河南省郑州市第十九中学2025届数学高一上期末检测模拟试题含解析

河南省郑州市第十九中学2025届数学高一上期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，则的大小关系（）A. B.C. D.2．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的A.函数在或，内有零点B.函数在内无零点C.函数在内有零点D.函数在内不一定有零点3．方程的解为，若，则A. B.C. D.4．若，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.若，则5．若向量，则下列结论正确的是A. B.．C. D.6．若函数的图象上存在一点满足，且，则称函数为“可相反函数”，在①；②；③；④中，为“可相反函数”的全部序号是（）A.①② B.②③C.①③④ D.②③④7．直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（）.A. B.C. D.8．若，则的值为A.0 B.1C.-1 D.29．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（）A B.C. D.10．不等式的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则___________.12．已知，α为锐角，则___________.13．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则__________.14．若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________15．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确命题的个数是________16．已知直线：，直线：，若，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②；（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.18．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点.（1）求证：PB//平面AEC；（2）求D到平面AEC的距离.19．已知函数.（1）求的定义域和的值；（2）当时，求，的值.20．已知函数，（1）若，求在区间上的最小值；（2）若在区间上有最大值3，求实数的值.21．已知函数（1）当时，在上恒成立，求的取值范围；（2）当时，解关于的不等式

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】判断与大小关系，即可得到答案.【详解】因为，，，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的性质，关键是与中间量进行比较，然后得三个数的大小关系，属于基础题.2、C【解析】利用零点所在的区间之间的关系，将唯一的零点所在的区间确定出，则其他区间就不会存在零点，进行选项的正误筛选【详解】解：由题意，唯一的零点在区间、、内，可知该函数的唯一零点在区间内，在其他区间不会存在零点．故、选项正确，函数的零点可能在区间内，也可能在内，故项不一定正确，函数的零点可能在区间内，也可能在内，故函数在内不一定有零点，项正确故选：【点睛】本题考查函数零点的概念，考查函数零点的确定区间，考查命题正误的判定．注意到命题说法的等价说法在判断中的作用3、C【解析】令，∵,.∴函数在区间上有零点∴．选C4、D【解析】根据选项举反例即可排除ABC，结合不等式性质可判断D【详解】对A，取，则有，A错；对B，取，则有，B错；对C，取，则有，C错；对D，若，则正确；故选：D5、C【解析】本题考查向量的坐标运算解答：选项A、选项B、选项C、，正确选项D、因为所以两向量不平行6、D【解析】根据已知条件把问题转化为函数与直线有不在坐标原点的交点，结合图象即可得到结论.【详解】解：由定义可得函数为“可相反函数”，即函数与直线有不在坐标原点的交点①的图象与直线有交点，但是交点在坐标原点，所以不是“可相反函数”；②的图象与直线有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”；③与直线有交点在第二象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”；④的图象与直线有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”.结合图象可得：只有②③④符合要求；故选：D7、D【解析】详解】∵∴根据如下图形可知，使直线与线段相交的斜率取值范围是故选：D.8、A【解析】由题意得a不等于零，或,所以或,即的值为0，选A.9、C【解析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.【详解】的定义域满足，由，所以在上恒成立.所以的定义域为则所以，即为奇函数.设，由上可知为奇函数.当时，，均为增函数，则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数，则在上为增函数，且所以在上为增函数.所以在上为增函数.由，即所以对任意实数x恒成立即，由当且仅当，即时得到等号.所以故选：C10、D【解析】化简不等式并求解即可．【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.因此，不等式解集为故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查学生计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解析】根据可得周期，再结合偶函数，可将中的转化到内，可得的值.【详解】因为，所以，所以，即函数的一个周期为4，所以，又因为是定义在上的偶函数，所以，因当，，所以，所以.故答案为：2.5.12、【解析】由同角三角函数关系和诱导公式可得结果.【详解】因为，且为锐角，则，所以，故.故答案为：.13、##【解析】由，可得函数是以为一个周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性将所求转化为已知区间即可得解.【详解】解：因为，所以函数是以为一个周期的周期函数，所以，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以.故答案为：.14、或.【解析】分析：由题意首先求得实数m的值，然后求解距离即可.详解：由直线垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：，，当时点到轴的距离为0，当时点到轴的距离为5，综上可得：点到轴的距离为或.点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、3【解析】如图所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.故答案为：3.16、1【解析】根据两直线垂直时，系数间满足的关系列方程即可求解.【详解】由题意可得：，解得：故答案为：【点睛】本题考查直线垂直的位置关系，考查理解辨析能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）【解析】（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.【详解】解：（1），定义域为，则有，显然存在正实数，对任意的，总有，故具有性质；，定义域为，则，当时，，故不具有性质；（2）假设二次函数不是偶函数，设，其定义域为，即，则，易知，是无界函数，故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，故是偶函数；（3）的定义域为，，具有性质，即存在正实数k，对任意的，总有，即，即，即，即，即，即，通过对比解得：，即.【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接交于，连接，则可得，再由E是PD的中点，则可利用三角形中位线定理可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由已知条件可证明，都为直角三角形，所以可求出，从而可求出的面积，然后利用等体积法可求出D到平面AEC的距离.【小问1详解】连接交于，连接，因为四边形为平行四边形，所以，因为点E是PD的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，【小问2详解】因为∥，，所以，，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，在直角中，，同理，在等腰中，,取的中点，连接，则∥，，因平面，所以平面，，设D到平面AEC的距离为，由，得,所以，得，所以D到平面AEC距离为19、（1）定义域为，；（2），.【解析】（1）由根式、分式的性质求函数定义域，将自变量代入求即可.（2）根据a的范围，结合（1）的定义域判断所求函数值是否有意义，再将自变量代入求值即可.【小问1详解】由，则定义域为，且.【小问2详解】由，结合（1）知：，有意义.所以，.20、（1）；（2）或.【解析】（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数的值试题解析：解：（1）若，则函数图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，有又，（2）对称轴为当时，函数在在区间上是单调递减的，则，即；当时，函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则，解得，不符合；当时，函数在区间上是单调递增的，则，解得；综上所述，或点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.21、（1）（2）答案不唯一，具体见解析【