数学成长训练：简单的三角恒等变换

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.已知cosθ=,π＜θ＜2π，则sin等于()A.B。C.—D。±解析:∵π＜θ＜2π,∴＜＜π.∴sin＞0。∴sin=.答案：B2。在tan的定义域内,下列各式中恒成立的一个是（）A.tan=B.tan=—C。tan=D。tan=解析：≠+kπ，k∈Z，∴x≠π+2kπ。答案：C3。已知cosα=,且π＜α＜,则cos的值等于(）A.B.—C.D。—解析:∵π＜α＜，∴＜＜.∴cos＜0.∴cos=答案：B4。已知2π＜θ＜4π,且sinθ=,cosθ＜0,则tan的值等于（)A.-3B。3C。—解析:由题意知θ为第三象限角，3π＜θ＜,∴＜＜.∴tan＜0，cosθ==—.∴tan=.答案：A5.已知sinα=,且α是第二象限角,则tan的值是(）A.B。5C。5或D。-5或解析：∵α是第二象限角,∴是第一,三象限角。∴tan＞0.cosα=.∴tan=答案：B6。若α+β=，则(）A.cos=-B。sin=C。tan=±D。tan=±解析：因为α,β的象限不确定,所以根号前的符号不确定,排除A,B.tan=±故选C.答案:C7。已知2sinθ=1+cosθ,则tan的值为（）A.2B.C。或0D.2或0解析:若1+cosθ≠0，则tan==。若1+cosθ=0，即cosθ=-1，∴θ=2kπ+π。∴tan=0.答案:C8.若tanα=2,则的值是()A.B.C。D.-解析:原式=.答案：A9。在△ABC中，cos（+A）=,那么cos2A=____________。解析:∵cos(+A)=,∴sin（+A）=.∴sin［2(+A)］=2sin（+A)·cos(+A）=2××=。∴cos2A=。答案:10。若α是第三象限角，且sin（α+β)cosβ—sinβcos(α+β）=—，则tan=____________.解析：原式化为（sinαcosβ+cosαsinβ）cosβ—sinβ(cosαcosβ-sinαsinβ)=-,即sinαcos2β+cosαsinβcosβ-sinβcosβcosα+sinαsin2β=—，sinα=—。∵α是第三象限角,∴是第二，四象限角.cosα=，∴tan=.答案：—511.已知sinφ·cosφ=,且＜φ＜,求sinφ，cosφ的值。解:方法一：∵sinφcosφ=,∴sin2φ=.又∵＜φ＜，＜2φ＜π，cos2φ＜0,∴cos2φ=,sinφ＞0，cosφ＞0。∴sinφ=,cosφ=.方法二:(sinφ+cosφ)2=1+2sinφcosφ=1+=，∵＜φ＜，sinφ＞0,cosφ＞0。∴sinφ+cosφ=。①又（sinφ-cosφ）2=1-2sinφcosφ=1—=，∵＜φ＜,则sinφ＞cosφ＞0，∴sinφ-cosφ＞0,sinφ—cosφ=.②解①②的方程组得sinφ=，cosφ=.走近高考12。（2005江西高考,18)已知向量a=（2cos,tan（+））,b=（sin(+）,tan（-）),令f(x)=a·b,求函数f(x）的最大值、最小正周期，并写出f（x)在［0,π]上的单调区间。解:f(x）=a·b=cossin（+)+tan(+)tan(—)=22cos·（sin+cos）+=2sincos+2cos2-1=sinx+cosx=sin(x+).所以f（x)的最大值为,最小正周期为2π,f(x）在［0，］上单调递增，在［,π］上单调递减.13。(2005天津高考,17）已知sin(α-)=，cos2α=，求sinα及tan(α+）.解:方法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得=sin(α—）=（sinα—cosα）,即sinα-cosα=.①由题设条件，应用二倍角余弦公式得=cos2α=cos2α-sinα=（cosα—sinα）（cosα+sinα)=—(cosα+sinα)，故cosα+sinα=.②由①式和②式得sinα=，cosα=-.因此,tanα=—。由两角和的正切公式tan（α+)=。方法二:由题设条件，应用二倍角余弦公式得=cos2α=1—2sin2α。解得sin2α=，即sinα=±。由sin(α-)=可得sinα—cosα=.由于sinα=+cosα＞0,且cosα=sinα-＜0,故α在第二象限,于是sinα=,从而cosα=sinα—=—.以下同方法一.14。（经典回放)已知sinx+cosx=,0≤x＜π，则tanx的值为()A。B.C。D.或解析：由sinx+cosx=,两边平方得sin2x=-。①由0≤x＜π知0≤2x＜2π。由①知π＜2x＜2π＜x＜π.又由已知sinx+cosx=＞0知