专题03模型构建专题全等三角形中的常见解题模型（重点突围）-2022-2023学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题03模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题模型构建二一线三等角模型模型构建三三垂直模型模型构建四倍长中线模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题例题：（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝∠A．【答案】见解析【解析】【分析】先连接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可证△ABD≌△CBD，即可证得结论．【详解】证明：如图：连接BD，∵在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD，∴∠C＝∠A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS证明三角形全等是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．(1)证明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如图，连接，猜想、、之间的数量关系为：．证明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，则，即，当时，仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．模型构建二一线三等角模型例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，DE交线段AC于E．(1)点D从B向C运动时，逐渐变__________（填“大”或“小”），但与的度数和始终是__________度．(2)当DC的长度是多少时，，并说明理由．【答案】(1)小；140(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和即可得出结论；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．(1)在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，设∠BAD=x°，∠BDA=y°，∴40°+x+y=180°，∴y=140x（0＜x＜100），当点D从点B向C运动时，x增大，∴y减小，+=180°故答案为：小，140；(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD＝CE；(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【答案】(1)见解析(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．(1)证明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE．(2)解：∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝°，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形．【答案】（1），大；（2）；（3）或．【解析】【分析】（1）利用三角形内角和计算即可求出∠BAD，由点的运动方式即可得出∠BAD逐渐变大；（2）先求出，再由，，即可得出；（3）分两种情况或讨论即可．【详解】解：（1），∠ADE＝40°,，，当点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大．故答案为：，大；（2）当时，≌，理由如下：∵AB＝AC＝2，∠B＝40°，，又=，，在和中，，；（3）当得度数为或时，是等腰三角形．理由如下：∵，∴，，，为等腰三角形时，只能是或，当时，，，当时，，，，综上所述，当得度数为或时，是等腰三角形．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．3．（2021·山东·肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习）已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，．（1）若直线经过的内部，．①如图1，，，直接写出，，间的等量关系：__________．②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明；（2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不成立，，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据题意，推导得，通过证明，得，，结合，即可得到答案；②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得，通过证明，即可完成证明；（2）根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得，通过证明，得，；根据，即可得到答案．【详解】（1）①∵，∴,∴∴∴∴，∵∴；②满足，理由如下：∵，∴∴∴∵，，∴∴，∵，∴（2）不成立，，理由如下：∵，，∴∴∵，，∴∴，∵，∴【点睛】本题考查了三角形内角和、余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、全等三角形的性质，从而完成求解．4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．模型构建三三垂直模型例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若AD=12，BE=5，求ED的长．【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．【解析】【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．【详解】解：（1）证明：∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∴∠CEB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵AC=BC，∴≌；（2）由（1）知，≌，∴BE=CD，CE=AD，∵AD=12，BE=5，∴CE=12，CD=5，∴ED=CE－CD=12－5=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°∠BAC=180°90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．2．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．【答案】(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【解析】【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明△ADC≌△CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；∴DC=BE，AD=EC，∵DE=DC+EC，∴DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如图2，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．又∵AD⊥MN于点D，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．(3)解：DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）．理由如下：如图3，易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CDCE=BEAD，即DE=BEAD．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．3．（2021·湖北随州·八年级期中）如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解析；（2）PC⊥PQ，证明见解析；（3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．【解析】【分析】（1）利用定理证明；（2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系；（3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．【详解】（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；（2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直；（3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×9，解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s），故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．4．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【解析】【分析】（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，②EF＝AE+BF；证明：在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE+CF＝AE+BF，即EF＝AE+BF；（2）①当AD＞BD时，如图①，∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），又∵AC＝BC，BF⊥l直线即∠BFC＝∠AEC＝90°，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②当AD＜BD时，如图②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．模型构建四倍长中线模型例题：（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．【答案】3＜m＜13【解析】【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADB和△CDE中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，在△ACE中，AECE＜AC＜AE+CE，∵CE=AB=5，AE=8，∴85＜AC＜8+5，∴3＜AC＜13，∴3＜m＜13．故答案为：3＜m＜13．【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．【变式训练】1．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________．【答案】1＜AD＜7【解析】【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴86<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案为：1<AD<7．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．【答案】(1)，(2)2<CD<8【解析】【分析】（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：∵，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，∵CD是AB边上的中线，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，ACAH<CH<AC+AH，∴106<2CD<10+6，∴2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．3．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．(1)求证：△ABD≌△ECD证明：延长AD到点E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中点定义）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS(2)(3)【解析】【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．(1)延长AD到点E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）CD＝BD（中点定义）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案为：对顶角相等；BD；SAS(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，，，，故答案为；(3)延长AD交EC的延长线于F，，，，在和中，，≌，，，又∵∠FDE＝∠ADE＝90°ED＝ED∴△ADE≌△FDE，，．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．4．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析【解析】【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案为：；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DC