山东专用2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点八球含解析

PAGE热点(八)球1．(正四棱柱外接球)已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)2．(圆柱与球的组合体)如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l为eq\f(61,24)的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为()A．3B．4C．5D．63．(正三棱柱内切球)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是eq\f(32π,3)，则这个三棱柱的体积是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)4．[2024·山东师大附中模拟](三棱锥外接球)已知三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝eq\f(π,6)，AC＝2AB＝2eq\r(3)，SA＝1.则该三棱锥的外接球的体积为()A.eq\f(13\r(13)π,8)B．13πC.eq\f(\r(13)π,6)D.eq\f(13\r(13)π,6)5．(三棱锥外接球＋折叠问题)已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC＝eq\f(π,2)，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()A．3πB．4πC．5πD．6π6．(圆锥外接球)已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为()A.eq\f(2＋\r(3),3)πB.eq\f(2－\r(3),3)πC．(2＋eq\r(3))πD.eq\f(2＋\r(3),3)π或eq\f(2－\r(3),3)π7．[2024·山东青岛检测](四面体内切球)已知球O与各棱长均为4的四面体的各棱都相切，则球O的表面积为()A．8πB.eq\f(8\r(2),3)πC．32πD．24π8．[2024·山东泰安质量检测](空间四边形外接球＋余弦定理)已知空间四边形ABCD，∠BAC＝eq\f(2,3)π，AB＝AC＝2eq\r(3)，BD＝10，CD＝8，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为()A．64πB．112πC．96πD．128π9．[2024·山东淄博模拟](三棱锥外接球＋余弦定理＋基本不等式)已知A，B，C三点都在表面积为100π的球O的表面上，若AB＝4eq\r(3)，∠ACB＝60°，则球内的三棱锥O­ABC的体积的最大值为()A．8eq\r(3)B．10eq\r(3)C．12eq\r(3)D．16eq\r(3)10．(多选题)(四面体外接球)四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB是球O的一条直径，且AC＝2，BC＝4，现有下面四个结论，其中全部正确结论的编号是()A．球O的表面积为20πB．AC上存在一点M，使得AD∥BMC．若AD＝3，则BD＝4D．四面体ABCD体积的最大值为eq\f(4\r(5),3)11．(多选题)[2024·山东临沂模拟](四棱锥外接球)已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC＝2eq\r(3)，CD＝PC＝PD＝2eq\r(6).若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()A．BM⊥平面PCDB．PA∥平面MBDC．四棱锥M­ABCD外接球的表面积为36πD．四棱锥M­ABCD的体积为612．(多选题)(三棱锥外接球＋折叠问题)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(3)，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D­ABC，则在翻折的过程中，有下列结论，其中正确的是()A．三棱锥D­ABC的体积最大值为eq\f(1,3)B．三棱锥D­ABC的外接球体积不变C．三棱锥D­ABC的体积最大值时，二面角D­AC­B的大小是60°D．异面直线AB与CD所成角的最大值为90°13．(圆锥内切球＋圆锥外接球)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．14．(圆柱外接球)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．15．(三棱锥外接球＋折叠问题)下图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A­BD­C，则三棱锥A­BCD的外接球的体积为________cm3.16．(三棱锥内切球＋正方体表面积)一个正三棱锥(底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥)铁盒的底面边长为2，侧棱长为eq\r(13)，则铁盒内切球的半径为________；若在该铁盒内放一个小正方体，且小正方体在铁盒内可以随意转动，则该小正方体的表面积的最大值为________．热点(八)球1．答案：D解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝1，所以V球＝eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)，故选D.2．答案：C解析：设实心球的半径为R，实心金属几何体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×8＋π×4×eq\f(61,24)＝eq\f(125,6)π，因为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(125,6)π，所以R＝eq\f(5,2).所以该球的直径为2R＝5，故选C.3．答案：D解析：V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，∴r＝2，∴三棱柱的高为4，设底面边长为a，则eq\f(\r(3),6)a＝2，∴a＝4eq\r(3)，∴V三棱柱＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3)，故选D.4．答案：D解析：∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2eq\r(3)，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r＝eq\f(AC,2)＝eq\r(3)则三棱锥外接球即为以△ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径R满意R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(SA,2)))2)＝eq\f(\r(13),2)，故三棱锥外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(13\r(13)π,6).故选D.5．答案：C解析：边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC＝eq\f(π,2)，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱相互垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,1，eq\r(3)，所以2R＝eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，∴该球的表面积为S＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＝5π，故选C.6．答案：D解析：设球的半径为R，则4πR2＝16π，解得R＝2.设圆锥的高为h，因为圆锥的底面圆周和顶点都在球面上，所以22＝12＋(h－2)2，解得h＝2＋eq\r(3)或h＝2－eq\r(3)，所以圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×12×(2＋eq\r(3))＝eq\f(2＋\r(3),3)π或V＝eq\f(1,3)π×12×(2－eq\r(3))＝eq\f(2－\r(3),3)π，故选D.7．答案：A解析：将该四面体补成正方体，则四面体的棱为正方体的面上的对角线．因为四面体的各棱长均为4，所以正方体的棱长为2eq\r(2)，又球O与四面体的各棱都相切，所以球O的直径为正方体的棱长，则球O的半径为eq\r(2)，则其表面积S＝4π×2＝8π.故选A.8．答案：B解析：在△ABC中，由余弦定理得BC＝6，又BC2＋CD2＝BD2，∴△BCD为直角三角形，且BD为斜边，∴△BCD外接圆的圆心在BD的中点处，∵平面ABC⊥平面BCD，∴几何体的外接球的球心到平面ABC的距离为eq\f(1,2)CD＝4，设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝eq\f(6,sin\f(2,3)π)＝4eq\r(3)，∴r＝2eq\r(3)，设几何体的外接球半径为R，则R2＝42＋(2eq\r(3))2＝28，∴该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝112π，故选B.9．答案：C解析：设球O的半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则4πR2＝100π，∴R＝5.在△ABC中，eq\f(AB,sin∠ACB)＝2r，∴r＝4，∴球心O到平面ABC的距离d＝eq\r(R2－r2)＝3，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB，则48＋BC·AC＝BC2＋AC2≥2BC·AC，解得BC·AC≤48，当且仅当BC＝AC＝4eq\r(3)时取等号，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC·sin∠ACB＝eq\f(\r(3),4)BC·AC≤12eq\r(3)，当且仅当BC＝AC＝4eq\r(3)时取等号，∴三棱锥O­ABC体积的最大值为eq\f(1,3)×12eq\r(3)×3＝12eq\r(3)，故选C.10．答案：AD解析：因为AB是球O的一条直径，所以AC⊥BC，AD⊥BD，所以AB＝2eq\r(5).球的半径为eq\r(5)，球O的表面积为4π×(eq\r(5))2＝20π，A对；因为AD与平面ABC相交，所以AC上找不到一点M，使得AD∥BM，B错；若AD＝3，则BD＝eq\r(11)，C错；因为D到平面ABC的距离的最大值为球的半径，所以四面体ABCD体积的最大值为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×eq\r(5)＝eq\f(4\r(5),3).D对，故选AD.11．答案：BC解析：如图，在四棱锥P­ABCD中：侧面PCD⊥平面ABCD，交线为CD，底面ABCD为矩形，BC⊥CD，则BC⊥平面PCD，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以A错误；连接AC交BD于O，连接MO，在△PAC中，OM∥PA，MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD，所以B正确；四棱锥M­ABCD的体积是四棱锥P­ABCD的体积的一半，取CD中点N，连接PN，PN⊥CD，则PN⊥平面ABCD，PN＝3eq\r(2)，四棱锥M­ABCD的体积VM­ABCD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2eq\r(6)×3eq\r(2)＝12，所以D错误；在△PCD中求得：NM＝eq\f(1,2)PC＝eq\r(6)，在Rt△MNO中MO＝eq\r(ON2＋MN2)＝3，即OM＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四棱锥M­ABCD外接球的球心，半径为3，所以其体积为36π，故C正确，故选BC.12．答案：BD解析：VD­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h，当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥D­ABC的高最大，此时体积最大值为VD­ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,4)，A错误；设AC的中点为O，则由Rt△ABC，Rt△ADC知，OA＝OB＝OC＝OD，所以O为三棱锥D­ABC外接球的球心，其半径为eq\f(1,2)AC＝1，所以外接球体积为eq\f(4,3)π，即三棱锥D­ABC的外接球体积不变，B正确；由①的解析过程知，三棱锥D­ABC的体积最大值时，平面ADC⊥平面ABC，所以二面角D­AC­B的大小是90°，C错误；当△ADC沿对角线AC进行翻折到使点D与点B的距离为eq\r(2)，即BD＝eq\r(2)时，在三角形BCD中，BC2＝BD2＋CD2，所以CD⊥BD，又CD⊥AD，翻折后此垂直关系没有变，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°，D正确．故选BD.13．答案：3π解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，∴△ABC的边长为2eq\r(3)，圆锥的底面半径为eq\r(3)，高为3，∴V＝eq\f(1,3)×π×3×3＝3π.14．答案：eq\f(3π,4)解析：画出圆柱的轴截面ABCD，如图，O为球心，则球半径R＝OA＝1，球心究竟面圆的距离为OM＝eq\f(1,2)，所以底面圆半径r＝eq\r(OA2­OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圆柱体积V＝π×eq\b