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文档简介
§1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念一、基础过关1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ()A.0.41 B.3C.4 D.4.12.函数y=1在[2,2+Δx]上的平均变化率是 ()A.0 B.1C.2 D.Δx3.设函数f(x)可导,则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1+Δx-f1,3Δx)等于 ()A.f′(1) B.3fC.eq\f(1,3)f′(1) D.f′(3)4.一质点按规律s(t)=2t3运动,则t=1时的瞬时速度为 ()A.4 B.6C.24 D.485.函数y=3x2在x=1处的导数为 ()A.12 B.6C.3 D.26.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是 ()A.甲 B.乙C.相同 D.不确定7.函数f(x)=5-3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______.二、能力提升8.过曲线y=f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k=________.9.函数f(x)=eq\f(1,x2)+2在x=1处的导数f′(1)=__________.10.求函数y=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率.11.求函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数.12.若函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,求a的值.三、探究与拓展13.若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s)s=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2+2t≥3①,29+3t-320≤t<3②))求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.
答案1.D2.A3.C4.B5.B6.B7.-98.2.19.-210.解因为Δy=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,所以函数在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)=eq\f(-8Δx-2Δx2,Δx)=-8-2Δx.11.解Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx,∴eq\f(Δy,Δx)=eq\f(2Δx2+16Δx,Δx)=2Δx+16.∴y′|x=3=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2Δx+16)=16.12.解∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx∴f′(1)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1+Δx-f1,Δx)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2+2aΔx,Δx)=eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(aΔx+2a)=2,即2a=2,∴a=1.13.解(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)=eq\f(48,2)=24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.∵物体在t=0附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)=eq\f(f0+Δt-f0,Δt)=eq\f(29+3[0+Δt-3]2-29-30-32,Δt)=3Δt-18,∴物体在t=0处的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)=eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt-18)=-18,即物体的初速度为-18m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.∵物体在t=1附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)=eq\f(f1+Δt-f1,Δt)=eq\f(29+3[1+Δt-3]2-29-31-32,Δt)=3Δt-12.∴物体在t=1处的
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