研究生数值分析试卷

2005～2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效.一、(15分）设求方程根的迭代法（1)证明对，均有,其中为方程的根。(2）此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论。二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性.三、(8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的.（范数用)四、（15分）已知的数据如下：求的Hermite插值多项式,并给出截断误差。五、(10分）在某个低温过程中，函数依赖于温度x（℃)的试验数据为12340．81．51．82．0已知经验公式的形式为，试用最小二乘法求出,.六、(12分）确定常数，的值，使积分取得最小值。七、（14分）已知Legendre（勒让德）正交多项式有递推关系式：试确定两点的高斯—勒让德(G—L)求积公式的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分八、(14分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：验证它是二阶方法；确定此单步法的绝对稳定域.2005～2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷)科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性.二、（15分）设求方程根的迭代法(1)证明对,均有,其中为方程的根。（2)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论。三、（8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的。（范数用）四、（15分）已知的数据如下:123242-1求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。五、（10分）在某个低温过程中，函数依赖于温度x（℃)的试验数据为12340．81．51．82．0已知经验公式的形式为，试用最小二乘法求出，。六、（12分）确定常数，的值,使积分取得最小值。七、（14分）对于求积公式：，其中：是区间上的权函数.证明此求积公式的代数精度不超过2n—1次;若此公式为Gauss型求积公式，试证明八、（14分)对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：验证它是二阶方法；确定此单步法的绝对稳定域。2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称:数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。二、（8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的.（范数用）三、（15分）设导数连续，迭代格式一阶局部收敛到点。构造新的迭代格式：问如何选取常数及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。四、(15分)已知的数据如下：123242—1求的Hermite插值多项式，并给出截断误差.五、（10分)在某个低温过程中,函数依赖于温度x（℃）的试验数据为12340．81．51．82．0已知经验公式的形式为，试用最小二乘法求出，。六、（12分）确定常数，的值，使积分取得最小值。七、（14分)对于求积公式：，其中:是区间上的权函数.证明此求积公式的代数精度不超过2n—1次;若此公式为Gauss型求积公式，试证明八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：验证它是二阶方法；确定此单步法的绝对稳定域。2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号:姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、(12分）设方程组为用Doolittle分解法求解方程组；求矩阵A的条件数二、（12分）设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为,为求解方程组，建立迭代格式，求出常数的取值范围，使迭代格式收敛.三、（12分）已知数据—2—101201210试用二次多项式拟合这些数据。四、（14分）已知的数据如下：12324123（1）求的Hermite插值多项式；（2）为求的值，采用算法:试导出截断误差R五、（12分）确定常数，的值，使积分取得最小值。六、（12)确定常数,使求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss型公式。七、（12分)设导数连续,迭代格式一阶局部收敛到点。对于常数，构造新的迭代格式：问如何选取，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：验证它是二阶方法；确定此单步法的绝对稳定区域。2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号:姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上,凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、(15分）给定方程（1）分析该方程存在几个根；(2)用迭代法求出这些根,精确至2位有效数；(3)说明所用的迭代格式是收敛的.二、（15分)设线性方程组为证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.(2）当同时收敛时比较其收敛速度。三、(10分）设为非奇异矩阵,方程组的系数矩阵有扰动，受扰动后的方程组为，若,试证：四、（15分）已知的数据如下：求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。五、（10分）已知数据i0123xi0123yi3247设，求常数a,b,使得六、（15分）定义内积在中求的最佳平方逼近元素.七、（10分)给定求积公式试确定，使此求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题用一个二阶方法计算在0.1,0.2处的近似值。取计算结果保留5位有效数字。2008～2009学年第一学期硕士研究生期末考试试题一、（本题共3小题，每题8分,共24分）解答下面各题：1)下表给出了函数f（x)在一些节点上的函数值：x0.00。10。20。30.40.50。60。70。8f（x)58630—3—335用复化Simpson求积公式近似计算函数f(x)在区间［0,0.8］上的积分。2)已知函数y=f（x）的观察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多项式.x0123y230—13）取初值为2,利用Newton迭代法求方程:在［0，2]中的近似解。要求迭代两次.（如果计算结果用小数表示，则最后结果应保留5位小数）。二、（本题15分)设常数a≠0，试求a的取值范围,使得用雅可比(Jacobi）迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。三、（本题16分)利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式：并导出其积分余项。四（14分）已知方程在0.2附近有解，建立用于求解此解的