数学第三章不等式单元检测（B卷）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章不等式单元检测（B卷）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．（陕西高考，文3）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(）．A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b2．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x，则(）．A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥24元．设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为()．A．A＞BB．A＝BC．A＜BD．不确定4．若集合A＝｛x｜－1≤2x＋1≤3},，则A∩B＝（）．A．{x｜－1≤x＜0｝B．｛x｜0＜8x≤1｝C．｛x｜0≤x≤2｝D．｛x｜0≤x≤1｝5．（广东高考，文6)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1），则的最大值为(）．A．3B．4C．3D．46．若关于x的不等式（1＋k2）x≤k4＋4的解集是M,则对任意实常数k，总有（)．A．2∈M,0∈MB．2M，0MC．2∈M,0MD．2M，0∈M7．直角三角形的斜边长为m,则其内切圆半径的最大值为(）．A．mB．mC．mD．(－1)m8．某种电热器的水箱盛水是200升，加热到一定温度即可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时自动注水,t分钟自动注水2t2升，当水箱内的水量达到最小值时,放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供（)．A．3人洗浴B．4人洗浴C．5人洗浴D．6人洗浴9．如果log3M＋log3N＝4,则M＋N的最小值为()．A．4B．18C．D．910．（辽宁营口模拟）已知α,β是关于x的方程x2＋px＋p＋3＝0的两个实根,则α2＋β2的最小值为（)．A．2B．－3C．18D．－7二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（江西新余模拟)设x＞0，y＞0,x＋y＋xy＝2。则x＋y的最小值是__________．12．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0。1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元,则线性约束条件是__________，线性目标函数是__________．13．比较大小：a2＋b2＋1__________ab＋a＋B．14．对一切实数x，恒成立，则正整数k的值为__________．三、解答题（本大题共5个小题,共54分)15．（10分)(安徽高考，理19）设x≥1,y≥1，求证：x＋y＋≤＋xy。16．（10分）要在长为800m、宽为600m的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间为草坪，要求草坪的面积不少于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．17．(10分)已知集合A＝，B＝{x｜log4(x＋a)＜1｝，若A∩B＝∅,求实数a的取值范围．18．（12分）解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＞0。19．(12分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？参考答案1。答案:B解析：(方法一)已知a＜b和＜，比较a与，因为a2－（)2＝a(a－b）＜0,所以a＜，同理由b2－（)2＝b（b－a）＞0得＜b;因为b－＝＞0，所以＜b，综上可得a＜＜＜b；故选B．(方法二）取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜B．2.答案:B解析：表示出第三年的总产量，利用产量相等列关系式:A（1＋x）2＝A(1＋a）(1＋b），∴(1＋x）2＝(1＋a）(1＋b)≤，∴1＋x≤.∴x≤。当且仅当a＝b时取等号．3．已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于3。答案：A解析：设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，由已知，得即不等式①两边同乘以4，不等式②两边同乘以11，得所以22x＋11y＞16x＋20y.所以6x＞9y，即2x＞3y。故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵，即A＞B．4。答案：B解析:A＝{x｜－1≤x≤1｝,B＝{x|0＜x≤2}．∴A∩B＝｛x|0＜x≤1}．5.答案：B解析：z＝x＋y，即y＝－x＋z，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y＝－x＋z经过点(，2）时，z取得最大值,zmax＝×＋2＝4。6.答案：A解析：由（1＋k2)x≤k4＋4得x≤＝(k2＋1）＋－2,而，∴M（－∞,－2]，故选A．7。答案：B解析:可设两直角边分别为a，b，内切圆半径为r，则a2＋b2＝m2，∵a2＋b2≥，∴m2≥。∴a＋b≤m.∵r＝，∴rmax＝m。8。答案：B解析：设t分钟时水箱内有y升水，由题意，得y＝200＋2t2－34t。当时,水箱中水最少,×34÷65＞4,但是小于5，故选B．9.答案：B解析:由题意知,M＞0,N＞0,MN＝81.∴M＋N≥＝18.当且仅当M＝N＝9时等号成立．10.答案:A解析：由题意知，且△＝p2－4(p＋3)≥0,∴p≥6或p≤－2.α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝（－p)2－2(p＋3）＝p2－2p－6＝（p－1)2－7，∴当p＝－2时，α2＋β2取最小值2.11.答案：解析:∵x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，∴xy＝2－（x＋y）≤，∴（x＋y）2＋4(x＋y）－8≥0。∴x＋y≥（当且仅当x＝y时取“＝”)．12。答案：z＝80x＋120y13。答案:≥解析：∵a2＋b2≥2ab,a2＋1≥2a，b2＋1≥2b，∴2(a2＋b2＋1)≥2（ab＋a＋b),∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋B．14。答案：1解析：∵x2＋x＋1＝，∴不等式化为3x2＋2x＋2＞kx2＋kx＋k，即（3－k）x2＋(2－k)x＋2－k＞0.由题意知解得∴k＜2.又∵k为正整数，∴k＝1.15.证明：由于x≥1，y≥1,x＋y＋≤＋xy⇔xy（x＋y）＋1≤y＋x＋（xy）2，将上式中的右式减左式，得［y＋x＋(xy）2]－[xy(x＋y）＋1］＝[(xy)2－1]－［xy（x＋y）－(x＋y)］＝（xy＋1）（xy－1）－（x＋y)(xy－1）＝（xy－1)（xy－x－y＋1）＝(xy－1)（x－1）(y－1）．既然x≥1，y≥1,所以(xy－1）(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．16。解：如图，设花卉带宽度为xm，则(800－2x）（600－2x）≥×800×600,即4x2－2800x＋×800×600≥0,x2－700x＋600×100≥0,（x－600）(x－100)≥0。解得0＜x≤100或x≥600.x≥600不符合题意，舍去．故花卉带宽度的范围为0＜x≤100。17.解：由＜1，得x2－x－6＞0,∴x＞3或x＜－2.∴A＝｛x｜x＞3或x＜－2}．由log4（x＋a)＜1，得0＜x＋a＜4,∴B＝{x|－a＜x＜4－a}．∵A∩B＝,∴∴1≤a≤2即为所求．18。解:(1）当a＝0时，原不等式可化为－x＋1＞0,得不等式的解集为｛x｜x＜1}．(2)当a＞0时，原不等式可化为，当a＞1时，不等式的解集为;当0＜a＜1时，不等式的解集为,当a＝1时，不等式的解集为｛x|x∈R且x≠1}．（3)当a＜0时，原不等式可化为，解之,得.19.解：设花坛的长，宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得＝25(x＞0，y＞0),问题转