高中数学 第4章 1.1定积分的背景 面积和路程问题同步检测 北师大版选修2-2

第四章定积分§1定积分的概念1．1定积分的背景——面积和路程问题一、基础过关1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为 ()A.eq\f(1,n) B.eq\f(2,n) C.eq\f(3,n) D.eq\f(1,2n)2．把区间[a，b](a<b)n等分之后，第i个小区间是 ()A．[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)] B．[eq\f(i－1,n)(b－a)，eq\f(i,n)(b－a)]C．[a＋eq\f(i－1,n)，a＋eq\f(i,n)] D．[a＋eq\f(i－1,n)(b－a)，a＋eq\f(i,n)(b－a)]3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]上的值，可以近似替代为 ()A．f(eq\f(1,n)) B．f(eq\f(2,n))C．f(eq\f(i,n)) D．f(0)4．对于以v＝v(t)在[0，t]内汽车作直线运动经过的路程S，下列叙述正确的是 ()A．B．C．将[0，t]n等分，n越大，求出的s近似替代S的精确度越高D．将[0，t]n等分，当n很大时，求出的s就是S的准确值5．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间所走的路程为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C．1 D.eq\f(3,2)二、能力提升6．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是 ()A.eq\f(1,19) B.eq\f(111,256)C.eq\f(11,27) D.eq\f(25,64)7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.8．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．9．试估计由曲线y＝eq\r(x)，x＝1及x轴所围成的平面图形的面积，并写出估计值的误差．10．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为：F(x)＝3x(x是伸长量，单位：m，力的单位：N)．试估计弹簧从平衡位置拉长5m所做的功，并写出估计值的误差．11．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v(t)＝10t,0≤t≤5，试估计汽车在这段时间走过的路程，并写出估计值的误差．三、探究与拓展12．设力F作用在质点m上，使m沿x轴正方向从x＝0运动到x＝10，已知F＝F(x)＝eq\f(1,x＋1)且和x轴正向相同．求F对质点m所做的功．

答案1．B2．D3．C4．C5．B6．D7．3.925.528．559．解首先画出图像：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形；若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的过剩估计值为S1＝(eq\r(0.2)＋eq\r(0.4)＋eq\r(0.6)＋eq\r(0.8)＋eq\r(1))×0.2≈0.75.若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的不足估计值为S2＝(eq\r(0)＋eq\r(0.2)＋eq\r(0.4)＋eq\r(0.6)＋eq\r(0.8))×0.2≈0.55.无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.20.10．解将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功；若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1m,1～2m，2～3m,3～4m,4～5m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W1＝[3×1＋3×2＋3×3＋3×4＋3×5]×1＝45(J)；若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1m,1～2m，2～3m,3～4m,4～5m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2＝[3×0＋3×1＋3×2＋3×3＋3×4]×1＝30(J)无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15J.11．解将区间[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个路程分成5个时间段内的路程．若用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的过剩估计值为S＝(10×1＋10×2＋10×3＋10×4＋10×5)×1＝150.若用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的不足估计值为s＝(10×0＋10×1＋10×2＋10×3＋10×4)×1＝100.无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过50m.12．解(1)将[0,10]10等分，即插入9个分点，则将整个功分成10个小位移段内的功．(2)若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)，F(6)，F(7)，F(8)，F(9)分别近似替代F引起的物体在0～1m,1～2m，2～3m，3～4m,4～5m,5～6m,6～7m，7～8m,8～9m,9～10m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W1＝(eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,10))×1≈2.93；若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)，F(6)，F(7)，F(8)，F(9)，F(10)，分别近似替代F引起的物体在0～1m，1～2m，2～3m,3～4m,4～5m,5～6m，