2025届山东省菏泽市定陶区实验中学九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共7页2025届山东省菏泽市定陶区实验中学九年级数学第一学期开学联考试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．1.5，2，2.5 D．1，，32、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63、（4分）如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长交AB的延长线于点F，则在题中条件下，下列结论不能成立的是（）A．BE＝CE B．AB＝BF C．DE＝BE D．AB＝DC4、（4分）下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直5、（4分）某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如下：根据右图判断正确的是（）A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分；B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数；C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数；D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差．6、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．57、（4分）在一次数学测试中，某小组的5名同学的成绩（百分制，单位：分）如下：80，98，98，83，96，关于这组数据说法错误的是()A．众数是98 B．平均数是91C．中位数是96 D．方差是628、（4分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）一个正多边形的每个外角等于72°，则它的边数是__________．10、（4分）设是满足不等式的正整数，且关于的二次方程的两根都是正整数，则正整数的个数为_______．11、（4分）一组数据：的方差是__________．12、（4分）若直角三角形的斜边长为6，则这个直角三角形斜边的中线长________．13、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝1．D，E分别为边BC，AC上一点，将△ADE沿着直线AD翻折，点E落在点F处，如果DF⊥BC，△AEF是等边三角形，那么AE＝_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）(1)如图1，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2m，求钢索的长度．(2)如图2，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，求菱形的周长．15、（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AB＝，OA＝a，OB＝b，且a，b满足：．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求的值．16、（8分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？17、（10分）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．（1）求的取值范围；（2）若，直线经过点，与轴交于点，且，求抛物线的解析式；（3）若点在点左边，在第一象限内，（2）中所得到抛物线上是否存在一点，使直线分的面积为两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18、（10分）化简并求值:，其中.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，把放在平面直角坐标系中，，，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段BC扫过的面积为______．20、（4分）已知一组数据3，7，7，5，x的平均数是5，那么这组数据的方差是_________．21、（4分）若，则的值是________22、（4分）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式．23、（4分）已知：关于的方程有一个根是2，则________，另一个根是________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，中，.（1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）在（1）的条件下，连接，若则的周长是．（直接写出答案）25、（10分）已知一次函数的图像经过点M（－1，3）、N（1，5）。直线MN与坐标轴相交于点A、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点C与点B关于x轴对称，点D在线段OA上，连结BD，把线段BD顺时针方向旋转90°得到线段DE，作直线CE交x轴于点F，求的值．（3）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化，若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．26、（12分）如图，在矩形ABCD中AD=12，AB=9，E为AD的中点，G是DC上一点，连接BE，BG，GE，并延长GE交BA的延长线于点F，GC=5（1）求BG的长度；（2）求证：是直角三角形（3）求证：

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故B选项错误；C、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故C选项正确；D、，不可以构成直角三角形，故D选项错误．故选：C．本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2、D【解析】

连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，所以此时△PAE周长的值最小，∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故选D．本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.3、C【解析】

A选项：由中点的定义可得；B选项：先根据AAS证明△BEF≌△CED可得：DC＝BF，再加上AB＝DC即可得；C选项：DE和BE不是对应边，故是错误的；D选项：由平行四边形的性质可得.【详解】解：∵平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，∴AB=DC,AB//DC,BE=CE,（故A、D选项正确）∴∠EBF=∠ECD,∠EFB=∠EDC,在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED（AAS）∴DC＝BF，又∵AB=DC，∴AB＝BF.(故B选项正确).所以A、B、D选项正确.故选C.运用了平行四边形的性质，解题时，关键根据平行四边形的性质和中点的定义证明△BEF≌△CED，得到DC＝BF，再根据等量代换得到AB＝BF.4、B【解析】试题分析：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．解：A、一组对边相等，不能判断，故错误；B、两条对角线互相平分，能判断，故正确；C、一组对边平行，不能判断，故错误；D、两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．故选B．考点：平行四边形的判定．5、D【解析】

通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断.【详解】甲的平均数=

（分），乙的平均数=

=8

(分)

，所以A选项错误；甲的中位数是8分，乙的中位数是9分，故B选项错误；甲的众数是8分，乙的众数是10分，故C选项错误；甲的方差=，乙的方差=，故D选项正确，故选：D.此题考查数据的统计计算，正确掌握平均数的计算公式，众数、中位数的计算方法，方差的计算公式是解题的关键.6、B【解析】

过点D作DH⊥BC交AB于点H，根据△AFE∽△ACD和△AEG∽△ADH可得DC=DH，再由△BDH∽△BCA，根据相似三角形的性质列出方程即可求出CD.【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴△AFE∽△ACD，∴，∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG，∴△AEG∽△ADH，∴，∴∵EF=EG，∴DC=DH，设DH=DC=x，则BD=12-x，又∵△BDH∽△BCA，∴，即，解得：x=4，即CD=4，故选B.本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键.7、D【解析】

根据数据求出众数、平均数、中位数、方差即可判断.【详解】A.98出现2次，故众数是98，正确B.平均数是=91，正确；C.把数据从小到大排序：80，83，96，98，98，故中位数是96，正确故选D.此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知众数、平均数、中位数、方差的求解.8、B【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意.故选：B本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】

根据题意利用多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【详解】解：360÷72=1．故它的边数是1．故答案为：1．本题考查多边形内角与外角，根据正多边形的外角和求多边形的边数是解题的关键．10、1个．【解析】

首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2−4ac≥0，由此可以求出m的取值范围，表达出两根，然后根据方程有两个正整数根以及m的取值范围得出m为完全平方数即可．【详解】解：将方程整理得：x2−（2m＋4）x＋m2＋4＝0，∴，，∵两根都是正整数，且是满足不等式的正整数，∴m为完全平方数即可，∴m=1，4，9，16，25，36，49，共1个，故答案为：1．此题主要考查了含字母系数的一元二次方程，确定m为完全平方数是解决本题的关键．11、.【解析】

根据方差的公式进行解答即可.【详解】解：==2019，==0.故答案为：0.本题考查了方差的计算.12、1【解析】

根据直角三角形的性质直接求解．【详解】解：直角三角形斜边长为6，这个直角三角形斜边上的中线长为1．故答案为：1.本题考查了直角三角形的性质，解决此题的关键是熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．13、2．【解析】

由题意可得∠CAD=30°，∠AEF=60°，根据勾股定理可求CD=2，由AC∥DF，则∠AEF=∠EFD=60°，且DE=DF，可得∠DEF=∠DFE=60°，可得∠DEC=60°．根据勾股定理可求EC的长，即可求AE的长．【详解】如图：∵折叠，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF；∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝60°，∴∠EAD＝∠FAD＝30°；在Rt△ACD中，AC＝6，∠CAD＝30°，∴CD＝2；∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥DF，∴∠AEF＝∠EFD＝60°，∴∠FED＝60°；∵∠AEF+∠DEC+∠DEF＝110°，∴∠DEC＝60°；∵在Rt△DEC中，∠DEC＝60°，CD＝2，∴EC＝2；∵AE＝AC﹣EC，∴AE＝6﹣2＝2；故答案为：2．本题考查了翻折问题，等边三角形的性质，勾股定理，求∠CED度数是本题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)钢索的长度为m；(2)菱形ABCD的周长=16.【解析】

(1)直接利用勾股定理得出AC的长即可；(2)由三角形的中位线，求出BD=4，根据∠A=60°，得△ABD为等边三角形，从而求出菱形ABCD的边长．【详解】(1)如图1所示，由题意可得：AB=2m，BC=5m，则AC==(m)，答：钢索的长度为m；(2)∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF=BD，∵EF=2，∴BD=4，∵∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=4，∴菱形ABCD的周长=4×4=16，此题考查勾股定理的应用；三角形中位线定理；菱形的性质，解题关键在于求出AC的长15、（1）4；（2）【解析】

（1）首先根据菱形的性质得到AC和BD垂直平分，结合题意可得a2+b2＝5，进而得到ab＝2，结合图形的面积公式即可求出面积；（2）根据a2+b2＝5，ab＝2得到a+b的值，进而求出答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∵OA＝a，OB＝b，AB＝，∴a2+b2＝5，∵a，b满足：．∴a2b2＝4，∴ab＝2，∴△AOB的面积＝ab＝1，∴菱形ABCD的面积＝4△AOB的面积＝4；（2）∵a2+b2＝5，ab＝2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7，∴a+b＝，∴＝．本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是根据菱形的对角线垂直平分得到a和b的数量关系，此题是一道非常不错的试题．16、当时，【解析】

首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解.【详解】当时，四边形PDCQ是平行四边形，此时PD=QC，∴∴∴当时，.此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题.17、（1）m≠-1；（1）y=-x1+5x-6；（3）点P（，-）或（1，0）．【解析】

（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，可令y=0，则所得方程的根的判别式△＞0，可据此求出m的取值范围．

（1）根据已知直线的解析式，可得到D点的坐标；根据抛物线的解析式，可用m表示出A、B的坐标，即可得到AD、BD的长，代入AD×BD=5，即可求得m的值，从而确定抛物线的解析式．

（3）直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-1）或（0，-5），即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴△=（m-4）1+11（m-1）=m1+4m+4=（m+1）1＞0，

∴m≠-1．

（1）∵y=-x1-（m-4）x+3（m-1）=-（x-3）（x+m-1），

∴抛物线与x轴的两个交点为：（3，0），（1-m，0）；

则：D（0，-1），

则有：AD×BD=，

解得：m=1（舍去）或-1，

∴m=-1，

抛物线的表达式为：y=-x1+5x-6①；

（3）存在，理由：

如图所示，点C（0，-6），点D（0，-1），点A（1，0），

直线PA分△ACD的面积为1：4两部分，

即DH：HC=1：4或4：1，则点H（0，-1）或（0，-5），

将点H、A的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线HA的表达式为：y=x-1或y=x-5②，

联立①②并解得：x=或1，

故点P（，-）或（1，0）．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．18、，【解析】

首先进行化简，在代入计算即可.【详解】原式当时，原式本题主要考查根式的化简，注意根式的分母不等为0，这是必考题，必须掌握.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、14【解析】

先求AC的长，即求C的坐标，由平移性质得，平移的距离，因此可求线段BC扫过的面积．【详解】点A、B的坐标分别为、，，在中，，，，，由于沿x轴平移，点纵坐标不变，且点C落在直线上时，，，平移的距离为，扫过面积，故答案为：14本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，关键是找到平移的距离．20、0.26【解析】

首先根据平均数算出x的值，然后利用方差的公式进行计算.【详解】解得：x=3故方差为0.26本题考查数据方差的计算，务必记住方差计算公式为：21、.【解析】解：∵﹣=2，∴a﹣b=﹣2ab，∴原式====﹣．故答案为﹣．22、y=x（答案不唯一）【解析】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠1），∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞1．∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．23、2，1.【解析】

设方程x2-3x+a=0的另外一个根为x，根据根与系数的关系，即可解答．【详解】解：设方程的另外一个根为，则，，解得：，，故答案为：2，1.本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（2）7.【解析】

（1）利用基本作图作的垂直平分线；（2）根据线段垂线平分线的性质得出，然后利用等线代换得到的周长.【详解】解：（1）如图，为所作：（2）就为边上的垂直平分线，的周长故答案为：.本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（做一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.25、（4）y=x+4．（4）；（4）不变，．【解析】试题分析：（4）用待定系数法，将M，N两点坐标代入解析式求出k，b即得一次函数解析式；（4）∵点C与点B关于x轴对称，B（0，4），∴C（0，-4），再由旋转性质可得DB=DE，∠BDE=90º，过点E作EP⊥x轴于P，易证△BDO≌△DEP，∴OD=PE，DP=BO=4，设D（，0），则E（，），设直线CE解析式是：y=kx+b，把C，E两点坐标代入得：，∴，∴CE解析式是y=x-4，∴F（4，0），OC=OF=4，∴PE=PF，∴EF=，∵A（-4，0），∴DF=4+a，DA=4-a，∴===；（4）此题连接BM，因为AO=BO，MO=PO，且∠BOM=∠AOP，得出△BOM≌△AOP（SAS），∵∠PAO=445º，∴∠MBP=∠PAO=445º，∴∠MBP＝90°，在Rt△MBP中，MQ=PQ，∴BQ是此直角三角形斜边中线，等于斜边一半，BQ＝MP，MP又是正方形对角线，∴MP＝OP，∴BQ:O