2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题10函数与方程导数的几何意义学案文含解析

PAGE专题10函数与方程、导数的几何意义1.巧用曲线、切线、切点(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.2.处理函数与方程必记两结论(1)若连绵不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.(2)由函数y=f(x)(图象是连绵不断的)在闭区间[a,b]上有零点不肯定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.1.函数中的转化思想(1)方程f(x)-g(x)=0解的个数问题可转化为两个函数y=f(x),y=g(x)图象交点的个数问题;(2)已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.推断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来推断.(2)依据零点存在性定理,结合函数性质来推断.(3)将函数y=f(x)-g(x)的零点个数转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象公共点的个数1.对f′(x0)与f′(x)理解有误【案例】T1,应先求导再求函数值,同时要留意f′(1)是常数.2.忽视切点的位置【案例】T4求曲线的切线方程要留意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式干脆写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.3.忽视了“至少有一个零点”与“零点存在性定理”的不等价致错【案例】T10,错解是因为对至少一个零点理解不透彻,至少有一个零点即有一个或多个零点,结合函数对称轴及判别式即可求解.考向一函数零点的应用【典例】(2024·全国Ⅰ卷)已知函数fQUOTE=QUOTEgQUOTE=fQUOTE+x+a①,若gQUOTE存在2个零点②,则a的取值范围是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE①分段函数,函数图象,数形结合②零点转化为图象交点考向二导数的几何意义【典例】(2024·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=QUOTE.若f′(1)=QUOTE,则a=________.

1.已知函数f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)的值为()A.0 B.-4 C.-2 D.22.函数f(x)=lnQUOTE-QUOTE的零点所在的区间是 ()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)3.函数f(x)=x+QUOTE在x=1处的切线方程为2x-y+b=0,则a+b= ()A.-3 B.-1 C.0 D.14.已知函数f(x)=x+QUOTE.若曲线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线,则a的取值范围是 ()A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)5.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=10lgQUOTE(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的 ()A.QUOTE倍 B.10QUOTE倍 C.10倍 D.lnQUOTE倍6.若函数f(x)=QUOTEx3+x2-ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间QUOTE上有零点,则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.(-∞,3]7.已知x0是函数f(x)=2x+QUOTE的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0+∞),则 ()A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>08.已知α,β(α<β)是方程(x-a)(x-b)+2=0的两根,其中a<b,则α,β,a,b的大小关系 ()A.a<α<β<b B.a<α<b<βC.α<a<b<β D.α<a<β<b9.定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,方程g[f(x)]=0解的个数不行能是 ()A.1 B.2 C.3 D.410.若函数f(x)=x2-2ax+2在(0,4)上至少有一个零点,则实数a的取值范围为________.

11.已知函数f(x)=QUOTE,则f(f(0))=________;设函数g(x)=f(x)-kx存在3个零点,则实数k的取值范围是________.

12.已知函数f(x)=QUOTE若关于x的方程f(x)=kx+1有3个互异的实数解,则实数k的取值范围是________.

专题10函数与方程、导数的几何意义///真题再研析·提升审题力///考向一C因为g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,图象如下:要使得y=-x-a与f(x)有两个交点,则有-a≤1即a≥-1.考向二【解析】由函数的解析式可得:f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,则f′(1)=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1///高考演兵场·检验考试力///1.B由f(x)=x2+2xf′(1),得f′(x)=2x+2f′(1).所以f′(1)=2×1+2f′(1).所以f′(1)=-2.从而f′(x)=2x-4.所以f′(0)=-4.2.B因为f(1)=ln2-2<lne2-2=0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,则f(1)f(2)<0,所以函数f(x)=lnQUOTE-QUOTE的零点所在区间是(1,2),当x>0,且x→0时,f(x)=lnQUOTE-QUOTE<0fQUOTE=lnQUOTE-QUOTE>lne-QUOTE>0,fQUOTE=lnQUOTE-QUOTE>lne-QUOTE>0,fQUOTE=lnQUOTE-QUOTE>lne-QUOTE>0,故选B.3.A由题知f′(x)=1-QUOTE,则f′(1)=1-a=2,得a=-1,则切点为(1,0),又由切点(1,0)在切线2x-y+b=0上,得b=-2,则a+b=-3.4.Df′(x)=1-QUOTE,设切点坐标为QUOTE,则切线方程为y-x0-QUOTE=QUOTE(x-x0),又切线过点(1,0),可得-x0-QUOTE=(1-QUOTE)(1-x0),整理得2QUOTE+2ax0-a=0,曲线存在两条切线,故方程有两个不等实根,即满意Δ=4a2-8QUOTE>0,解得a>0或a<-2.5.C由η=10lgQUOTE得I=I01QUOTE,所以I1=I0107,I2=I0106,所以QUOTE=10,所以70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的10倍.6.C因为函数f(x)=QUOTEx3+x2-ax,则f′(x)=x2+2x-a,其对称轴为x=-1,f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,又有函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,等价于在区间(1,+∞)上f′(x)≥0恒成立,则f′(x)min>f′(1)=3-a≥0⇒a≤3,由零点的存在性定理可知,函数f(x)在区间QUOTE上有零点且单调递增,则f(1)·f(2)<0⇒QUOTE<0⇒QUOTE<a<QUOTE,综上,实数a的取值范围是QUOTE.7.B因为x0是函数f(x)=2x+QUOTE的一个零点,则x0是函数y=2x与y=QUOTE的交点的横坐标,画出函数图象,如图所示,则当x1∈(1,x0)时,y=2x在y=QUOTE下方,即f(x1)<0;当x2∈(x0,+∞)时,y=2x在y=QUOTE上方,即f(x2)>0,故选B.8.A设函数y=(x-a)(x-b)+2,图象为开口向上的抛物线,x=α,x=β是抛物线与x轴交点的横坐标,而当x=a时,函数值y=2>0,所以a在α的左边,即a<α,同理β<b,所以正确选项为A.9.D因为x∈[-a,a]时,g(x)=0有唯一解,不妨设唯一解为k,由g(x)图象可知k∈(0,a),则由g[f(x)]=0可得f(x)=k,因为k∈(0,a),由f(x)图象可知,f(x)=k可能有1根,2根,3个根,不行能有4个根,故选D.10.【解析】因为函数f(x)=x2-2ax+2在(0,4)上至少有一个零点,且f(0)=2>0,所以f(4)<0或QUOTE解得a>QUOTE或QUOTE≤a<4,即a≥QUOTE.所以实数a的取值范围为QUOTE.答案:QUOTE11.【解析】因为f(x)=QUOTE所以f(f(0))=f(1)=0,因为函数g(x)=f(x)-kx存在3个零点,所以方程f(x)=kx存在3个根,即y=kx与y=f(x)存在3个交点,设y=kx与f(x)=e-x(x≤0)相切于点(x0,QUOTE),则k=QUOTE=f′(x0)=-QUOTE,解得x0=-1,所以k=-e,如图,由图可知,当k<-e时,y=kx与y=f(x)存在3个交点.答案:0(-∞,-e)12.【解析】作图y=f(x)如下,A(1,2),直线y=kx+1过定点P(0,1),