四川省泸州市泸县第四中学2025届数学高三上期末调研模拟试题含解析

四川省泸州市泸县第四中学2025届数学高三上期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（）A． B． C． D．2．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．3．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（）A． B． C． D．4．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，M为棱AD的中点，设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足平面EFG，，则的最小值为（）A． B． C． D．5．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．设等差数列的前项和为，若，，则（）A．21 B．22 C．11 D．127．复数的共轭复数为（）A． B． C． D．8．已知数列中，，()，则等于（）A． B． C． D．29．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知实数，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．11．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________.14．的展开式中，的系数是__________.(用数字填写答案)15．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．16．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求和的值；（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.18．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.19．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.20．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.21．（12分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.【详解】依题意得，，当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，，即，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.2、C【解析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.3、B【解析】

先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有：、、、、、，在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.4、C【解析】

把截面画完整，可得在上，由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得的最小值．【详解】如图，分别取的中点，连接，易证共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得，平面，平面，则平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．正方体中平面，从而有，∴，∴在以为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，显然关于直线的对称点为，，当且仅当共线时取等号，∴所求最小值为．故选：C．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．5、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.6、A【解析】

由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值.【详解】解：由为等差数列，可知也成等差数列，所以，即，解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.7、D【解析】

直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选：D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.8、A【解析】

分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.9、B【解析】

对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.【详解】当时，函数在上单调递减，所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.10、C【解析】

利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于实数，，不成立对于不成立．对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出．对于指数函数单调递减性质，因此不成立．故选：．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．11、A【解析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.12、D【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、27【解析】

利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.【详解】由等比数列的性质可知，则，.当且仅当时取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.14、【解析】

根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.【详解】由题可知：项来源可以是：（1）取1个，4个（2）取2个，3个的系数为：故答案为：【点睛】本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.15、【解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．考点：二项式定理．16、【解析】

求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．【详解】当时，，由得：，解得，由得：，解得，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），当，，当，，作出函数的图象如图，设，由图象知，当或，方程有一个根，当或时，方程有2个根，当时，方程有3个根，则，等价为，当时，，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，则，即（1）解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），.（2），【解析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果.【详解】解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，它们的范数依次为1，1，1，1，故，.（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1；所以，.因为，①，②得，，所以.解法1：因为，所以..解法2：得，.又因为，所以.【点睛】本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.18、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．【详解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3．【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19、（1）；（2）或【解析】

（1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程；（2）设，则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立，求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示，坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，设椭圆的焦距为，则解得，，，所以椭圆方程为.（2）设，则，且，所以的方程为①.若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，则，，联立①，②解得即.的方程为，代入椭圆方程得，整理得，或，.，不符合条件.若，则的方程为，即③.联立①，③可解得所以.因为，设所以，即.又因为位于轴异侧，所以.因为三点共线，即应与共线，所以，即，所以，又，所以，解得，所以，所以点的坐标为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.20、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个；当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,其中“”共有：种,“”共有：种,利用分类计数原理得：为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有：种．（2）与(1)同理,“”共有种,“”共有种,而在“﹣数列”中任取三项共有种,根据古典概型有：,再根据组合数的计算公式能得到：,时,应满足,,共个,时,应满足,视为常数,可解得,,根据可知,,,,根据可知,,（否则）,下设,则由于为正整数知必为正整数,,,化简上式关系式可以知道：,均为偶数,设,则,由于中必存在偶数,只需中存在数为的倍数即可,,．检验：符合题意,共