数学导学案：向量减法运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．2.2向量减法运算及其几何意义1．知道向量减法的定义,理解相反向量的意义．2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．3．能够化简含有向量的式子．1．相反向量定义如果两个向量长度______,而方向______，那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有：a＋(－a）＝____②若a，b互为相反向量，则a＝____，a＋b＝____③零向量的相反向量仍是零向量相反向量类似于实数中的相反数，它们的性质有相似之处．【做一做1】非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是（)A．m＝n B．m＝－n C．｜m|＝｜n| D．方向相反2．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________作法在平面内任取一点O，作eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a,eq\o（OB,\s\up6（→)）＝b，则向量a－b＝____.如图所示几何意义如果把两个向量a,b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的______指向向量a的______的向量①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．②以向量eq\o(AB，\s\up6（→））＝a，eq\o(AD，\s\up6(→）)＝b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为eq\o（AC,\s\up6(→)）＝a＋b，eq\o（BD,\s\up6(→））＝b－a,eq\o(DB，\s\up6(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．【做一做2－1】在△ABC中，eq\o(BC，\s\up6（→））＝a,eq\o(AC,\s\up6（→））＝b，则eq\o(AB，\s\up6(→））等于（)A．a＋b B．a－b C．－a－(－b) D．－a＋（－b)【做一做2－2】四边形ABCD是边长为1的正方形，则｜eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o（AD,\s\up6（→))|＝________.答案：1．相等相反0－b0【做一做1】A2．相反向量eq\o（BA,\s\up6(→）)终点终点【做一做2－1】Ceq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\o（CB，\s\up6(→）)－eq\o（CA,\s\up6（→）)＝－eq\o(BC,\s\up6(→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→)）＝－a＋b＝－a－(－b)．【做一做2－2】eq\r(2）｜eq\o（AB，\s\up6（→))－eq\o(AD,\s\up6（→)）|＝|eq\o（DB,\s\up6(→)）|＝eq\r(12＋12)＝eq\r（2）。1．化简eq\o（OA，\s\up6(→）)－eq\o(OB,\s\up6(→)）剖析:根据解题经验，eq\o（OA,\s\up6（→）)－eq\o（OB，\s\up6(→））的结果是eq\o（AB，\s\up6（→))和eq\o(BA,\s\up6（→)）中的一个向量，到底是哪一个向量呢？把自己写出来的结果通过向量加法的三角形法则验证．假设eq\o(OA,\s\up6（→））－eq\o(OB,\s\up6（→）)＝eq\o(AB,\s\up6（→）），由向量加法的三角形法则，知eq\o(OB，\s\up6（→））＋eq\o(BA,\s\up6（→））＝eq\o（OA,\s\up6(→）），所以eq\o(OA，\s\up6（→））－eq\o（OB,\s\up6（→))＝eq\o（AB，\s\up6（→）)是错误的，应该是eq\o（OA，\s\up6(→））－eq\o(OB，\s\up6（→）)＝eq\o(BA,\s\up6(→）)。为了防止出现类似错误，通常画图,利用数形结合解决此类问题，也可以化归为向量的加法进行验证．设eq\o（OA，\s\up6(→）)－eq\o（OB，\s\up6（→））＝m,则eq\o(OA,\s\up6(→)）＝eq\o(OB，\s\up6(→）)＋m，由于m等于eq\o（AB,\s\up6（→））和eq\o（BA,\s\up6（→)）中的一个向量，eq\o(OB,\s\up6（→）)＋eq\o(AB,\s\up6（→））≠eq\o(OA,\s\up6（→）),仅有eq\o(OB，\s\up6(→））＋eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\o(OA，\s\up6(→)），所以eq\o（OA，\s\up6（→）)－eq\o（OB，\s\up6（→））＝eq\o（BA，\s\up6(→））。2．｜a－b|，｜a｜－|b｜，｜a|＋|b｜三者的大小关系剖析：当向量a与b共线时，（1）当两非零向量a与b同向时,｜a－b｜＝|｜a|－｜b｜｜＜｜a|＋｜b|；（2)当两非零向量a与b反向时，|a－b｜＝｜a｜＋|b|＞||a｜－｜b｜｜;(3)当a与b中至少有一个为零向量时，｜a－b｜＝|｜a｜－｜b||＝｜a｜＋|b｜.当两非零向量a与b不共线时,如在△ABC中，eq\o（AC,\s\up6（→）)＝a,eq\o(AB，\s\up6（→)）＝b，则eq\o(BC，\s\up6（→))＝eq\o(AC，\s\up6(→）)－eq\o（AB,\s\up6(→））＝a－b，根据三角形中任意两边之差总小于第三边,任意两边之和总大于第三边,可得|｜a|－|b｜|＜|a－b｜＜|a|＋｜b|.综合可知,对任意的向量a与b都有||a|－|b||≤｜a－b|≤｜a｜＋|b｜.只有当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，｜｜a|－｜b||≤｜a－b|中的等号成立；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，｜a－b|≤｜a｜＋｜b|中的等号成立．题型一向量加(减)法的作图【例1】如图所示的向量a，b，c是不共线的向量，求作向量a＋b－c。分析:向量（加)减法作图的依据是三角形法则，先观察各向量的位置，再寻找或构造相应的平行四边形或三角形,最后依据几何意义确定其图形表示．反思:向量的加法与减法运算有“三角形法则"和“平行四边形法则”．运用“三角形法则”求和向量时应“始、终相接，始指向终”；求差向量时应“同始连终,指向被减”．运用“平行四边形法则”时,和向量对应公共起点的对角线，求差向量时应“终点相连,指向被减”．（如图)若题设或结论中出现两个向量的和差问题的相关计算，要善于运用向量加法、减法的两个法则求解．题型二化简【例2】化简下列各式：（1）eq\o（AB，\s\up6(→））－eq\o（AC，\s\up6（→))＋eq\o(BD，\s\up6（→）)－eq\o（CD,\s\up6（→））；(2）eq\o（NQ,\s\up6(→））＋eq\o(QP，\s\up6(→))＋eq\o(MN，\s\up6（→)）－eq\o(MP,\s\up6（→））。分析：灵活应用结论eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6（→））＝eq\o(AC,\s\up6（→）)和eq\o(AC，\s\up6(→）)－eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o(BC,\s\up6(→）)来化简．反思：满足下列两种形式可以化简：（1)首尾相接且为和;（2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式．同时要注意逆向应用及统一向量起点方法的应用．【例3】已知如图，在正六边形ABCDEF中,与eq\o(OA，\s\up6（→）)－eq\o（OC,\s\up6(→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→))相等的向量有__________．①eq\o(CF,\s\up6（→))；②eq\o(AD，\s\up6（→））；③eq\o(DA，\s\up6(→））;④eq\o（BE,\s\up6（→））；⑤eq\o（CE，\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6(→）);⑥eq\o(CA，\s\up6（→））－eq\o(CD，\s\up6(→)）;⑦eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AE，\s\up6(→）).反思：在向量的减法中，无论是作图还是化简都必须考虑起点是否相同，差向量的起点和终点顺序不能颠倒．答案：【例1】作法一：在平面上任取一点O，作eq\o(OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o（AB,\s\up6（→））＝b，则eq\o（OB，\s\up6(→))＝a＋b，如图①所示,再作eq\o（OC，\s\up6（→)）＝c，则a＋b－c为eq\o（CB，\s\up6(→））。图①图②作法二:在作出eq\o(OB，\s\up6（→）)＝a＋b的基础上，可以在点B作eq\o（CB，\s\up6(→))＝c，则eq\o（OC，\s\up6(→））＝a＋b－c，如图②所示．【例2】解:(1)eq\o(AB，\s\up6（→))－eq\o(AC,\s\up6(→））＋eq\o(BD，\s\up6(→)）－eq\o（CD,\s\up6(→））＝eq\o(CB,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6（→））＝0。（2）eq\o(NQ，\s\up6（→)）＋eq\o(QP,\s\up6（→））＋eq\o（MN，\s\up6(→））－eq\o（MP,\s\up6(→））＝eq\o（NP，\s\up6（→）)＋eq\o（PN,\s\up6(→））＝0。【例3】①eq\o（OA,\s\up6(→）)－eq\o（OC，\s\up6(→))＋eq\o（CD，\s\up6（→))＝eq\o(CA,\s\up6（→))＋eq\o（CD，\s\up6(→））＝eq\o（CF,\s\up6(→)）；eq\o(CE,\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o(BC，\s\up6（→））＋eq\o（CE,\s\up6(→）)＝eq\o(BE,\s\up6(→））≠eq\o（CF,\s\up6(→）)；eq\o（CA，\s\up6(→))－eq\o(CD，\s\up6（→))＝eq\o（DA，\s\up6(→)）≠eq\o（CF,\s\up6(→));eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o（AE,\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6(→))≠eq\o（CF,\s\up6（→））.1．下列四式不能化简为的是（）A.＋（＋) B．（＋)＋(－)C.＋－ D。＋－2．化简以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋.结果为零向量的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．3．如图所示，在四边形ABCD中,＝a，＝b，＝c，则＝__________.(用a,b，c表示)4．已知A，