概率论 区间估计

§7.4区间估计

譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.

若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.

习惯上把置信水平记作

，这里是一个很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间，使们求出一个尽可能置信区间.称区间为的置信水平为的引例已知X~N(

,1),

不同样本算得的

的估计值不同，因此除了给出

的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求.

的无偏、有效点估计为随机变量常数如引例中，要找一个区间,使其包含

的真值的概率为0.95.(设n=5)取查表得这说明即称随机区间为未知参数

的置信度为0.95的置信区间.

反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间。在这些区间中不一定都包含未知参数

的真值,而包含真值的区间占95%.置信区间的意义若测得一组样本值,它可能包含也可能不包含

的真值,反复则得一区间(1.86–0.877,1.86+0.877)抽样得到的区间中有95%包含

的真值.算得当置信区间为时区间的长度为——达到最短取

=0.05设

为待估参数,

是一给定的数,(0<<1).

若能找到统计量,使则称为

的置信水平为1-

的置信区间或区间估计.置信下限置信上限

置信区间的定义

反映了估计的可靠度,

越小,越可靠.

置信区间的长度反映了估计精度

越小,1-越大,估计的可靠度越高,但

确定后,置信区间的选取方法不唯一,

常选最小的一个.几点说明越小,估计精度越高.这时,往往增大,因而估计精度降低.

求参数置信区间保证可靠性先

提高精度再处理“可靠性与精度关系”的原则

寻找一个样本的函数它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由

的点估计出发考虑

).例如求置信区间的步骤—称为枢轴量取枢轴量

给定置信度1

,定出常数a,b,使得(引例中

由解出得置信区间

引例中

§7.4区间估计明确问题，求什么？寻找一个样本的函数含待估参数,不含其它未知参数,且分布已知例如求置信区间的步骤—称为枢轴量取枢轴量

由置信度1

,确定常数a,b,使得(引例中

由解出得置信区间

引例中

§7.5正态总体的均值与方差

的置信区间

定理1(样本均值的分布，方差已知)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有复习

定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有复习

定理3(样本均值的分布，方差未知)

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有复习

定理4(两总体样本均值差的分布，方差未知)

分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有Y1,Y2,…,是样本复习

定理5(两总体样本方差比的分布)

分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本复习方差

2已知方差

2未知一、一个正态总体X~N(

2)的情形已知某地区新生婴儿的体重X~随机抽查100个婴儿…得100个体重数据X1,X2,…,X100

的区间估计求（置信水平为1-

）.(1)方差

2已知,

的置信区间由公式(一)(1)由确定(2)方差

2未知,

的置信区间

由公式(2)(3)当

未知时,方差

2的置信区间选取••则由公式(4)例1

某工厂生产一批滚珠,其直径X服从正态分布N(

2),现从某天的产品中随机(1)若

2=0.06,求

的置信区间(2)若

2未知,求

的置信区间(3)求方差

2的置信区间.抽取

6

件,

测得直径为15.1,

14.8,

15.2,

14.9,

14.6,

15.1置信度均为0.95例1由给定数据算得解

(1)即由公式(1)得

的置信区间为由给定数据算得(2)取查表由给定数据算得由公式(2)得

的置信区间为由公式(3)得

2

的置信区间为(3)选取枢轴量查表得为总体

N(

1

12)的样本,为总体N(

2

22)

的样本,置信度为1

分别表示两样本的均值与方差二、两个正态总体的情形(二)相互独立,的置信区间为(1)已知,的置信区间公式(5)(2)未知(但)的置信区间的置信区间为取(3)方差比的置信区间(

1,

2未知)公式(9)由F分布的分位数的特性？因此,方差比的置信区间为公式(9)例2

某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本

与已知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为

1与

2例2(1)若它们的方差相同,求均值

若不知它们的方差是否相同,求它们的方差比的置信度为0.95的置信区间的置信度为0.95的置信区间;差解查表得由公式的置信区间为(1)取统计量(2)查表得

由公式得方差比的置信区间为求正态总体未知参数的置信区间利用数学、统计软件

SASMATLABSPSS三、单侧置信区间上述置信区间都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在某方向的界限.

例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.

这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.定义：满足设是一个待估参数，给定

若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信下限.又若统计量满足则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.

称为单侧置信上限.例3

已知灯泡寿命X服从正态分布,从中随机抽取5只作寿命试验,测得寿命为

1050,1100,1120,1250,1280(小时)求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置信上限（置信度为0.95）.例3(1)选取枢轴量(2)选取枢轴量四、非正态总体均值的区间估计若总体

X的分布未知,但样本容量很大,

由中心极限定理,可近似地视若

2已知,

则

的置信度为1-

的置信区间可取为若

2未知,

则

的置信度为1-

的置信区间可取为(四)某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.解：设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布大样本，由中心极限定理，E(X)=,D(X)=未知，用样本标准差S近似代替.取枢轴量近似N(0,1)分布

对给定的置信水平,确定分位数

使得均值的置信水平为的区间估计为将=170,S=30,=1.96,n=30代入得,的置信水平为0.95的置信区间是[159.27,180.74]得均值的置信水平为的区间估计为参数估计点估计区间估计7-2矩估计极大似然估计评价标准？单个正态总体两个正态总体单侧双侧本章小结

请自己画一张表，将各种情况下的区间估计加以总结.一、重点与难点1.重点最大似然估计.一个正态总体参数的区间估计.2.难点显著性水平

与置信区间.矩估计量估计量的评选二、主要内容最大似然估计量似然函数无偏性正态总体均值方差的置信区间与上下限有效性置信区间和上