专题19.1函数（学生版）

专题19.1函数1.理解变量与常量概念，并会辨别自变量与因变量；2.掌握自变量的取值范围运算方法；3.理解函数定义，并能根据生活实际列出函数解析式；4.掌握函数的三种表示方法。知识点01变量与函数【知识点】1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。4）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.【知识拓展1】变量与常量例1．（2022·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（）A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量【即学即练】1．（2023·山东济南市·七年级期中）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量【知识拓展2】自变量与因变量例2．（2023·广西七年级课时练习）某品牌豆浆机的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：（）定价/元708090100110120销量/个801001101008060A．定价是常量，销量是变量B．定价是变量，销量是常量C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量【即学即练】2.（2022·安徽宣城·八年级期末）寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（

）A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间2．（2022•成都市成华区七年级期中）汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间【知识拓展3】求自变量的取值范围例3．（2022·河北唐山·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（）A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7【即学即练】3．（2022·江苏·八年级专题练习）函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C． D．【知识拓展4】函数的概念例4．（2022·江苏·南通市八一中学八年级期中）下列图象中表示y是x的函数的有几个（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练】4．（2022·广西·梧州市八年级阶段练习）在下列关系式中，y不是x的函数的是（

）A．x+y=5 B． C． D．【知识拓展5】函数值例5．（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）已知函数，则x=5时的函数y的值为（

）A．15 B．15 C．19 D．21【即学即练】5．（2022·重庆八年级期末）根据以下程序，当输入x＝﹣7时，输出的y值为（）A． B．4 C．﹣2 D．5知识点02函数的三种表示方法【知识点】1）函数的三种表示方法=1\*GB3①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。=2\*GB3②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。=3\*GB3③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。2）函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【知识拓展1】列表法例1．（2022·陕西西安·九年级模拟预测）在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据：支撑物高h（cm）1020304050…下滑时间t（s）3.253.012.812.662.56…以下结论错误的是（）A．当h＝10时，t为3.25秒B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒【即学即练1】1．（2023·重庆一中七年级阶段练习）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：所挂物体的质量/kg012345678弹簧的长度/cm1212.51313.51414.51515.516在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是______kg．【知识拓展2】解析式法例2．（2023·河北承德·八年级期中）琪琪拿9元钱去买单价为元/只的笔芯，买笔芯所剩的钱数（元）与所买笔芯的数量（只）之间的关系式为______．【即学即练】2．（2022•密云区·七年级期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）A．S＝4x+6 B．S＝4x﹣6 C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x【知识拓展3】图象法例3．（2022·广东罗湖·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）A．B．C．D．【即学即练3】3．（2022·甘肃九年级一模）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿、线段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C． D．【知识拓展4】图象法解行程（工程）问题例4．（2022·莱阳市期末）周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是．【即学即练】4．（2022·河北保定·七年级期中）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？5．（2022•沙坪坝区校级开学）春节前，某加工厂接到面粉加工任务，要求5天内加工完220吨面粉．加工厂安排甲、乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量y（吨）与甲组加工时间x（天）之间的关系如图所示，结合图象，下列结论错误的是（）A．乙组中途休息了1天 B．甲组每天加工面粉20吨 C．加工3天后完成总任务的一半 D．3.5天后甲乙两组加工面粉数量相等【知识拓展5】图象法方案选择与销售费用问题例5．（2022•雁塔区校级期末）为增强居民的节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费的方式：即每月用水量不超过10吨时，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费．如图是自来水公司绘制的水费y（元）与当月用水量x（吨）之间的图象，则下列结论不正确的是（）A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家当月用水量为14吨，则应缴水费23元 D．若小红家6月份缴水费30元，则当月用水量为18.5吨【即学即练】5．（2022•烟台期末）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱 D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长【知识拓展6】图象法动态综合问题例6．（2022·山东淄博市·九年级一模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（）A．7 B．6 C． D．【即学即练】7．（2022·河北保定市·八年级期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，、分别是边、的中点，，，一动点从点出发，沿着的方向在矩形的边上运动，运动到点停止．点为图1中的某个定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点的位置可能是图1中的（）A．点 B．点 C．点 D．点题组A基础过关练1．（2022•无锡·七年级期末）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y＝54x（x＞2）B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2）D．y＝54x+100（x＞2）2．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）已知一函数的图象如图所示，这个函数的自变量x的取值范围是(

)A． B． C． D．3．（2022·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C． D．4．（2023·山东七年级期中）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃﹣20﹣100102030声速/m/s318324330336342348下列说法不正确的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740mD．当温度每升高10℃，声速增加6m/s5．（2022·广东茂名市·七年级期中）在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的变量时间和温度的数据：02468101214…3044587286100100100…在水烧开之前（即），温度与时间的关系式及因变量分别为（）A．，B．，C．，D．，6．（2022·硚口区期末）某种瓜苗早期在农科所温室中生长，长到20cm时，移至村庄的大棚内沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是（）A．33天 B．18天 C．35天 D．20天7．（2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）已知函数，若函数值，则自变量取值为（

）A． B． C．或 D．8．（2022·福建厦门市·八年级月考）如图，在直角坐标系中，有一矩形，长，宽轴，轴．点坐标为，该矩形边上有一动点，沿运动一周，则点的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是()A．B．C．D．9．（2023·河南中原·七年级期末）一辆汽车油箱中原有汽油90升，若汽车匀速行使100km耗油9升，则该汽车油箱中的剩余油量Q（升）与汽车匀速行驶的距离s（km）之间的关系式是____________．10．（2022·山东济阳·七年级期中）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：（1）开始时，汽车的油量______升；（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？11．（2022•光明区期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是米．（2）本次上学途中，小明一共行驶了米．一共用了分钟．（3）在整个上学的途中最快的速度是米/分．（4）小明当出发分钟离家1200米．题组B能力提升练1．（2022·福建省华安县第一中学八年级阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≠3 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1且x≠32．（2022·福建·厦门八年级期末）下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（）A． B． C． D．3．（2022·广东高州·七年级期末）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是()放水时间(分钟)1234…游泳池中的水量(m3)2480246024402420…A．每分钟放水20m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟3．（2022·北京市九年级其他模拟）如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动工程中甲光斑与点A的距离S1（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是（）A．甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍B．乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/sC．甲乙两光斑全程的平均速度一样D．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次5．（2022·江苏·八年级专题练习）一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新的正方形周长与之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是__________．6．（2022·广东三水·西南中学九年级三模）已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值．表中“▲”处的数可以是__．（填一个符合题意的答案）x﹣2134y﹣362▲7．（2022·山东肥城·八年级期末）一辆客车以从85km/h的速度从肥城驶往北京，若肥城到北京的距离为470km，那么客车离北京的距离（km）与所用时间（h）的表达式为______．8．（2022·台州期末）小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，所行驶路程s（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是分钟．9．（2022·全国八年级专题练习）已知一次函数（1）若自变量的范围是，求函数值的范围．（2）若函数值的范围是，求自变量的范围．10．（2022·成都市七年级期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？11．（2022•叶县期末）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．（1）图中点A表示的实际意义是什么？求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是多少？当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是多少？（2）当行驶了120千米时，求蓄电池的剩余电量；（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至20千瓦时？12．（2022•龙凤区校级期末）如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．（1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行车行驶过的时间，写出y与x的关系．题组C培优拔尖练1．（2022·山东禹城·八年级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是﹣3，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（）A．10 B．14 C．18 D．222．（2022·江苏徐州市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．3．（2022·安徽滁州市·八年级期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（）A．B．长方形的周长是C．当时，D．当时，4．（2022·黑龙江林口·八年级期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法，其中，不符合图象描述的说法是（）A．他们都行驶了18千米；B．甲在途中停留了0.5小时；C．乙比甲晚出发了0.5小时；D．甲、乙两人同时到达目的地．5．（2022·重庆九年级月考）如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．7．（2022·河南·镇平县七年级期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．(1)如果原正方形纸片的边长为acm，剪去的正方形的边长为bcm，则折成的无盖长方体盒子的高为_______cm，底面积为_____cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3；(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；剪去正方形的边长/cm12345678910容积/cm3324512__________500384252128360(3)观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（

）A．一直增大

B．一直减小C．先增大后减小

D．先减小后增大(4)分析猜想当剪去图形的边长为____时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是____cm3．(5)对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？8．（2022·江苏宿迁市·八年级月考）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边