专题03二次函数最值问题专项训练

专题03二次函数最值问题专项训练例题1：（线段最值）（2023上·广东江门·九年级新会华侨中学校考期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点和．若点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点作平行于轴，交于点．

(1)求三个点，，的坐标；(2)当点运动至抛物线的顶点时，求此时的长；(3)设点的横坐标为，的长度为；求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；是否存在最值，如有写出最值．【答案】(1)、、(2)(3)当时，有最大值2【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值；（1）根据二次函数的解析式求三个点，，的坐标；（2）求得抛物线的顶点坐标为，当点运动至抛物线的顶点时得到，求得，于是得到结论；（3）根据，，于是得到，化成顶点式，即可得到结论；【详解】（1）令，则，令，则，解得，或，∴、、；（2）抛物线的顶点坐标为，当点运动至抛物线的顶点时，，∵平行于轴，且点在直线上，∴横坐标为，，设直线的解析式为：，，，，直线的解析式为：，，；（3）∵点的横坐标为，∴，，，，当时，有最大值2．例题2：（面积最值）（2022上·广东江门·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于、两点，与y轴相交于点B．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；(3)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．【答案】(1)(2)；抛物线的顶点坐标是(3)，S的最大值为4【分析】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及割补法求三角形的面积等知识点，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．（1）将点A与点C坐标代入可得关于a，b的方程组，解之可得；（2）求出时y的值可得点B的坐标，将解析式配方成顶点式可得其顶点坐标；（3）连接，由得出S关于m的函数解析式，配方成顶点式即可知其面积最大值．【详解】（1）解：将、两点代入中，得解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：在中，当，得，抛物线与轴的交点B坐标把配方，得抛物线的顶点坐标是；（3）解：如图所示，连接，

点的横坐标为，点在这条抛物线上，点的坐标为：，当时，有最大值，最大值为4．例题3：（将军饮马最值）（2023上·广东惠州·九年级惠州市铁路学校校联考期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)求的面积；(3)点是抛物线的对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)的面积为6；(3)抛物线对称轴上存在一点E，使的值最小，点E的坐标为．【分析】本题是二次函数的综合题，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．（1）利用待定系数法将A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；（2）利用抛物线解析式求得点C坐标，利用点的坐标表示出线段的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论；（3）连接交对称轴于点E，则此时最小；分别求得对称轴方程和直线的解析式，据此即可求得点E坐标．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：令，则，∴．∴．∵，∴，∴．∴，∴的面积为6；（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线．连接交对称轴于点E，则此时最小，如图，

设直线的解析式为，由题意得：，解得：．∴直线的解析式为．当时，．解得：．∴．∴抛物线对称轴上存在一点E，使的值最小，点E的坐标为．例题4：（利润最值）．（2022上·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）某公司电商平台，在2022年十一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若该商品进价为a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润．【答案】(1)(2)售价为60元时，周销售利润最大，最大利润为4800元【分析】（1）设，把，和，，代入可得解析式；（2）根据利润（售价进价）数量，得，把，，代入上式可得关系式，顶点的纵坐标即为利润的最大值．【详解】（1）解：设，根据题意得：，解得，关于的函数解析式为；（2）解：结合（1）得：，把，，代入上式可得：，解得，，售价为60元时，周销售利润最大，最大利润为4800元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式．【变式训练】1．（2022上·广东广州·九年级校考阶段练习）已知抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果点是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接，延长交抛物线于点，点为上方抛物线上的一个点，过点作轴的平行线交于点，作于点，请问是否存在点，使得的周长最长，若存在，请求出周长的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)的坐标为或或(3)当时，的周长最长，为【分析】（1）先根据题意求出，再使用待定系数法可求抛物线的解析式；（2）分两种情况：当时，当与互相平分时，根据平行四边形的性质分别求解即可；（3）用待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据等腰直角三角形的判定与性质可得是等腰直角三角形，再结合勾股定理可得的周长，利用二次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：轴，，，将代入抛物线，得，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：，对称轴为直线，，，当时，如图所示，则或，的横坐标为，的横坐标为，当时，，，当时，，，当与互相平分时，如图所示，此时为抛物线的顶点，，综上所述，的坐标为或或；（3）解：设的解析式为，将代入的解析式，得，解得，的解析式为，在上，在抛物线上，且轴，设，则，，轴，，，，，轴，，，是等腰直角三角形，，，，的周长为：，，抛物线的开口向下，当时，的周长最长，为，此时，当时，的周长最长，为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的最大值，熟练掌握平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．2．（2023上·全国·九年级专题练习）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/元…363432…(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)(2)18元(3)19元，198元【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，结合x的取值范围求解即可；（3）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，由所给表格可知：，解得：，故y与x的函数关系式为；（2）解：根据题意得：，解得：．又∵，∴，答：销售单价应为18元．（3）解：，∵，∴抛物线开口向下．∵对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大，∴当时，w有最大值，．答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．3.（2023上·广东佛山·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点B和点C的坐标；（2）设该抛物线的表达式为，将点代入得，再将点代入，求出a的值即可；（3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用解直角三角形，则，即可求解．【详解】（1）解：∵点B的坐标为，∴，∵，∴，∴，；（2）解：设该抛物线的表达式为，把点代入得：，把点代入得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：，（3）解：设直线函数表达式为：，将点，代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，过点P作y轴的平行线交于点H，∵，∴，∵轴，∴，设点，则点，∴，∵，∴当时，有最大值，其最大值为，此时点．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，用二次函数关系表示是解题的关键．1．（2023上·广东阳江·九年级校考阶段练习）如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）依题意可设交点式，再将代入求解即可；（2）依题意可求出，从而可说明四边形的面积最大时，面积最大即可．过点P作轴，交于点D．利用待定系数法可求出直线的解析式为，设，则，即可求出，从而可利用三角形面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线（、、为常数，）经过点，，，所以可设抛物线解析式为．将代入，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：∵，，∴，∴，即为定值．∵，∴四边形的面积最大时，面积最大．设直线的解析式为，则，解得：，∴．如图，过点P作轴，交于点D．

设，则，∴，∴，∴当时，最大，即此时四边形的面积最大，，∴此时点P坐标为．【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的交点式，利用待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，二次函数的图象和性质等知识．解（1）正确设出交点式是解题关键；解（2）理解四边形的面积最大时，面积最大，并正确作出辅助线，从而求出的二次函数关系式是解题关键．2．（2023上·广东中山·九年级联考期中）如图，抛物线与轴的两个交点为，，点为抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式；(2)当面积为8时，求点的坐标；(3)当点在线段上方时，求面积的最大值．【答案】(1)(2)，，(3)面积的最大值为【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先得出，设，根据，可得，即有，问题随之得解；（3）连接，设，，表示出，，，再根据，可得，整理化为顶点式，问题随之得解．【详解】（1）∵抛物线与轴的两个交点为，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）∵，，∴，设，∵，∴，∴，当时，，解得：，∴；当时，，解得：，∴，或者；即满足条件的P点的坐标为，，：（3）连接，如图，

当时，，∴，∴，∵，∴，∵点在线段上方，∴设，，∵，，，又∵，∴，整理：，当时，面积的最大，最大值为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，解一元二次方程等知识，得出，是解答本题的关键．3．（2023下·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售，两种型号车床共台，生产并销售台型车床可以获利万元；如果生产并销售不超过台型车床，则每台型车床可以获利万元，如果超出台型车床，则每超出台，每台型车床获利将均减少万元．设生产并销售型车床台．(1)当时，若生产并销售型车床比生产并销售型车床获得的利润多万元，问：生产并销售型车床多少台？(2)当时，设生产并销售，两种型号车床获得的总利润为万元，如何分配生产并销售，两种车床的数量，使获得的总利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)生产并销售型车床台(2)当生产并销售，两种车床各为台、台或台、台时，使获得的总利润最大；最大利润为万元【分析】（1）根据题意，列出一元二次方