连续时间信号与系统的S域分析

1连续时间信号与系统的S域分析

连续时间信号的复频域分析连续时间系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟2

连续时间信号的复频域分析

从傅立叶变换到拉普拉斯变换

单边拉普拉斯变换及其存在的条件

常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变化的关系拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换反变换3傅里叶变换的缺陷Fourier变换的不足：1、某些信号不存在Fourier变换，无法利用频域分析方法；2、频域分析方法只能求解系统的零状态响应，而不能求解零输入响应；3、频域分析方法中，Fourier反变换一般比较复杂；4一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换f(t)=eatu(t)a>0的傅里叶变换？将f(t)乘以衰减因子e

-

t不存在!若

5一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换推广到一般情况令s=

+j

定义：对f(t)e-

t求傅里叶反变换可推出拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换6一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

拉普拉斯变换符号表示及物理含义

符号表示：

物理意义：信号f(t)可分解成复指数est的线性组合F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。7二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件关于积分下限的说明：1、积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。

单边拉普拉斯变换2、一般把积分下限简写为0，含义与0-相同。8二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件

单边拉普拉斯变换存在的条件对任意信号f(t)

，若满足上式，则f(t)应满足(

>

0)充分条件为：9二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件

单边拉普拉斯变换存在的条件

>

0称收敛条件收敛区j

0

0称绝对收敛坐标S平面右半平面左半平面10例1

计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。分析：求收敛域即找出满足的

取值范围。11例1

计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。解：判定准则：收敛域为：全S平面12例1

计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。解：判定准则：代入得：对于有：因此收敛域为：13例1

计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。解：判定准则：代入得：对于有：因此收敛域为：14例1

计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。解：判定准则：对于有：因此收敛域为：15例1

计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。解：判定准则：代入得：对于任意因此收敛域不存在16三、常用信号的拉普拉斯变换1.

指数型函数etu(t)同理：17三、常用信号的拉普拉斯变换1.

指数型函数etu(t)正弦信号18三、常用信号的拉普拉斯变换2.

阶跃函数u(t)19三、常用信号的拉普拉斯变换3.

冲激偶信号取样性20三、常用信号的拉普拉斯变换4.

t的正幂函数tn，n为正整数，t>0根据以上推理,可得21常用信号的单边拉氏变换22常用信号的单边拉氏变换23常用信号的单边拉氏变换24常用信号的单边拉氏变换25

连续时间信号的复频域分析

从傅立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换反变换26四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系2）当收敛域包含j

轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。1）当收敛域不包含j

轴时，拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在。3）当收敛域的收敛边界位于j

轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。27例1计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。解：时域信号 傅里叶变换 拉普拉斯变换不存在28五、单边拉普拉斯变换的性质1.

线性特性若则292.

展缩特性若则五、单边拉普拉斯变换的性质只允许展缩，不允许翻转，因为单边303.

时移特性若则五、单边拉普拉斯变换的性质731例2

已知信号,求和的单边Laplace变换解：利用因此对于可以直接应用时移特性32单边周期信号拉氏变换33例

试求如图所示周期信号的单边Laplace变换。解：因为 所以 Re(s)>021344.

卷积特性五、单边拉普拉斯变换的性质935例3

已知信号,

求的Laplace变换解：求出两个信号Laplace变换根据卷积特性可得10365.

乘积特性五、单边拉普拉斯变换的性质11375.

乘积特性

乘积性质两种特殊情况：1）指数加权性质（复频域平移特性）若则2）线性加权性质（复频域微分特性）五、单边拉普拉斯变换的性质1238例4

已知,求的Laplace变换解：根据线形加权特性可得类推得根据指数加权特性可得13396.

微分特性证明：五、单边拉普拉斯变换的性质14406.

微分特性重复应用微分性质，求得：五、单边拉普拉斯变换的性质15一般掌握到第三阶41例

已知,求的Laplace变换解：根据时域微分特性可得1642例

试求如图所示信号的单边Laplace变换。解：1)1943例6

试求如图所示信号的单边Laplace变换。解：2)3)20447.

积分特性若f-1(0-)=0，则有五、单边拉普拉斯变换的性质17458.

初值定理和终值定理五、单边拉普拉斯变换的性质18真分式：分子的次数低于分母的次数46五、单边拉普拉斯变换的性质47例5已知F(s)=s/(s+1),48连续时间信号与系统的S域分析

连续时间信号的复频域分析

连续时间系统的复频域分析

连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟149

连续时间信号的复频域分析

从傅立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换反变换50六、拉普拉斯反变换

计算拉普拉斯反变换方法：1.利用复变函数中的留数定理2.采用部分分式展开法直接由Laplace反变换分解成简单表示式之和，然后得到原信号51六、拉普拉斯反变换

——留数法上述积分式等于围线中被积函数所有极点的留数之和。设在极点s=pi处的留数为ri，并设在围线中共有n个极点。52

计算留数的方法：1.若极点pi六、拉普拉斯反变换

——留数法为的单极点2.若极点pi为的k阶重极点53例1

采用留数法求F(s)的反变换。解：令F(s)的分母为零，求出F(s)具有两个单极点0，-3及一个二阶重极点-1。利用留数公式求出相应极点的留数两个单极点0，-3的留数分别是：54例1

采用留数法求F(s)的反变换。解：二阶重极点-1的留数如下所以55六、拉普拉斯反变换

——部分分式展开法

归纳：1)

F(s)为有理真分式(m<n)，极点为一阶极点562)

F(s)包含共轭复数极点式中共轭极点出现在表示分母多项式的其余部分，引入符号57六、拉普拉斯反变换

——部分分式展开法

归纳：3)

F(s)为有理真分式(m<n)，极点为r重阶极点58六、拉普拉斯反变换

——部分分式展开法

归纳：4)

F(s)为有理假分式(m≥n)为真分式，根据极点情况按1)或2)展开。59例2

采用部分分式展开法求下列F(s)的反变换。解：F(s)为有理真分式，极点为一阶极点。60例2

采用部分分式展开法求下列F(s)的反变换。解：61例2

采用部分分式展开法求下列F(s)的反变换。解：F(s)为有理假分式，将F(s)化为有理真分式62例3

求下列F(s)的反变换。解：63例3

求下列F(s)的反变换。解：令s2=q,64例3

求下列F(s)的反变换。解：65总结求拉普拉斯反变换方法从以上分析可以看出，当F(s)为有理分式时，可利用部分分式分解和查表的方法求得逆变换，无需引用留数定理。如果F(s)表达式为有理分式与e-st相乘时，可再借助延时定理得出逆变换。当F(s)分母为二次多项式时，可进行配方。利用性质当F(s)为无理函数时，需利用留数定理求逆变换，然而，这种情况在电路分析问题中几乎不会遇到。66信号的复频域分析小结信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合。信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换。利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析。复频域分析主要用于线性系统的分析。67

连续系统响应的复频域分析

微分方程描述系统的S域分析电路的S域模型268一、微分方程描述系统的S域分析时域微分方程时域响应y(t)S域响应Y(s)拉氏变换拉氏变换解微分方程解代数方程S域代数方程369一、微分方程描述系统的S域分析

二阶系统响应的S域求解已知f(t)，y(0-)，y'(0-)，求y(t)。1)

经拉氏变换将域微分方程变换为s域代数方程2)

求解s域代数方程，求出Yx(s),Yf(s)3)

拉氏反变换，求出响应的时域表示式

求解步骤：470一、微分方程描述系统的S域分析

二阶系统响应的S域求解Yx(s)Yf(s)y"(t)a1y'(t)a2y(t)571例1系统的微分方程为

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)

激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-)=3，

y'(0-)=2，求响应y(t)。解：对微分方程取拉氏变换可得零输入响应：672例1系统的微分方程为

y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)

激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-)=3，

y'(0-)=2，求响应y(t)。解：零状态响应：773二、电路的S域模型时域复频域874二、电路的S域模型R、L、C串联形式的S域模型975例2图示电路初始状态为vc(0-)=-E,求电容两端电压vc(t)。解：建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为1076

系统函数H(s)与系统特性系统函数H(s)

系统函数的定义

H(s)与h(t)的关系

S域求零状态响应求H(s)的方法零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性1177一、系统函数H(s)1.定义

系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比，记为H(s)。1278一、系统函数H(s)2.H(s)与h(t)的关系h(t)

(t)

yf(t)=

(t)*h(t)1379一、系统函数H(s)3.求零状态响应h(t)H(s)f(t)yf(t)=f(t)*h(t)F(s)Yf(s)=F(s)H(s)1480一、系统函数H(s)4.求H(s)的方法①

由系统的冲激响应求解：H(s)=L[h(t)]③

由系统的微分方程写出H(s)②

由定义式1581二、零极点与时域特性

零极点分布图极点零点1682二、零极点与时域特性

H(s)与h(t)的关系sjw0u(t)e-t

u(t)et

u(t)1-131111)

位于s

轴的单极点1783二、零极点与时域特性

H(s)与h(t)的关系32)

共轭单极点sjw0-11sin(t)e-t

u(t)sin(t)etu(t)sin(t)u(t)1-11884三、零极点与系统频响特性

频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。系统稳定时，令H(s)中

s=jw

，则得系统频响特性幅频响应相频响应1985三、零极点与系统频响特性

系统频响特性对于零极增益表示的系统函数当系统稳定时，令s=jw，则得2086三、零极点与系统频响特性复数a和b及a-b的向量表示系统函数的向量表示87三、零极点与系统频响特性连续时间信号与系统的S域分析

连续时间信号的复频域分析连续时间系统的复频域分析

连续时间系统函数与系统特性

连续时间系统的模拟1

系统函数H(s)与系统特性系统函数H(s)

系统函数的定义

H(s)与h(t)的关系

S域求零状态响应求H(s)的方法零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性2四、H(s)与系统的稳定性连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是3

若H(s)的极点全部在左半平面，则h(t)是按指数规律衰减的因果函数，h(t)是绝对可积的，所以H(s)对应的系统也是稳定系统，其逆也成立。例2判断下述因果系统是否稳定。

解：1）极点为s=-1和s=-2，都在s左半平面。显然输出也有界，所以系统稳定。若激励为有界输入u(t)，则其输出为4例2判断下述系统是否稳定。

解：2）极点为s=±j

0，是虚轴上的一对共轭极点。显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。若激励为有界输入sin(

0t)u(t)，则其输出为5

连续时间系统的模拟

系统的基本联接系统的级联系统的并联反馈环路连续系统的模拟框图

直接型结构级联型结构并联型结构6一、系统的基