【典例精讲】第8讲 数学广角-数与形-六年级上册数学

第8讲数学广角——数与形（思维导图+学问梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：利用直观图形表示数的规律从1开头的n个连续奇数相加的和可以用n2表示。用小正方形拼成答正方形，需要的小正方形的各数可以写成连续奇数的和，且这个和正好是每行或每列小正方形个数的平方。学问点二：借助直观图形解决比较简单的算式问题有些计算问题或较为简单的题目可以通过画图，把数字、算式转化成图形，使简单的问题简洁化、抽象的问题直观化，解决起来会更直观、更简洁。从开头的数列、、......的和是1。三、例题精讲考点一：数学广角——数与形【典型一】在一个平面上有68个点，一共可以连（

）条线段。A．68 B．2278 C．2346 D．1190【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。【详解】68×（68－1）÷2＝68×67÷2＝4556÷2＝2278（条）故答案为：B【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。【典型二】按规律填空。……图形……小棒根数3579…照这样摆下去，第10幅图需要()根小棒。第n幅图需要()根小棒。【分析】通过观看可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。【详解】第1图小棒数：3＝3第2图小棒数：5＝3＋1×2第3图小棒数：7＝3＋2×2第4图小棒数：9＝3＋3×2……第10图小棒数：21＝3＋9×2第n图小棒数：1＋2n＝3＋（n－1）×2【点睛】本题考查运用数形结合方法，探究数学规律。【典型三】小明用牙签搭六边形，如下图。（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。【详解】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。（2）第5幅图：6＋5×（5－1）＝6＋5×4＝6＋20＝26（根）第8幅图：6＋5×（8－1）＝6＋40－5＝46－5＝41（根）答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。（3）6＋5×（n－1）＝6＋5n－5＝（5n＋1）根答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。【点睛】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。【典型四】数与形。（1）认真观看每幅图和它下面的算式之间的关系，依据发觉的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。（2）依据上面的规律，完成下面的算式。1002－992＝（

）＋（）＝（

）20202－20192＝（

）＋（）＝（

）【分析】观看可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。【详解】（1）（2）依据上面的规律，完成下面的算式。1002－992＝100＋99＝19920202－20192＝2020＋2019＝4039【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。四、易错专练一、选择题（满分16分）1．如图，依据图形摆放的规律，第n个图形共有（

）个小三角形。A． B．2n C． D．2．用火柴棒按下图的方式搭正方形，搭30个这样的正方形需要（

）根火柴棒。A．120 B．90 C．913．已知：3×9＝27，3×99＝297，3×999＝2997，3×9999＝29997，那么：3×999999＝（

）。A．299997 B．3000007 C．2999997 D．299999974．一组图形按“☆☆☆〇〇△☆☆☆〇〇△……”的规律排列，第36个图形是（

）。A．△ B．〇 C．☆5．一串数：2、3、6、11、18…是按某种规律排列的，这串数左起第112个是（

）。A．10100 B．12321 C．12323 D．13216．有一列数按如下方式排列：2，4，6，8，10…，x，□，…那么方框里应填（

）A．x＋2 B．2x C．y7．假如一个小三角形的边长为，照这样接着画下去，第7个图形的周长是（

）。A． B． C．8．依据规律填数字15，25，35，45，（

）。A．60 B．65 C．50 D．55二、填空题（满分16分）9．如下图，第1个数是1，第2个数是8，第3个数是27…，依据图形与数的排列规律，第5个数应是()，第n个数是()。10．看图找规律，想一想，填一填。假如照这样排下去，第7幅图下面的□里应填()。11．用1米长的木杆搭建围栏，下表显示的是搭建规律。当围栏长度为n米时，用了()根木杆。图形……围栏长度/米1234n总数量/根610141812．如下图，用方桌依据下面的方法拼成长方形大桌支配座位，照这样的规律，5个方桌拼成的大桌一共可以支配()个座位。n个方桌可以支配()个座位。13．一个从1开头的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最终一个数是()。第一行1其次行23第三行4567…………14．按规律填分数：、、、、、()、()。15．找规律填数：（1）4.8，1.2，()，0.075，0.01875；（2）()，32，4，0.5，()。16．按规律填空∶1，2，4，8，16，32，()，……三、推断题（满分8分）17．1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝52。()18．…＝1。()19．在数列“，，，，，，……”中，第10个数是。_____20．算式9×6＝54，99×96＝9504，999×996＝995004；通过这三个算式不用计算就可以得出999999×999996＝999995000004。()四、作图题（满分12分）21．(6分)观看下列图形的变化规律，在空格内画出适当的图形。22．(6分)观看下面的图形，按规律在“？”处填上合适的图形。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）五、解答题（满分48分）23．(6分)下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。（1）像这样摆下去，第n个图形中有（

）根火柴棒。（2）当时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。24．(6分)先认真观看，再填一填。（1）下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？照样子填一填。32－1＝8

52－32＝16

（

）（2）照这样的规律画下去，第5个图形最外圈有（

）个小正方形。请你解释其中的道理：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________25．(6分)将奇数1、3、5、7、9……按图中规律排列，如：数19在第3行第3列，数37排在第5行第4列，那么数2001在第几行第几列？26．(6分)观看下列挨次排列的等式，猜想第21个等式应当是多少？9×0＋1＝19×1＋2＝119×2＋3＝219×4＋5＝41……27．(6分)找规律计算。已知：1－＝－＝－＝－＝请计算：＋＋＋＋＋＋＋＋28．(6分)下列各图至少要用几笔才能画成？29．(6分)下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的。假如按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？30．(6分)在一个正方形的每条边上摆4枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆多少枚？（用画图的方法表示出来即可）参考答案1．D【分析】解答此类的方法是从给出的几个图形进行分析，找出规律即可。【详解】①三角形个数：1②三角形个数：＝4③三角形个数：＝9④三角形个数：＝16所以第n个图形有个三角形。故答案为：D【点睛】本题主要考查了归纳推理，找出图形之间消灭的规律是解答本题的关键。2．C【分析】1个正方形需要4根火柴棒，2个正方形需要7根火柴棒，3个正方形需要10根火柴棒，依据图示可知，每增加一个正方形就增加3根火柴棒，所以搭n个这样的正方形需3n＋1根火柴。【详解】由分析可知：3n＋1＝30×3＋1＝90＋1＝91（根）故答案为：C【点睛】主要考查了同学通过特例分析从而归纳总结出一般结论的力量。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的。3．C【分析】依据已知的算式可得积的规律：固定数字不变的是2、7；假如其次个因数9的个数是n个，那么在积的数字“2”和“7”的之间就排n－1个9；据此解答。【详解】依据分析可得，3×999999＝2999997；故答案为：C。【点睛】主要考查了同学通过特例分析从而归纳总结出一般结论的力量．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。4．A【分析】观看图形可知，这组图形是6个图形一个循环周期，分别依据☆☆☆〇〇△的挨次依次循环排列，据此求出第36个图形是第几个图形中的第几个图形即可解答问题。【详解】36÷6＝6所以第36个图形是第6周期的最终一个是△。故答案为：A。【点睛】依据题干得出这组图形的排列周期规律是解决此类问题的关键。5．C【分析】依据题意：从前面的几个数可以得出：相邻的两个数的差依次是1，3，5，7，……，所以得到第1个数：2；第2个数：2＋1＝3；第3个数：2＋1＋3＝6；第4个数：2＋1＋3＋5＝11；第5个数：2＋1＋3＋5＋7＝18；可得出第n个数：2＋（n－1）2，题目中要求第112个数，即把n＝112代入式子即可。【详解】第1个数：2；第2个数：2＋1＝3；第3个数：2＋1＋3＝6；第4个数：2＋1＋3＋5＝11；第5个数：2＋1＋3＋5＋7＝182，3，6，11，18，……的差为1，3，5，7，……，可得当第n个数是：2＋（n－1）2当n＝112时2＋（112－1）2＝2＋111×111＝2＋12321＝12323故答案为：C。【点睛】通过观看，分析，归纳并发觉其中的规律，并应用发觉的规律解决问题。6．A【分析】观看可知，这一列数都是偶数，相邻的偶数相差2，据此分析。【详解】□里面的前一个数是x，则□里面应填：x＋2。故答案为：A【点睛】关键是看出这一列数的特点，相邻的两个数相差2。7．B【分析】第一个图形的周长是3，其次个图形的周长是4，第三个图形的周长是5，据此分析，每增加一个三角形周长就多1，所以第n个图形的周长＝3＋（n－1）×1＝n＋2。【详解】第七个图形的周长＝7＋2＝9（厘米）故答案为：B。【点睛】此题考查同学的推理力量，依据数据归纳出图形周长存在的规律是解题的关键。8．D【解析】依据前几个数，可以找出规律，每次递增10，45＋10＝55。【详解】依据规律填数字15，25，35，45，55。故选D。【点睛】先找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的，再利用规律求解。9．

125

n3【分析】经观看发觉，每个数都是个数的3次方，据此解答即可。【详解】53＝125依据图形与数的排列规律，第5个数应是125，第n个数是n3。【点睛】解决本题的关键是数与个数之间的关系。10．28【分析】观看图形可知：第一幅图要排1个；其次幅图要排1＋2；第三幅图要排1＋2＋3；由此即可找出规律解决问题。【详解】由分析可得：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝3＋3＋4＋5＋6＋7＝6＋4＋5＋6＋7＝10＋5＋6＋7＝15＋6＋7＝21＋7＝28【点睛】主要考查了同学通过特例分析从而归纳总结出一般结论的力量，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是依据什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。11．4n＋2【分析】围栏长度为1米时，用了6根木杆，即4×1＋2；围栏长度为2米时，用了10根木杆，即4×2＋2；围栏长度为3米时，用了14根木杆，即4×3＋2；围栏长度为4米时，用了18根木杆，即4×4＋2；当围栏长度为n米时，用的木杆根数为：4n＋2。【详解】由分析可知，当围栏长度为n米时，用了（4n＋2）根木杆。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发觉围栏长度每多1米就多用4根木杆是解本题的关键。12．

12

2n＋2【分析】依据题图可知，一个桌子可以支配4个座位，至此以后，每增加一个桌子就增加2个座位，据此可知当有n个桌子时，可以支配4＋2（n－1）＝2n＋2个座位，据此解答即可。【详解】当有n个桌子时，可以支配（2n＋2）个座位；当n＝5时；2n＋2＝2×5＋2＝125个方桌拼成的大桌一共可以支配12个座位。【点睛】解答本题的关键是依据题图找到规律，再依据这一规律解决实际问题。13．63【分析】通过观看分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第n行的数字的个数为个，又每一行中最终一个数为前边从第一行到这一行中全部字的个数，如第三行中最终一个数为7，则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第n行中最终一个数字为1＋2＋4＋…＋。【详解】＝＝＝2×2×2×2×2＝321＋2＋4＋8＋16＋32＝63【点睛】查找数字排列中的规律，平常要留意多积累，培育数感。14．

【分析】观看数列可知，各分数的分子依据1、3、5、7、9排列，相邻两个数的差是2；分母分别为4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，所以后面两个分数的分母应为72＝49，82＝64。据此解答即可。【详解】9＋2＝11，11＋2＝1372＝49，82＝64、、、、、、。【点睛】本题考查数字排列规律，发觉规律，利用规律是解题的关键。15．

0.3

256

0.0625【分析】（1）4.8÷1.2＝4，0.075÷0.01875＝4，前面的数是后面的数的4倍；（2）32÷4＝8，4÷0.5＝8，前面的数是后面的数的8倍。【详解】由分析得，（1）1.2÷4＝0.3（2）32×8＝2560.5÷8＝0.0625【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是正确找出规律并用规律解决问题。16．64【分析】2÷1＝2，4÷2＝2，后一个数是前一个数的2倍，由此求解。【详解】16×2＝32，32×2＝641，2，4，8，16，32，（

64

），……【点睛】解答本题的关键是；正确找出该组数字的变化规律，并能找到它们之间的联系即可。17．√【分析】从1开头，有几个连续的奇数相加，和就是几的平方，据此解答。【详解】由分析得，1＋3＋5＋7＝4²，5＋3＋1＝3²所以，1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝4²＋3²＝16＋9＝25＝5²故答案：√【点睛】此题考查的是数与形结合，解答此题关键是正确找出规律，并用规律解决问题。18．√【分析】依据算式可知，后面一个数是前一个数的，假如把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。所以…＝1，据此解答即可。【详解】…＝1，说法正确；故答案为：√。【点睛】本题接受了数形结合的思想，使题目形象化，再利用极限思想得到结果。19．√【详解】这个数列中从左到右分别是1、3、5、7、9、11、13、15、17、19……分母从左到右分别是12,22,32,42,52,……由此可知：第10个数分子是19，分母是100。故答案为：√20．正确【详解】规律：第一个因数依次增加一个数字9，其次个因数6前面依次增加一个数字9，结果是5前面是9，5和4中间是0，9的个数和0的个数等于其次个因数中9的个数。21．【分析】每幅图中的小圆圈都是以最中心的一个向三个方向延长，每次都是每个方向增加1个，并且每个方向上的小圆圈都是黑白交替排列的；第四幅图，在第三幅图的基础上，每个方向增加一个白色的小圆圈。【详解】如图：【点睛】本题也可以先考虑数量上的变化规律，再考虑颜色的排列规律。22．【分析】观看图形可知：第一个图形是1个，其次个图形是3个，第三个图形是5个，第四个图形就是7个，第五个图形就是9个，它们的规律是连续加2；据此即可解答问题；解决此类问题的关键是：依据题干中的图形找出事物排列的一般规律，从而即可解答。【详解】察下面的图形可知，按规律在“？”处填上7个三角形。如图：23．（1）（2）64根【分析】（1）摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3×1＋1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成3×2＋1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3×3＋1…；由此可以推理得出一般规律解答问题；（2）当n＝21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。【详解】（1）依据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：（3×1＋1）根摆二个图形需要火柴棒的数量：（3×2＋1）根摆三个图形需要火柴棒的数量：（3×3＋1）根由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：（3n＋1）根（2）当n＝21时3×21＋1＝63＋1＝64（根）答：摆21个正方形需要64个火柴棒。【点睛】依据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。24．（1）72－52＝24（2）40；道理见详解【分析】观看可知，最外圈小正方形的个数＝大正方形边长×边长－临圈正方形边长×边长，如第一个图形：32－1＝8＝1×8，其次个图形：52－32＝16＝2×8，第三个图形：72－52＝24＝3×8……所以第几个图形最外圈小正方形的个数就用几×8，据此分析。【详解】（1）第三个图形：72－52＝24（2）5×8＝40（个）第5个图形最外圈有40个小正方形。从前3个图的计算结果看，第一个图形最外圈的小正方形的个数的是1的8倍，其次图形最外圈的小正方形的个数的是2的8倍，第三图形最外圈的小正方形的个数的是3的8倍，以此类推，第五图形最外圈的小正方形的个数的是5的8倍，是40个。【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。25．251行第2列【分析】依据上表可以得出以下信息，即每一行为4个相邻的奇数，当行数为奇数时从其次列开头到第五列，当行数为偶数时，从第四列开头到第一列，奇数都是递增排列的，所以可以得出2001的位置。【详解】由题意可知：排列为1，3，5，7，……2n－1，2n－1＝2001解：2n－1＋1＝2001＋12n＝20022n÷2＝2002÷2n＝1001说明2001是第1001个奇数1001÷4＝250……1所以是在第251行，该行是从左到右写，因此是第2列。答：数2011排在第251行第2列。【点睛】通过观看，分析、归纳并发觉其中的规律，并应用发觉的规律解决问题是