广东省东莞市虎门外语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

虎门外语学校2024-2025学年度第一学期10月月考高二数学试题考试时间：120分钟，满分150分.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.过点且垂直于直线的直线方程为（）A. B.C. D.3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（）A. B.6 C. D.44.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A.1 B.2 C. D.45.如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（）A. B. B. D.6.直线上到点距离最近的点的坐标是（）A. B. C. D.7.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（）A. B. C. D.8.已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为（）A.4 B.12 C.8 D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（）A.若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直B.若直线的方向向量，平面的法向量，则C.若平面，的法向量分别为，，则D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则10.（多选题）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A. B.点必在线段上C. D.平面11.如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将沿DE折起，构成四棱锥，为的中点，则（）A.面 B.面C.若面面ABC，则与CD所成角的余弦值为D.若，则二面角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知直线，，若，则实数________.13.已知向量，，且与互相垂直，则________.14.如图，在长方体中，，，，分别为棱AB，BC上一点，且，是线段上一动点，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，15题13分，16至17题每小题15分，18至19题每小题19分，共77分.15.已知空间向量，，.（I）若，求；（II）若，求的值.16.已知的顶点，，边BC的垂直平分线的方程为.（1）求边BC所在直线的方程；（2）求的面积.17.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是AB中点.（1）用，，表示向量；（2）在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由.18.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD.（1）求证：平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.19.如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为AC的中点，为内的动点（含边界）.（1）求点到平面PBC的距离；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值；（3）若平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.

10月月考高二数学试题单选：BADAACCC多选：ADBDBCD11.【解答过程】解：若面，因为，平面，平面，所以面，又因为，所以平面面，但平面与面相交，所以假设不成立，所以BF不平行面，所以A不正确；对于B，因为，，所以，，又因为，所以面，所以B正确对于C，将沿DE折起，使到，且面面ABC，以ED的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2，所以，，，，，，设与CD所成角的为，则，所以与CD所成角的余弦值为，所以C正确；对于D，设，因为，，所以所以，，，因为，所以，所以，，，设平面，所以，故，设平面，所以，故，设二面角所成角为，，因为为钝二面角，所以二面角的余弦值为.所以D正确.故选：BCD.填空题：12.【答案】313..14..【解答过程】解：当三棱锥的体积最大时，的面积取最大值，，当且仅当时，等号成立，此时，为AB的中点，与重合.如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，，可取，得.设，，，.设直线与平面所成的角为，.，当时，的最大值为；当或1时，的最小值为，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故答案为：.15.【解答过程】解：（I）空间向量，，，因为，所以存在实数，使得，所以，解得，则；（II）因为，则，解得，所以，故.16..解析（1）由边BC的垂直平分线的方程为，得，又，边所在直线的方程为，即.（2）因为直线是BC边的垂直平分线，所以点与点关于直线对称，设，则BC的中点为，将中点坐标代入，得解得所以，故，点A到直线BC的距离为，所以.17.【解答过程】解：（1）；（2）假设存在点M，使，设，（），显然，，因为，所以，即，，，，即，解得，所以当时，.18.解析（1）证明：在矩形BDCF中，，平面平面ABCD，平面平面，平面，平面，平面，.过D作AB的平行线.交BC于点G.又，四边形ABGD为平行四边形，又，即，四边形ABGD为矩形.，平面，平面，，以为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面ABE的法向量为，则，即，令，则，又，，，又平面，平面ABE.（2）由（1）得，设平面BEF的法向量为，则即令，则，设平面ABE与平面EFB所成的锐二面角为，则，平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是.（3）假设存在满足题意的点，且，，，，设直线BP与平面ABE所成的角为，由（1）知平面ABE的一个法向量为，，化简得，解得或.当时，，；当时，.综上，存在满足题意的点P，且线段BP的长为2.19.解析（1）连接OB，OP，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，为AC的中点，所以，，又平面平面ABC，平面平面，，平面PAC，所以平面ABC，又平面ABC，所以，所以OB，OC，OP两两垂直，易得，，，..，所以点O到平面PBC的距离.（2）在三棱锥中，以O为坐标原点，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则，，，，，设，则，，，，，设平面PAB的法向量为，则，即令，则，同理可求得平面PBC的一个法向量