高等数学 导数概念 导数与微分

第二章导数与微分微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分。物理学、医学等许多重要问题的解答依赖于高数中这两个概念。本章的主要内容就是建立这两个概念，并推导出求函数的导数和微分的一般法则以及初等函数的求导方法，从而展现导数和微分的应用高等数学导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:

德国数学家Leibniz

英国数学家Newton微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具

(从微观上研究函数)牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.质点所发生的位移除以所花的时间△t,得到平均速度，即2.1导数的概念2.1.1引例1、导数概念的物理背景——即时速度问题

如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度不变;如果质点做变速直线运动，运动方程为S=S(t),该如何确定某一时刻的即时速度呢？先求一段时间内的平均速度直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。极限思想：令，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度，即2、导数概念的几何背景——曲线的切线问题问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点M,如何确定曲线在点M

处的切线斜率？MNT

过点M作曲线的割线MN，当动点N沿曲线向定点M靠拢时，

MNxyoT切线：割线的极限位置。上述过程可用极限式表示如下：两例共性，均为增量之比的极限◆导数Derivative的概念定义设函数y=f(x)在点x=x0的某个邻域内有定义，当自变量x

在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0

处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0

处的导数，记为。也可记作即在引例中有

若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。◆导数定义式的不同形式差商导数实际是函数变化率的精确描述,反映了函数关于自变量变化的快慢程度解答

若函数y=f(x)

在开区间I内的每点处都可导，就称函数y=f(x)

在开区间I

内可导。这时，对于任意x∈I

,都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=f(x)

的导函数（简称导数derivative），记作：把x0

换成x,可得点导数与导函数的关系◆导函数的概念或导函数的定义式

2.1.2、利用定义求导数举例例1

求常值函数的导数。解所以常数的导数等于零，即解例2

求正弦函数的导数及的导数。所以同理可求得对一般的幂函数有例3

求幂函数的导数。解所以例4

求对数函数的导数。解所以特别◆单侧导数

左导数（derivativeontheleft）

右导数（derivativeontheright）和函数f(x)在开区间（a,b)内可导，且存在，则称

f(x)在闭区间[a,b]内可导。函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。导数通过极限定义例5已知解因为所以

，从而◆变化率问题设某个变量Q随时间t的变化而变化，其函数关系Q=Q(t),从时刻t到(t+△t)，量Q

的改变量为量Q

的平均变化率为2.1.3、导数的含义导数的实质就是函数关于自变量的变化率，反应了函数变化的快慢◆导数的几何意义MxyoT曲线中切线斜率描述的就是任意点函数变化的快慢程度涉及率的问题是关于函数导数的切线方程为法线方程为法线是过切点且与切线垂直的直线解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程为所求法线的斜率为所求法线方程为例6

求双曲线在点处的切线的斜率，并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程。即即物理意义：设物体的运动规律位移关于时间t的变化率，也就是任意时刻的瞬时速度，即例：已知一物体做自由落体运动，求t=2时的瞬时速度解:已知2.1.4、函数的可导性与连续性的关系

函数f(x)在某点可导，则在该点连续。证明设函数

在点可导于是由定理函数在点处连续则存在例7

讨论函数f(x)=|x|

在点x=0的连续性和可导性。