三角形的五心与向量

三角形的五心与向量（一）三角形的内心是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的()A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量的方向与的角平分线一致又，向量的方向与的角平分线一致一定通过的内心选．练习1.已知满足，，则为()A．顶角为的等腰三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为的直角三角形 D．等边三角形【解析】设，则，而，所以是的角平分线，又，所以为等腰三角形，，所以是等边三角形.

练习2.O是平面内的一定点，A,B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【解析】∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴的方向与∠BAC的角平分线重合又∵可得到λ（）∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心，选A（二）三角形的重心已知中，向量，则点的轨迹通过的（）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【解析】设为中点，则，即点在中线上可知点轨迹必过的重心，选练习1．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【解析】设,因为G为的重心，所以,即由于三点共线，所以，即因为，，所以即有，解之得或，选B

练习2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若=,则O点是△ABC的()A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解析】作BD∥OC，CD∥OB，连OD，OD与BC相交于G，则BG＝CG，（平行四边形对角线互相平分），∴，又∵，可得：，∴，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线．∴O为三角形ABC的重心．选C．练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的()A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】∵＝设它们等于t，∴而表示与共线的向量,而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心，选C练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．【解析】设D为BC的中点，则，于是有，，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P的轨迹一定通过的重心是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．【解析】∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点，∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为重心．（三）三角形的外心已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于()A．B．C．D．【解析】因为，所以点为的重心，延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心，所以，则，同理可得，为等边三角形，，故选B.

练习1.已知，点，为所在平面内的点，且，，，则点为的()A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】因为，所以，即又因为，所以，即所以，即所以,所以，同理，所以为的外心，选B练习2.在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心【解析】设为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心选练习3.是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为_______【解析】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.

练习4.已知O是△ABC外接圆的圆心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，则cos∠BAC=______．【解析】如图所示，过O点分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则AD=DB，AE=EC．则，则因为=+，所以，即18=36x+90ycosA，=90xcosA+225y，又2x+3y=1，联立解得cosA=（四）三角形的垂心点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心【解析】处理原式得到故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C。练习1.在中，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由，得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点，选D练习2.是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【解析】λ（），∴，∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心，选B（五）三角形问题综合在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A． B． C． D．【解析】，，化简可得，，，，，且，均为单位向量，过分别作，，垂足分别为，，则，，，，两式相加可得，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为，选B

练习1.若点是所在平面内的一点，且满足，则为（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．以上都不对【解析】即，，，即，，三角形为等腰三角形，选练习2.已知是直线上任意两点，是外一点，若上一点满足，则的值是________.【解析】∵A、B、C三点共线，且cosθcos2θ∴cosθ+cos2θ＝1，（三点共线的充要条件）∴cos2θ＝1﹣cosθ，∴cosθ＝1﹣cos2θ＝sin2θ∴sin6θ＝cos3θ＝cosθ•（1﹣sin2θ）＝cosθ（1﹣cosθ）＝cosθ﹣cos2θ＝cosθ﹣（1﹣cosθ）＝2cosθ﹣1∴sin2θ+sin4θ+sin6θ＝cosθ+cos2θ+2cosθ﹣1＝cosθ+1﹣cosθ+2cosθ﹣1＝2cosθ，由cos2θ＝1﹣cosθ得cosθ或cosθ1，舍去，∴cosθ∴原式＝2cosθ1练习3．已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则当与的面积之比为时，实数的值为________.【解析】设，，，三点共线，可设，，为的重心，，，，两式相乘得①，②，②代入①即解得或即或练习4.已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【解析】（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设，即，根据平面向量基本定理，得，解得练习4.已知P是三角形ABC所在平面内的任意一点，且满足则:______【解析】取D，E分别为AC，BC的中点，则2，2．∵，∴（2（），∴，∴P是DE上靠近E的三等分点，∴故答案为：1:3．（六）五心综合点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的（）A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心【解析】由三角形“五心”的定义，我们可得：（1）时，得在三角形中，是边的中点，则，即是三角形的重心，为的重心；（2）时，得，即,所以.同理可知,所以为的垂心；（3），，当