3.1.1椭圆的标准方程导学案高二上学期数学选择性

第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程【学习目标】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求其标准方程．【温顾·习新】一、椭圆的定义思考在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点．如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？填空平面内到两个定点F1，F2的的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的，两个焦点间的距离叫作椭圆的．做一做思考辨析，判断正误(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆．()(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆．()(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆．()(4)平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足MF1＋MF2为常数”是“M的轨迹是椭圆”的充要条件()【研讨·拓展】二、椭圆的标准方程思考1观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？思考2能否根据你的设定推导椭圆的方程？思考3如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？填空椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)焦点图形a，b，c的关系做一做已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是()A．1B．2C．3D．4【例1】如图所示，已知过椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．求△AF1B的周长．【变式11】()A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)【变式12】已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为________．【例2】分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)．【变式21】．【变式22】求过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程．【例3】(1)已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．【变式31】已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．【变式32】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝eq\f(3,2)，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且PA＋PB是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．【变式33】．【变式34】(多选)()A．圆B．椭圆C．线段D．射线【例4】已知P为椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．(1)若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．(2)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．【变式41】如图所示，F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为eq\r(3)的正三角形，则b2的值为()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)【变式42】已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，则PF2＝________，∠F1PF2的大小为________．【变式43】P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为()A．60°B．30°C．120°D．150°【变式44】已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则∠PF2F1＝________，PF1－PF2＝________．【变式45】已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a＝________．【变式46】(多选)已知P是椭圆E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是()A．点P的纵坐标为3B．∠F1PF2>eq\f(π,2)C．△F1PF2的周长为4(eq\r(2)＋1)D．△F1PF2的内切圆半径为eq\f(3\r(2)－1,2)【例5】在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,2sinB)＝________．【例6】已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若点M关于椭圆C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________．【例7】设F1，F2分别为椭圆eq\f