2024-2025学年新教材高中数学第六章概率6.5正态分布课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(四十五)正态分布(建议用时：40分钟)一、选择题1．设两个正态分布N(μ，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2A[曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称，明显μ1<μ2，σ越大曲线越“矮胖”，反之，σ越小，曲线越“高瘦”，故σ1<σ2．]2．假如随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X＜1)等于()A．0.0215B．0.723C．0.215D．0.64A[由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3，1)，又P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝0.997，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝0.954，P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X<1)＝0.043．∴P(0<X<1)＝0.0215．]3．设随机变量ξ听从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于()A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975C[∵ξ～N(0，1)，∴P(ξ<－1.96)＝P(ξ>1.96)＝0.025．∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950．]4．设随机变量ξ听从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)，则c等于()A．1B．2C．3D．4B[∵ξ～N(2，9)，P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2．]5．某厂生产的零件直径ξ～N(10，0.22)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，则可认为()A．上午生产状况未见异样，下午生产状况出现了异样B．上午生产状况出现了异样，而下午生产状况正常C．上、下午生产状况均是正常D．上、下午生产状况均出现了异样A[3σ原则：(10－3×0.2，10＋3×0.2)，即(9.4，10.6)，9.9∈(9.4，10.6)，9.3∉(9.4，10.6)，所以，上午生产状况未见异样，下午生产状况出现了异样．]二、填空题6．设X～N(0，1)，且P(X≤1.623)＝p，那么P(x>1.623)的值是________．1－p[∵X～N(0，1)，∴μ＝0，∴P(x>1.623)＝1－P(X≤1.623)＝1－p．]7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值为________．1[区间(－3，－1)和区间(3，5)关于直线x＝1对称，所以均值μ为1．]8．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．0.2[由已知P(X>0.2)＝P(X≤0.2)＝0.5，所以，正态曲线关于x＝0.2对称．由正态曲线性质得x＝μ＝0.2时达到最高点．]三、解答题9．设X～N(2，4)，试求下列概率：(1)P(2<X<4)；(2)P(－2<X<0)．[解](1)P(2<X<4)＝eq\f(1,2)P(0<X<4)＝eq\f(1,2)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝eq\f(1,2)×0.683＝0.3415．(2)P(－2<X<0)＝eq\f(1,2)[P(－2<X<6)－P(0<X<4)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.954－0.683)＝0.1355．10．某地区数学考试的成果X听从正态分布，其分布密度函数图象如下图所示，成果X位于区间(52，68)的概率是多少？[解]设成果X～N(μ，σ2)，则正态分布密度函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up8(－eq\f(x－μ2,2σ2))．由题图可知参数μ＝60，eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，即σ＝8，∴P(52<X<68)＝P(60－8<X<60＋8)＝0.683．11．已知随机变量X听从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)[答案]D12．正态分布N1(μ1，σeq\o\al(2,1))，N2(μ2，σeq\o\al(2,2))，N3(μ3，σeq\o\al(2,3))(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是()①N1(μ1，σeq\o\al(2,1))②N2(μ2，σeq\o\al(2,2))③N3(μ3，σeq\o\al(2,3))A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大D[在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D．]13．(多选题)把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法正确的是()A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2ABD[正态密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up8(－eq\f(x－μ2,2σ2))，正态曲线对称轴x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝eq\f(1,\r(2π)σ)．所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形态没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值μ增大了2个单位．]14．(一题两空)若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ>3)＝0.1587，则P(ξ>2)＝________；P(ξ>1)＝________．0.50.8413[∵随机变量ξ～N(2，σ2)，∴正态曲线关于x＝2对称，∴P(ξ>2)＝0.5；∵P(ξ>3)＝0.1587，∴P(ξ>1)＝P(ξ<3)＝1－0.1587＝0.8413．]15．某投资商制定了两个投资方案，打算选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别听从正态分布N(8，32)和N(7，12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应当选择哪一个方案？[解]①当选择X～N(8，32)的方案时，则有μ＝8，σ＝3．∴P(8－3<X<8＋3)＝P(5<X<11)＝0.683，∴P(X>5)＝eq\f(1,2)＋P(5<X<8)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(5<X<11)＝0.5＋0.3415＝0.8415．即选择X～N(8，32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.8415．②当选择X～N(7，12)的方案时，则有μ′＝7，σ′＝1．∴P(7－2×1<X<7＋2×1)＝P(5<X<9)＝0