专题03二次根式的运算（4个知识点11种题型2种中考考法）（原卷版）

专题03二次根式的运算（4个知识点11种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：二次根式的加法和减法知识点2：二次根式的乘法和除法知识点3：分母有理化知识点4：有理化因式【方法二】实例探索法题型1：二次根式的加法和减法题型2：二次根式加法和减法的应用题型3：二次根式的乘法题型4：二次根式的除法题型5：分母有理化题型6：解含二次根式的方程或不等式题型7：有理化因式题型8：二次根式的混合运算题型9：二次根式的应用题型10：分母有理化与完全平方公式综合题型11：利用分母有理化比较二次根式的大小【方法三】仿真实战法考法1：二次根式的加减法考法2：二次根式的混合运算【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次根式的加法和减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．知识点2：二次根式的乘法和除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．知识点3：分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．知识点4：有理化因式两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．【方法二】实例探索法题型1：二次根式的加法和减法1．（2022秋•嘉定区期中）计算：+﹣m．2．（2022秋•宝山区期中）计算：（6﹣）﹣（+）．3．（2022秋•宝山区期中）计算：﹣（﹣）．4．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．5．（2022秋•虹口区校级月考）计算：﹣．6．（2022秋•嘉定区月考）计算：．7．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0）．8．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：2+﹣12．9．（2022秋•浦东新区校级月考）计算：．10．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．题型2：二次根式加法和减法的应用12．（2022秋•虹口区校级期中）化简：+（5≤x≤8）＝．13．（2022秋•虹口区校级月考）计算：＝．14.解不等式：．15.解方程：．16．（2022秋•静安区校级期中）已知y＝﹣，化简+﹣．题型3：二次根式的乘法17．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：________．18．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）计算：___________．19．（2022秋·上海·八年级专题练习）计算：．20．（2021秋·上海浦东新·八年级上海市建平中学西校校考阶段练习）计算：．21．（2021秋·上海·八年级期中）计算：题型4：二次根式的除法22．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）计算：______．23．（2022秋·上海·八年级统考期中）计算：______．24．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）计算：________．25．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）_______．26．（2021秋·上海·八年级期中）计算：题型5：分母有理化27．（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．28．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）分母有理化：______．题型6：解含二次根式的方程或不等式29．（2022秋•奉贤区校级期中）不等式x＞2+2x的解集是．30．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）不等式的解集是____________．31.解关于x的不等式：（1）； （2）．32.解关于x的方程：（1）； （2）．题型7：有理化因式33．（2022秋•奉贤区校级期中）的一个有理化因式是（）A． B． C． D．34．（2022秋•虹口区校级期中）写出a+b的一个有理化因式：．题型8：二次根式的混合运算35．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：36．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）计算：37．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：38．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）化简二次根式：．39．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）计算：40．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）计算：41．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）42．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）计算：．43．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）化简44．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：．45．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）已知非零实数a，b满足，求代数式的值．题型9：二次根式的应用46．（2021秋·上海普陀·八年级校考期中）等腰三角形有两条边长分别为2cm、3cm，它的周长为_____．47．（2022秋·上海宝山·八年级统考期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．48．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．题型10：分母有理化与完全平方公式综合49．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．50．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）已知，求的值．51．已知，，求的值．52.已知，求代数式的值．题型11：利用分母有理化比较二次根式的大小53.不求方根的值比较与的大小．【方法三】仿真实战法考法1：二次根式的加减法1．（2018•上海）下列计算﹣的结果是（）A．4 B．3 C．2 D．考法2：二次根式的混合运算2．（2017•上海）计算：+（﹣1）2﹣+（）1．【方法四】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．与互为倒数B．若则C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等D．若，则2．（2022秋·上海·八年级专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（2021秋·上海普陀·八年级校考期中）下列结论正确的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最简二次根式4．（2021秋·上海普陀·八年级校考期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（）A．相等 B．互为相反数C．互为倒数 D．互为有理化因式5．（2021秋·上海·八年级期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A． B． C． D．6．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是二、填空题7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：．8．（2021秋·上海·八年级校考期中）计算：；．9．（2022秋·上海·八年级校考期中）的有理化因式为．10．（2023·上海·八年级假期作业）比较大小：．（填“”、“”或“”）．11．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知则的倒数为．12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：=．13．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）计算：．14．（2020秋·上海浦东新·八年级校考期中）不等式的解集是．15．（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）满足等式的正整数对的个数有个16．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）比较大小：．17．（2021秋·上海·八年级期中）已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为．18．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）设为的小数部分，为的小数部分，则值为．三、解答题19．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．20．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．21．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：22．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）计算：23．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）计算：24．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市南洋模范中学校考期中）已知，求的值25．（2022秋·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：，其中.26．（2021秋·上海·八年级期中）已知且，请化简并求值：27．（2021秋·上海·八年级期中）已知求：的值．28．（2022秋