考研数学二一元函数积分学

考研数学二一元函数积分学

1.【单项选择题】下列结论中正确的是

dr与「da*

都收敛.

JjC(1+J7)\[x(1+7)

dz与厂dr

都发散.

>/r(1+x)\!x(i+/)

d»r收敛，「‘—发散•

G(i+i)向1+工）

djr发散.「‘—收敛

G(i+/)J1向1+工）

正确答案：A

参考解析：

Cldj,d\/Cr

因9=2arctanvr-募■•收敛.

\ZT(1+.r)J。1+尸

dz

同理=2arctan\[x|=＞也收敛.故选项（A）正确.

*1\Zr"(1+z)

若已知|*d.rj-/(sin30dly=1•则I/(cosi)cLr=

2.【单项选择题】

7C

A.7,

2_

*

B.7T

£

-7•

C.7T

7T

D.

正确答案：D

参考解析：因为

,7f«,1)j/(siny)dy

d.rx/(siny)d,y.r&r/(siny)dy=

0Jo00婷

2『

/(siny)dy=1

所以/(sin3)dy=/而

Jo4

•/2

/(siny)dy/(cos.r)dz=2/(cosj)d.r=y

00

pj.

从而/(cosj)d.r=%故选(D).

4

3.【单项选择题】下列用牛顿―莱布尼茨公式计算定积分的做法中，错误的做

法一共有

①]>/sin3x—sinxdj'=sin^xcoszcLr=-^-sin~x

=0.

o5o

②/虫=InIj=0.

J-1J7

sec一1

arctan=0.

2+tan。o

④J-arctanjdj=arctan-_工

T-

A.1个.

B.2个.

C.3个.

D.4个.

正确答案：D

参考解析：必须逐一分析

⑴%in"仅在寸”是被积函数的原函数,在一刊上的原函数是一台工因此

这里的做法是错误的.

(2)：在Z=。无定义,在［-1」］上无界,不存在定积分,这里错误地应用了牛顿-莱布

尼茨公式.

(3)tarclan"不是整个区间［0,一上的原函数,它在/=］无定义,只是0彳)与

(f.n上的原函数,不能在［0,/上用牛顿一菜布尼茨公式.

(4)/(i)=2krctan：)在1r=0无定义,可任意补充定义/(0)后,arctan：仍不是

/(工)在整个区间［一1,1］上的原函数，因为它在I=0无定义•因此不能在［一1,1］上用牛顿

-莱布尼茨公式.

因此小(D).

4.1单项选择题】J。〃r(l一外

A.Ji.

B.2.

C.I.

D.X.

正确答案：B

参考解析：方法1分母先配方后再作平移变换

选(B).

先改写成

9t.=2jLo(1+产/)2”

=——~7+—~~-=arctant

14-r0Jo1+广

选(B).

方法m令z=sink则

•X

"sin'，•2sin/cosfd/K

=2sin'/d/=2

0x/sin2/(1—sin'/)2

选(B).

函数F(z)=ln(1+cos2/)cos2tdt

5.【单项选择题】

A.为正数.

B.为负数.

C.恒为零.

D.不是常数.

正确答案：A

参考解析：因被积函数是以开为周期的函数，它在每个周期上的积分值相

等，因此，

«41ft

F(T)=F(0)=ln(l+cos/)cos2tdt——ln(14-cos*I2/*s)dsin2t

JoZJo

1iiz八.*12cos/(-sin/).0d

=­ln(1+cos/)sin2t--——---；---sin2tat

2o2Jo1+cos?，

=!,「誓td/〉0(因被积函数连续且大于等于零,不恒为0)

4JO1+COSY

所以选(A).

6.【单项选择题】由曲线y=l-(x-l)2及直线y=0围成图形绕y轴旋转而成立体

的体积V是

1y=1(x-l>

O12x

“(1++y)%。

A.一

I兀(1-—“dy.

D.」

«[(1+—y)—(1—-y)7dy

C.Ju

2

nfK[(1+\/l—y)—(1——"Idy

u.

正确答案：D

参考解析：把曲线表成x=x(y),要分成两条：

n=1士-y(0&y41)

看成两个旋转体的体积之差：

Vi=jt(1+—y)'dy,匕=n(1——»尸dy.

J0"J0

于是V=V,-V,=-(1-

J0

因此选(D).

7.【单项选择题】

曲线r=『e招(〃>0/>0)从夕=0到。=a(a>0)的一段弧长为

s=aew+/dd.

A.Jc

ns=)dj.

+(ae”2d。.

C.0

s=abv'1'v1+(abe^)2d^?.

D..

正确答案：A

参考解析：利用极坐标方程表示曲线的弧长公式，

s=，＞+(r'VdJ=\j(ae的产+(a)?d。=ae"，1+//d6

J0JoJ0

因此选(A).

8.【单项选择题】旋轮线x=a(t-sint),y=a(l-cost)(OWtW2无)的质心是

正确答案：A

参考解析：先求弧微华_____________________

去=，/'2(/)+1/2(/)(1/=</«■(1—cos/)2+a2siir/d/

=a>/2(1—cos/)dz=2asinyd/(04tg2n)

于是得弧长

，r'2(/)+y"(/)d/=2«sin-^-d/=4«cos-yjI=8a

JoJ0L\Z/I0

四个选项中,质心的横坐标均相同,所以只须求质心的纵坐标为此.

再求3(f)/r"(/)+y"(/)d/=[<i(l-cosz)2asinyd/

nJA/

sin-yd/=8a?sin'/d/

L*o

…232

=16a2sin'/d/=lod'•—=—a'2

JV

32

y(t)，产(/)+y"(/)d/2

因此代人公式得§=-------------------=4一=£〃

|”⑺+/⑺山■

因此诜(A).

9.【单项选择题】半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水

面齐.设Pg=l.若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力p为

fR_____

JR—1?d.r.

A.J.

n「2v/R-.r-dx.

B..>

2x\/R—x2d.r.

•a.

2(R—x)\/R:—x2d.r.

D.」

正确答案：c

参考解析：

如图所示,任取[才々+&10(=[0,/<!.相应的小横条所受

压力微元

dp=x•2ydz=2JC\/R2-x2djr

•R

于是，闸门所受压力P=2.rMR：—/精工选(C).

10.【单项选择暨】设f(x)在[0,+8)上连续，在(0,+8)内有连续导数且

xf(tr)d，+2/(f)dl=+/',

J0J0

则可得

A.f(x)=Cx2-3x2ln(l+x)(xG[0,+°°)),(C为任意常数).

+8)).

r0

''八JC为任意常数).

J-=0

x>0

j*=o'

正确答案：c

参考解析：令tx=s,原方程变为

f/(5)d5+2[/⑺&=//(1)+

J0J0

即3=xf(jc)+x3

J0

两边对工求导得3/(x)=犷'(1)+f(z)+3〉

即/"(工)——/(x)=-3x(n>0)

X

（原方程中令1=0.等式自然平立.不必附加条件）.

方程两边乘〃（程=eT狂=!得

积分得=—31nx+C

=Cr2—3121nx(z>0)

由连续性/(0)=lim/(x)=0

jr-»O*

“、Cz2—3x2lnx»n>0

因此求得

(、为任意常数.选(C).

11.【单项选择题】曲线y=x(xT)(2-x)与x轴所围成的图形面积可表示为

().

•2

—J-(J*—1)(2-a-)dj-

A.Jo

*1f2

x(x—1)(2—J-)da,—z(«r—1)(2—JT)d.r

B.JoJi

—x(x—1)(2—x)dx+x(x—1)(2—vF)(lr

C.*(iJi

•2

JCJT—1)(2—j*)dj

D.Jo(

正确答案：C

参考解析：

曲线y=j-(.r-1)(2—J-)与z轴的三个交点为1=0.i=l,i=2,

当0〈.r〈l时,y<0;当1〈工〈2时,y〉0,所以围成的面积可表示为(C)的形

式，选（C）.

o才1"收敛,则（）•

12.【单项选择题】设反常积分

A.a>l且b>l

B.a>l且b<l

C.a〈l且a+b>l

D.a<l且b<l

正确答案：B

参考解析：

对于耳UI着HfO♦看，由于a>6〉0.故。趋于。的“速度”慢于胃于于0的“速度〜九

pi1

于是人与占dr同做微，则YL

对于八,盯着rf+8宿由于”>6〉o,故/趋于+：<的“速度”快于y趋于+g的“速度”，

/+，与/为等价无穷大黄，于是/,与］'llr同敛做,则a>1.

综上，a>l且b〈l,故选(B).

13.【单项选择题】如图所示，设立体的底是介于y=x2-l和y=O之间的平面区

域，它垂直于x轴的任一截面是一个等边三角形，则此立体的体积为().

正确答案：D

参考解析：品直于I轴的任一截面的边长为L/—1I,故其面积为

A(j)=-1-(a-2—l)2sin-?•=—(—1)2,

231

故立体体积为

A(«r)cLr=gj(x"-1)2dr

(x2—1)2cLr

sin«r.f*

14.【单项选择题】

A.x=n是F(x)的跳跃间断点

B.x=n是F(x)的可去间断点

C.F(x)在x=n处连续但不可导

D.F(x)在x=Ji处可导

正确答案：C

参考解析：

x-％是〃*)的跳跃间断点•故八可根.则F(力=|'/。)由在1=n处连续,

但不可导(正喻.

15.【单项选择题】下列反常积分收敛的是().

广疝

A.

r业

B.

C.

T

D.

正确答掌.A

需于A：利用极限审敛法.由于

15

lim―,■=1。="77>1,0</=1V+0°)•

一后

参考解析:

故枳分收敛.

对于B.x=0&；­；-/•■■■的暇点.由

ln(1+x)

lim(x-0)—r.1(A-110</<1V+8).

Itln(l+J)

知积分发敢.

对于CM・0是」一的暇点.由iim(x-0).，—=1(A=1«0</=lV+・3

sinxi*sinx

知积分发散.

对于Dg|■',,cLr=I1+J'

J-0+x*Jrvl+jrJ1+:

用定义法,如limI，工｝lim［芈士岑二g•?■—―・

故原积分发散.

16.【单项选择题】

设3>0♦在(―d・6)内有/(x)，&丁・/*《工)>0.1—I/(i)(Lr♦则

A.1=0

B.1>0

C.K0

D.不能确定

正确答案：B

参考解析：礴定。(彦♦)内的符号.

由|/(x)|4/,知/(0)=0,且

04I/z(0)I=limI八;，I&limJ।=0,

故/(0)=0.由<(z)>0,知/(J)单调增加，故在区间(一九0)和(0.S)内分别有f(工)<0

和/(x)>0.

因而/(工)在(一6,0)内单调减少,在(0")内单调增加，又/(0)=0.知八外在(一九S)

内非负,且仅在工=0处义］)=0,所以/=『JCr)dr>0.故B正确.

17.【单项选择题】设f(x)二阶可导，则下列结论正确的是().

①当［《*》V0时•则|/(jr)sinxdurV01

②当，(i)V0时•则|/(x)sinjrdz>01

Jr

③当/”(J)>0时,则|f(J)CO»rd.r>Oi

J~9

④当r(*>>0时•则|/(x)cosxdrV0«

A.②③.

B.①②

C.②④

D.①④

正确答案：D

参考解析：

依题点,只需判别被积南故的正、负即可.学成到“与=K・T上分别

1E负和非正♦有I/(x)smjrdj™|/(x)sinxcLr+I」-<Lr.而

JJJ€

|/(x)sinxdxJ/(一M)sin(-it)(—dw)

J-•J・

r・r・

二—|/(一u)sin"d*H-|/(—jr)sinxdx»

j♦j•

ftr.

故/(x)sin-rdr■■|J(x)一/(一x)」，in/(Lr.

由r(i)VO.知/(x)单调减少•故当［o.ic］时•有八］4八一储.于是

I/(x)Mnxdr■|―/(-x)J^inidrV0«

J—・Jo

故①正确.又

/(x)cosJ*dr*/(x)d(sinx)./(x)sinx—I/^(xJ^inxdr

JrJIJ~w

=—I/>(x)sinx(Lr«

且由/a)>o•知，G)单谢增加•从而一,(上)单谓谶少,由①正确.知

r«r•

/(x)cosxdx=­/(jO&inxd.rV0«

<-*<j**•

故④正确.从而D正修.

18.［单项选择题］设反常积分，L收敛,则正确的是

A.k>-l

B.k<-l

C.k>l

D.k<l

正确答案：D

参考解析：ee（e,…;1）.

当工一+8时,e-Ye-卜|-1）与丁（1-85；）是等价无穷小，又1一（：0§1与*是

等价无穷小,则^（e-^-e-1）与上是等价无穷小.

2er

当£V1时,2-/>1,故♦（©3］一丁）业收敛;

J1

当戈21时,2一k4是阶数不高于上的无穷小.故「口（e-易一e-1）业发散.

4

zer"T1

19.【单项选择题】“〜

A.I仅依赖于s

B.I仅依赖于t

C.I依赖于s,t

D.I依赖于s,t,x

正确答案：B

〃•财du=一<Lr♦故

s

(f+：jd-r——(f(a)sdi<.J

参考解析：

2设积分焉”>0.q>。)收敛,则(

【单项选择题】

A

・P>1且q〈l.

B

・P>1且q>l

c

•P〈1且q<l

D

•P〈1且q>l

正确答案：A

dredr.dr

9g

参考解析：T»1n.r!.r^ln.r.r^ln^jr'

由于Inz=ln「1+(z—1)1N—1(1*f1)■故由

Gr-1).

可可:湍；与£各效敢性相同,故当qv।时/岛收氮

当qV】・/>H】时・|；旧；=])=8,故复散।

当q<1.户V1时♦VPVaV1♦lim0f■+•且|与发散•故|生;

f••«ij•jrJ9JCin.

j?

当gVl.p”时/亳〈广竽故厂磊收新

嫁上所述•当；>>l・qV】时•枳分收敛.A正确.

1

rf______d*r______

21.【填空题】'J-i(l+e")(l+j-2)

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

7t

参考解析：4

【解析】

令X=-t,则

d.rdre'd/

(l+eO(H-jr2)J-I(1+e;)(1+/2)J-1(l+e，)(l+/)

dzfe'dz1

则/-i(l+ex)(l+x2)-Jr(l+e9(l+/).

2T1+/—Jo1+/

22.【填空题】

*

已知/'（43）d«Z=，+C（C为任意常数）,则八工）=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

9

产+C.C为任意常数

参考解析：5

【解析】

将J/'(z3)d/=/+。两边求导得

f\x3)=3xz

令f=/)，则，(/)=3/

Q5

=>f(z)=片•加+C

5

因此•/（/）=为任意常数.

23.【填空题】、'

设/⑴有一阶导数且满足/（fx）dz=f（x）+xsin则/（工）=_______.

Jo

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：-xsinx+cosx+C,C为任意常数

【解析】

作变量替换tx=s,改写方程为

/(s)ds=/(z)+zsini(z#0)

f(s)ds=+j-2sinx(V.t)(1)

J0

/(工)="'(工)+/(I)+(fsinT)'(2)

(1)式与(2)式是等价的,(2)式又可改写成

fCr)=一宜晅立GRO)

X

,、fd(j'sinx)..f.I1\.

r(=—j---------=—zsinJ+JJs2mx•pjdz

=—jsinI+cosT+C(Vx).

24.【填空题】

设/（灯是定义于工二1的正值连续函数,则

厂/2+Inz)—(申+In

J,(7/（DdMz21）

的极小值

点是x=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：2

【解析】

F(x)=(y+ln/(/)dr-£(y+ln⑺&

=>F，(z)=F~2+-)j7(nd/+(|+lnx)/(x)-(1+In工)/(工)

<0,(l<x<2)

—2任

(x=2)

Ji

>0,(Z>2)

工=2是极小值点（也是最小值点）.

十sirtr.7t

【填空题】设0—dj=2

25.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

sin2x]

sin\rd+-----ax

00J0工

中由sin2x..sin2x

因为hm----=0,lim-----=0,

LO+XL"I

所以「"璋业=「sin2x...、f+°°sinjr.x

廿⑵)=J。---dr

JoTJ0I2

26.【填空题】

设f(i)为连续函数,且满足f(xt)dt=/(x)+zsirkr,则/(Z)=

请查看答案解析后对本题进'行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

riri

由f(J/)dz=/(.r)+rsinx,得f(xt)d(.r/)—xf(x)+.r2sinj,.

・.CJ0

即/(/)d/=x/(x)+7'siiir,两边求导得/(x)=-2sinx-xCOST•

Jo

积分得/(jr)=COST—J*sinz+C.

27.【填空题】

3,1—Tfl

设函数y=v(/)满足4丫==----二Z+。(Ar),且y(1)=1,则y(z)dr=.

V2J~X“

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

1

因为匹=“「二"因为Az).所以4=-：■•于是

生_J&J1—7"

y(1)=j——^—dj=—■--■—d(2j-x2)=-Jlx—x2+C,

y/2x—X225/2J*-X2

由y(l)=l得C=0,故y(z)=V2JT—x2,

y(N)clr=fy/2x—x2dr=—(x—1)2d(x—1)

0J0J0

，=N-1/------.f1/------亏.7t

.....一厂ck=〃d/=—.

«—i•04

f21'12dr7t.

设，=7•，贝rJla=_________.

28.【填空题】JaJe-1

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

d/*1一二

因为|=—2------d(e;)=­2arcsin(e:)+C.

•/ex-1A/-fx2

V1—(e)_r

"2ln2dj*—321n2yr一言八

所以-=—2arcsin(e:)=—2——arcsin(e?)=—

J。—1“L6」6

7t•

则arcsin(e，)=丁，故a=ln2.

4

29.【填空题】

设/(x)=-包d/，则f(x)dx=

Jon-2-£'J0

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

参考解析：【解】

*,/rsin,,「*」f*sin£.f«.,

/(x)dj-=aj------at—d/-----dz=sm/d/=2.

JoJ0J07t-tJoJf7T-tJ0

30.【填空题】

设/(1)=/+则|f(a:)d.r=.

请查看答案解析启对本题进行判断：答留了答错了

正确答案：

_2

参考解析：2(1—a)

【解析】.

令A=「f(工)业，则f(l)=z+A,两边积分得

2J。2

A=、+aA,解得A=---

ZZ(1—a)

31.【填空题】

'*81nr

设函数/(I)在［1，+8)上连续，/(J)dx收敛,且满足/(］)=7T%

J1(1+1)

1J.丁2产8产8

,7f(z)d/,则/(x)cLr=.

14-TJ1JI

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

41n2

参考解析：4一\/2八

【解析】.

记A=「"/(工)心，对所给等式两边在区间［1.+8)上对］积分•得

In.1±£.

1七十Adz.因为

i1+.r4

"用三d工=一电三dj_।.

*+工+工)11+工In2.

i(1+J-)*21+N(11

所以A=In2+穹A,解得A=业

44-727(

32.【填空题】计算下列不定积分.

J%Zr(4-z)

(2)

sin3xcos2zdz=;

(3)

f2x-6,

-----------dj-=

Jar2-6z+13

―；-----dr=；

Jsirrzcos'z

(5)I

*sinT—3cosj,

-------------dr=

二__------------------

⑺

J(1一力71T^7

(8)

M^-=

Je,+e-'---------

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：(1)

arcsin---------FC

2

【解析】

由于V.r(\~

\Zr(4—,r)

cos3.r+C

53

【解析】

sin4.rcos2jd.r=—Jsin'.rcos2.rd(cos.r)

(1—cos'T)cos2(cos.r)

cosl.rd(cos,r)-cos2.rd(cos.r)

=lcos\r--cos3x+C.

53

(3)

ln(.--6i+13)+C

【解析】

2x—6

dr=,叱=1心一61+13)+C.

.r-67+13j----6x4-13

(4)

13,0

-tan.r+2tan

3

【解析】

f-A-dr(sin2j-+cos2J-)2,

----------------7------.

Jsin"j'cos4J-sirrj-cos.r

r—2^-d.r+1

JCOS'J--2

tan2xd(tan.r)+2tanjr—cot.r

-tan1x4-2tanJT-col.r+C.

3

3

—cotxH---------—”F(

2sin'J-

【解析】先将分式变形。可得

d(sinJ*)

；d.r-3

sinJTsin'.r

col-3•---------(sin.i)，+C

-34-1

■皿+3+c.

2sin-.r

(6)

—(1—>)三一(1-.r2)7+C

i解析】方法一将被积函数变形，

rx31rx2

-----------dr=——-d(l—x2)

J一122J一。丁

1

(1—)i—(1—.r2)-_id(1—.r)

2

方法二令I=sin'，则

d.r=sin'/d/=sin'/•sinidt

J-J\-r

(cos2/—l)d(cos/)

利用COSI=\/l一丁，得

原式—y(l—X2)~—(1—J)T+C.

(7)

---+C

1—

【解析】____

令〃=\/T—x=1-u:,dr——2〃da.则

---------CLC—f—1•一,LL…U)au一=­2T2

J(1—«r)x/1—z」U

(8)arctanex+C

【解析】

f1,f1.•d(e，)

-------nr=-----------ar=

rin,.「r(r)r

/*(j)ff，(a)dx=f(j)dL/(/)]=——----

=曾，⑴了一曾⑹产

由于/(/)=e、/'(I)=-2ie‘•则f'O)=-2e'./z(0)=0•因此

/'(/)/"(z)cLr=2e

•2J。

35.【填空题】H7^=---------

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

7C3

参考解析：8

【解析】

(arctanrur)d.r=(arctan?i/)3d.r

][2"1

(arctanM)3dw=—(2n—加(arctan

nJnn

=arctan&尸.

其中〃VWV2n.

因为limarctann=~.limarctan2n=弓■，所以有

4ir―84

lim(arctan=lim(arctan$,)=

U—8J-JW***OC

36.【填空题】设对任意x,有f(x+4)=f(x),且f'(x)=l+|x|,x£[-2,2],

f(0)=l,则f(9)=.

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正确答案：

5

参考解析：2

【解析】

由/(/+4)=/(工).知y(9)二八1).而

枳分•用

因为八外可号•所以“外在工=0处连续.用G=G-1.故〃9)・八1)■

36.【填空题】设对任意x,有f(x+4)=f(x),且f'(x)=l+|x|,xe[-2,2],

f(O)=l,则f(9)=.

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正确答案：

5

参考解析：2

【解析】

由八/+4)/(I).知/(9)—八1),而

枳分•得

因为/⑺可与•所以/(J)在Z―0处连续.用C,=G=】,故/(9)=/(1)-去

37.【填空题】(I)

设/(x)=|$in(z—八'市•则//(x)"

(口)设「(工)=|'//(x2-r2)dr,/(j)是连续函数,则F'(z)=；

(III)设F(z)=〃'(＞一/)山./(工)在工=0某邻域内可导•且/(O)=0,『(0)=1.

则lim汇

上…X

(1\)设£»([)=—d/.p(x)=|(1+/)df,则lim

J0IJo…

/Intdt

(V)极限lim一；----=________;

ix-------

arctand+/)d/\du

(\1)极限limJ—八--------1—=

LO1(1-cosJT)

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正确答案:

151万

22

参考解析：(I)sinx；(II)xf(x);(111)4.(IV)(V)'8；(VI)?

【解析】

(I)

sin(x-/)2d/1sinuJdu=sinMd"，故

f(x)=关「sinu2du=sinx2.

(ID

tf{x2—t2)d/y|/(x2—t2)d(x2—Z2)

i'".f<U)du=-yj

故F*(x)=f(.u)duj=x/Cz1).

(Ill)利用(II),有-

lim晔=lim/把二lim纣

4四，一。4八'4，

(IV)

4xJ

q—I«I.imcosx•1h.ms--in---x-•tl*im-l-n-(-c--os；---x-)-i

——1lti.m------s--i-n--x--———1.

4Z.r•cosxa

(VI)

rf

arctan(1+f)d/duarctan(14-/)d/

limd・”——―--「・’・=lim--------------------

“7x(l-cosx)“73•

yx

2JT•arctan(14-x1)x

=Rhm-----------；----------小

3,rb

38［填空题］曲线"="in'>0.()43n)的弧长…

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正确答案：

参考解析：,•

解

na[sin'3aJsin:tdt-

39.【填空题】由曲线y=lnx与两直线y=(e+l)-x及y=0所围平面图形的面积

S=

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正确答案：

3

参考解析：。

【解析】

如图3—2所示,

S=fC(e+1)-j—e,]dy=言，

JoL

Ea

或S=Inxdx+(e+1—x)dr=—.

J1JeL

40.【填空题】

设在上轴的区间1・1]上有根K度为1的细棒,若冗线密度=21+1.则该

细棒的质心坐标/=J

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正确答案：

7

参考解析：12

【解析】

[xp(x)(Lr|x(2x4-1)<Lr.

由细棒的质心坐标公式•得J=S,-----------=-----------------------&

|p(j()(Lrj(2x4-1)dr

41.【填空题】

已知|C山浮则曲线y=(51+9)|，/山+(7L3)「J山的斜渐近线

程为.

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正确答案：

参考解析：'「彳--

【解析】_

由于|e'd/~~~~|c*'(-du)"fe,du»g•故

J-J♦」©幺

ed/-51e"dz=，*•

M=lim(y-ktx)=—vx«r)

■(_9je1d/-3je,d/)+limx(5je，山+71e'd/一、G)

71e，dr—5je」dr-vn

=_6Vic+lim■，■”■■工・■・

同理•可求海

k：=lim>=-、x.d=lim(y-t-vKX)=6v7,