABC的中线，AD＝12，AB＝13，BC＝10，求AC长．16、（8分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或.（1）已知、，试求A、B两点间的距离______.已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标及的最短长度．17、（10分）计算(1)(+)(﹣)(2)2﹣6+318、（10分）如图所示，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）连接AF和CE，当EF⊥AC时，判断四边形AFCE的形状，并说明理由B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是_____20、（4分）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，点、旋转后的对应点分别是点和，连接，则的度数是______．21、（4分）某校五个绿化小组一天植树的棵树如下：10、10、12、x、1．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是________．22、（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____（只需添加一个即可）23、（4分）不等式的正整数解是______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）计算：25、（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G；(1)求证：△ABE∽△EGB；(2)若AB＝4，求CG的长.26、（12分）因式分解：2

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】

根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE=30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故选C．考点：旋转的性质；平行四边形的性质．2、A【解析】

设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为（x-15）km/h，根据时间=路程÷速度结合甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为（x﹣15）km/h，根据题意得：＝．故选A．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3、D【解析】

直接根据一次函数的性质即可解答【详解】A.直线y=2x−5经过第一、三、四象限，错误；B.直线y=2x−5与x轴交于(,0)，错误；C.直线y=2x−5，y随x的增大而增大，错误；D.直线y=2x−5与y轴交于(0,−5)，正确故选：D.此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质4、B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理进行解答即可．【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5、B【解析】

根据一次函数的定义来分析判断即可，在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果满足这样的关系：y=kx+b(k为一次项系数且k≠0，b为任意常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量(又称函数）.【详解】解：①y＝2x+1是一次函数，②y＝是反比例函数，不是一次函数，③y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数，④y＝﹣8x是一次函数，故选：B．一次函数的定义是本题的考点，熟练掌握其定义是解题的关键.6、C【解析】

将各式化为最简二次根式后即可判断【详解】(A)原式=2,故不能合并,(B)原式=3,故不能合并,(C)原式=2,故能合并,(D)原式=,故不能合并,故选C此题考查二次根式，掌握运算法则是解题关键7、B【解析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（1，-1）代入，得，解得k=－1．故选B．8、C【解析】

证明△ABC是等边三角形即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=6，故选：C．本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、70°【解析】

解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，∴∠BCD=∠A=110°，∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．故答案为：70°．10、＞【解析】

先分别求出各自的平均数，再根据方差公式求出方差，即可作出比较．【详解】甲的平均数则乙的平均数则所以本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握方差的求法，即可完成．11、【解析】分析：由S△ABP=AB•h=15，得出三角形的高h=5，在直线AB外作直线l∥AB，且两直线间的距离为5，延长DA至M使AM=10，则M、A关于直线l对称，连接CM，交直线l于P，连接AP、BP，则S△ABP=15，此时AP+CP=CM，根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM；然后根据勾股定理即可求得．详解；∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，S△ABP=AB•h=15，∴h=5，在直线AB外作直线l∥AB，且两直线间的距离为5，延长DA至M使AM=10，则M、A关于直线l对称，连接CM，交直线l于P，连接AP、BP，则S△ABP=15，此时AP+CP=CM，根据两点之间线段最短可知AP+CP的最小值为CM；∵AD=8，AM=10，∴DM=18，∵CD=6，∴CM=，∴AP+CP的最小值为.故答案为．点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题以及勾股定理的应用，根据题意作出点E是解题的关键．12、45°【解析】

先证明AB＝AE，求得∠AEB，由AD＝AE，∠DAE＝50°，求得∠AED，进而由角的和差关系求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AD＝AE，∠DAE＝50°，∴AB＝AE，∠ADE＝∠AED＝65°，∠BAE＝140°，∴∠ABE＝∠AEB＝20°，∴∠BED＝65°−20°＝45°，故答案为：45°．本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求得∠AEB和∠AED的度数．13、1．【解析】

首先根据题意画出图形，过A，D作下底BC的垂线，从而可求得BE的长，根据勾股定理求得AB的长，这样就可以求得等腰梯形的周长了．【详解】解：过A，D作下底BC的垂线，

则BE=CF=（16-10）=3cm，

在直角△ABE中根据勾股定理得到：

AB=CD==5，

所以等腰梯形的周长=10+16+5×2=1cm．

故答案为：1．本题考查等腰梯形的性质、勾股定理．注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）8，8；（2）①∠PED的大小不变，∠PED=45°；②t的值为：秒或秒．【解析】

（1）根据正方形的边长为8和正方形的性质写出点B的坐标；

（2）①如图1，作辅助线，证明四边形PMCN是正方形，再证明△DPN≌△EPM（ASA），可得△DPE是等腰直角三角形，可得结论；

②分两种情况：当PC将△PDE分成的两部分面积之比为1：2时，即G是ED的三等分点，根据面积法可知：EC与CD的比为1：2或2：1，列方程可得结论．【详解】解：（1）∵正方形OABC的边长为8，

∴B（8，8）；

故答案为：8，8；

（2）①∠PED的大小不变；理由如下：

作PM⊥OC于M，PN⊥CB于N，如图1所示：

∵四边形OABC是正方形，

∴OC⊥BC，

∴∠MCN=∠PMC=∠PNC=90°，

∴四边形PMCN是矩形，

∵P是OB的中点，

∴N、M分别是BC和OC的中点，

∴MC=NC，

∴矩形PMCN是正方形，

∴PM=PN，∠MPN=90°，

∵∠DPE=90°，

∴∠DPN=∠EPM，

∵∠PND=∠PME=90°，

∴△DPN≌△EPM（ASA），

∴PD=PE，∴△DPE是等腰直角三角形，

∴∠PED=45°；

②如图2，作PM⊥OC于M，PN⊥CB于N，

若PC将△PDE的面积分成1：2的两部分，

设PC交DE于点G，则点G为DE的三等分点；

当点D到达中点之前时，如图2所示，CD=8-t，

由△DPN≌△EPM得：ME=DN=4-t，∴EC=CM-ME=4-（4-t）=t，

∵点G为EF的三等分点，

∴或

∵CP平分∠OCB，

∴或2，

即CD=2CE或CE=2CD，

∴8-t=2t或t=2（8-t），

t=或（舍）；当点D越过中点N之后，如图3所示，CD=8-t，

由△DPN≌△EPM得：CD=8-t，DN=t-4

∴EC=CM+ME=4+（t-4）=t，

∵点G为EF的三等分点，

∴或

∵CP平分∠OCB，

∴或2，

即CD=2CE或CE=2CD，∴8-t=2t或t=2（8-t），

t=（舍）或；

综上所述，当PC将△PED分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为：秒或秒．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、面积法等知识；本题综合性强，难度适中．15、2.【解析】

根据勾股定理逆定理，证△ABD是直角三角形，得AD⊥BC，可证AD垂直平分BC，所以AB=AC.【详解】解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=1．∵12+122=22，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=2．本题考核知识点：勾股定理、全等三角形、垂直平分线.解题关键点：熟记相关性质，证线段相等.16、（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.【解析】

（1）根据阅读材料中A和B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M、N在平行于y轴的直线上，根据M和N的纵坐标利用公式即可求出MN的距离;（2）由三个顶点的坐标分别求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时最短，最短距离为，P的坐标即为直线与x轴的交点.【详解】解：（1）∵、∴故A、B两点间的距离为：13.∵M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1∴故M、N两点的距离为5.（2）∵、、∴∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形（3）作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时DP+PF最短设直线的解析式为y=kx+b将D（1,6），（4，-2）代入得：解得∴直线的解析式为：令y=0，解得，即P的坐标为（）∵PF=∴PD+PF=PD+==故当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.17、（1）2；（2）14【解析】

（1）根据平方差公式可以解答本题；（2）根据二次根式的加减法可以解答本题．【详解】解：（1）＝5﹣3＝2；（2）＝＝．本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．18、（1）详见解析；（2）是菱形;【解析】

根据菱形判定定理：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵O是OA的中点，∴OA=OC，在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO

OA=OC

∠AOE=∠COF

，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；由（1）中△AOE≌△COF，得AE=CF，OE=OF，又∵OA=OC，EF⊥AC∴四边形AFCE是菱形.此题主要考查全等三角形的判定和菱形判定定理，熟练能掌握即可轻松解题.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（-2，-3）．【解析】根据在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标相反即可得出答案.解：点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是(-2,-3).故答案为(-2,-3).20、35°【解析】

由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=70°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转70°，∴AB=AD，∠BAD=70°,∠AED=90°∴∠ABD=55°∵∠BED=∠AED=90°∴∠BDE=35°故答案为35°本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．21、2【解析】

根据题意先确定x的值，再根据中位数的定义求解．【详解】解：当x=1或12时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．当众数为2，根据题意得：解得x=2，将这组数据从小到大的顺序排列1，2，2，2，12，处于中间位置的是2，所以这组数据的中位数是2．故答案为2．本题主要考查了平均数、众数与中位数的意义，解题时需要理解题意，分类讨论．22、∠ABC=90°或AC=BD．【解析】试题分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．解：条件为∠ABC=90°，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱