【整合课件】7.5-正态分布

随机变量及其分布第七章7.5正态分布课程内容标准学科素养凝练1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．2．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．3．了解正态分布的均值、方差及其含义.1．在理解正态分布概念过程中，提升数学抽象的学科素养．2．利用求解正态分布问题过程中，增强逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养.课前预习案(1)正态曲线：对于给定函数f(x)＝__________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．我们称f(x)为_______________，它的图象为正态密度曲线，简称___________.(2)正态分布与标准正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～___________．特别地，当_______，_______时，称随机变量X服从标准正态分布．一、正态分布正态密度函数正态曲线N(μ，σ2)μ＝0σ＝1(3)用正态分布求概率：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的_______，而P(a≤X≤b)为区域B的_______.面积面积(4)正态曲线的特点①正态曲线在x轴的_______；②正态曲线与x轴之间的区域的面积为____；③曲线是_______的，它关于直线_______对称；④曲线在x＝μ处达到峰值__________；⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．上方1单峰x＝μ

⑥μ决定正态曲线的位置：当参数取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，如图(1)所示；⑦σ决定正态曲线的“胖瘦”：当σ较小时，峰值高，曲线“_______”，表示随机变量的分布比较_______；当σ较大时，峰值低，曲线“_______”，表示随机变量X的分布比较_______，如图(2)所示．(5)正态分布的均值和方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝_____.瘦高集中矮胖分散μ

σ2

如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝______，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间___________________内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎_____________.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值．二、“3σ原则”0.50.68270.95450.9973[μ－3σ，μ＋3σ]不可能发生1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)正态变量函数表述式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． ()(3)正态曲线可以关于y轴对称． ()(4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”． ()答案(1)×(2)×(3)×(4)√3．(多选题)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中正确的是 ()A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2答案ABD解析正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故C错误，其他正确．课堂探究案探究一正态曲线的图象及其应用答案A解析根据正态曲线的特征：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由图可得，选A．(2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．答案D解析因为正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以可得μ1<μ2＝μ3，又因为σ的值反映的是这组数据的集中情况，其σ值越小图象越瘦长，σ值越大图象越矮胖，所以可得σ1＝σ2<σ3． (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝ ()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2答案C解析∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝0.3．探究二服从正态分布变量的概率问题(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．[变式]本例(2)中已知条件不变，试求P(X≥5)．[方法总结]利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827,0.9545,0.9973求解．[训练2]已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，则P(X>4)＝ ()A．0.1585 B．0.1586C．0.1587 D．0.3413答案C 在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间[70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在[80,100]之间的考生大约有多少人？探究三正态分布的实际应用[方法总结]

解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[训练3]某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,42)．(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线？解

由已知X～N(50,102)，Y～N(60,42)．由正态分布的2σ区间性质P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9545.然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：对X：μ＝50；σ＝10；2σ区间为(