数学层级训练：实数指数幂及其运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章基本初等函数(Ⅰ)3．1指数与指数函数3．1。1实数指数幂及其运算知识点一:根式1．以下运算正确的是A.eq\r（－a2）＝aB.eq\r（a2）＝－aC.eq\r(a2）＝｜a|D.eq\r(a2）＝a2．求值:(1)eq\r(3，－63)＋eq\r(4,\r（5)－44）＋eq\r(3,\r(5）－43）；（2)eq\r（x2－2x＋1)－eq\r（x2＋6x＋9)（x〉3）．知识点二：分数指数幂3．在分数指数幂aeq\f（m，n）＝eq\r（n,am)(m、n∈N*且互质）中，当n为偶数与n为奇数时，a的取值范围分别是A．a>0，a≥0B．a≥0，a<0C．a≥0,a∈RD．a∈R,a≥04．式子eq\f(a2,\r(a）·\r(3，a2)）(a>0）经过计算可以得到A．aB．－eq\r(6，a5）C.eq\r(5,a6)D.eq\r（6，a5)5．下列根式，分数指数幂的化简中正确的是A．－eq\r(x）＝（－x)eq\f(1，2）（x≠0）B．x－eq\f(1，3）＝－eq\r(3，x)C．（eq\f(x，y))－eq\f（3,4)＝eq\r(4，\f（y,x)3)(x·y〉0)D.eq\r(6，y2）＝yeq\f(1,3）（y<0）6．若使代数式(2x－1）－eq\f（1，2）＋（x－3)eq\f（1,3）有意义,则x的取值范围为__________．7．设α、β是方程2x2＋3x＋1＝0的两个实根,则(eq\f（1，4)）α＋β＝__________.知识点三：实数指数幂8．(1）(4eq\r(7)－3）eq\r(7）＋3＝__________；（2)若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝__________。9．化简下列各式：(1）4eq\r(2)＋1·23－2eq\r（2）·8－eq\f(2，3)；（2）(3xeq\r（3）＋5y－eq\r（5））(3xeq\r（3）－5y－eq\r(5))(x>0，y〉0）．能力点一：指数式及根式的化简与计算10．下列各式成立的是A.eq\r(3，m2＋n2）＝（m＋n）eq\f(2,3)B．（eq\f(b,a))5＝aeq\f（1,5）·b5C。eq\r(6,－32）＝（－3)eq\f（1，3)D.eq\r（\r（3,4））＝2eq\f(1，3）11．化简:(1＋2－eq\f（1，32))（1＋2－eq\f(1，16)）（1＋2－eq\f（1，8）)（1＋2－eq\f（1,4))(1＋2－eq\f（1，2)）的结果是A。eq\f(1,2）（1－2－eq\f(1,32））－1B．（1－2eq\f（1，32))－1C．1－2－eq\f(1,32)D.eq\f(1,2)(1－2－eq\f（1，32))12．已知x2＋x－2＝2eq\r（2），且x>1，则x2－x－2的值为A．2或－2B．－2C.eq\r(6)D．213．若(|x|－1）－eq\f（1，4）有意义,则x的取值范围为__________．14．化简：eq\f(a－1，a\f（2，3）＋a\f(1,3）＋1)＋eq\f(a＋1，a\f（1,3）＋1)－eq\f（a－a\f（1,3），a\f(1,3)－1)。15．计算：(1）(－3eq\f（3,8）)－eq\f（2，3)＋(0.002）－eq\f（1，2)－10(eq\r(5）－2)－1＋（eq\r(2)－eq\r(3)）0；(2）eq\r(3,a\f（3，2)·\r(a－3)）·eq\r(a－5－\f（1,2）a－\f(1,2）13）。能力点二：条件求值问题16．若a＝（2＋eq\r（3）)－1，b＝（2－eq\r（3））－1,则(a＋1）－2＋(b＋1）－2的值是A．1B.eq\f(1，4)C.eq\f(\r(2),2)D。eq\f(2,3)17．当8〈x<10时，eq\r(x－82）＋eq\r(x－102)＝______.18．已知x－3＋1＝a(a为常数）,求a2－2ax－3＋x－6的值．19．已知a＋a－1＝3,求(1)eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a)）；(2）a3＋eq\f（1，a3）的值．能力点三:指数幂运算的综合应用20．已知关于x的方程4x·a－（8＋eq\r(2)）·2x＋4eq\r（2)＝0有一个根为2，求a的值和方程的另一个根．21．化简：eq\f(2c,3a)eq\r(4,\f（81a5b2，16c4)）（a>0，c<0)．22．计算eq\r（2＋\r(2＋\r(2＋…))）的值．23．已知x＝eq\f（1，2）(5eq\f(1，n）－5－eq\f（1，n))，n∈N*，求(x＋eq\r(1＋x2））n的值．答案与解析基础巩固1．C2．解：（1）原式＝(－6)＋(4－eq\r(5））＋(eq\r(5）－4）＝－6.（2）原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1｜－|x＋3|,∵x>3,∴x－1〉0，x＋3>0.∴eq\r（x2－2x＋1)－eq\r（x2＋6x＋9)＝(x－1）－（x＋3)＝－4.3．C4．D原式＝eq\f（a2,a\f(1，2）·a\f(2,3））＝a2－eq\f(1,2)－eq\f(2,3）＝aeq\f(5，6)＝eq\r（6，a5)。5．C6。（eq\f（1,2)，＋∞）7．8（eq\f（1,4)）α＋β＝（eq\f（1,4）)－eq\f（3，2)＝（2－2)－eq\f（3,2)＝23＝8。8．（1）eq\f（1,16)(2)eq\f（9，4）9．解：(1)原式＝（22）eq\r（2）＋1·23－2eq\r(2）·（23)－eq\f(2，3)＝22eq\r(2)＋2·23－2eq\r(2）·2－2＝22eq\r(2）＋2＋3－2eq\r(2)－2＝23＝8.(2）原式＝（3xeq\r(3))2－（5y－eq\r（5））2＝9x2eq\r（3）－25y－2eq\r（5)＝9x2eq\r（3)－eq\f（25，y2\r(5）).能力提升10．D11．A（1＋2－eq\f（1，32））（1＋2－eq\f（1,16）)（1＋2－eq\f（1,8））×（1＋2－eq\f（1，4))(1＋2－eq\f(1,2))＝eq\f(1，1－2－\f（1，32)）×（1－2－eq\f（1,32)）（1＋2－eq\f（1，32)）（1＋2－eq\f(1,16))（1＋2－eq\f（1，8））（1＋2－eq\f(1,4））(1＋2－eq\f（1，2））＝eq\f(1,1－2－\f（1，32)）×（1－2eq\f(1,16)）（1＋2－eq\f(1，16）)(1＋2－eq\f（1，8)）(1＋2－eq\f（1,4)）（1＋2－eq\f(1,2))＝eq\f（1－2－1，1－2－\f（1，32））＝eq\f(1,2)(1－2－eq\f(1,32）)－1.12．D(x2－x－2)2＝(x2＋x－2）2－4x2·x－2＝（2eq\r（2））2－4＝4，又∵x〉1，∴x2>1>x－2.∴x2－x－2＝2.13．（－∞,－1)∪(1，＋∞)14．解：原式＝eq\f（a\f（1，3）－1a\f(2，3）＋a\f（1，3)＋1,a\f(2，3)＋a\f（1，3)＋1）＋eq\f(a\f（1，3）＋1a\f（2，3）－a\f（1，3)＋1,a\f(1，3)＋1)－eq\f（a\f(1,3）a\f(1,3)－1a\f（1，3)＋1，a\f(1，3)－1）＝aeq\f（1,3)－1＋aeq\f（2,3)－aeq\f(1，3）＋1－aeq\f(2，3)－aeq\f(1，3)＝－aeq\f(1，3).15．解：（1）原式＝（－1）－eq\f（2，3）（3eq\f（3，8)）－eq\f(2,3)＋(eq\f(1,500))－eq\f（1,2）－eq\f(10，\r（5）－2)＋1＝（eq\f（27，8）)－eq\f（2，3）＋（500)eq\f(1,2)－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f（4,9)＋10eq\r（5)－10eq\r（5)－20＋1＝－eq\f(167,9)。（2)原式＝（aeq\f（3,2）·a－eq\f（3,2))eq\f(1，3)·［(a－5)－eq\f(1，2)·（a－eq\f(1，2)）13]eq\f（1，2）＝（a0)eq\f(1，3）·(aeq\f（5，2）·a－eq\f(13,2）)eq\f（1,2)＝(a－4）eq\f(1，2)＝a－2。16．Da＝eq\f（1，2＋\r(3)）＝2－eq\r(3)，b＝eq\f(1，2－\r（3））＝2＋eq\r(3).(a＋1)－2＋（b＋1）－2＝(3－eq\r（3)）－2＋(3＋eq\r（3))－2＝eq\f（1,3－\r(3）2）＋eq\f（1，3＋\r(3)2）＝eq\f(3＋\r(3)2＋3－\r(3)2，3－\r(3）2·3＋\r(3)2)＝eq\f（12＋6\r(3)＋12－6\r（3），［3－\r(3)3＋\r(3）］2)＝eq\f(24，62)＝eq\f（24,36）＝eq\f（2,3）。17．218．解：∵x－3＋1＝a，∴x－3＝a－1.又∵x－6＝(x－3)2，∴x－6＝（a－1)2.∴a2－2ax－3＋x－6＝a2－2a（a－1）＋（a－1）2＝a2－(2a2－2a）＋（a2－2a＋1）＝1.19．解：（1）因为a>0，则eq\r（a）＋eq\f（1，\r（a)）＝eq\r(\r（a)＋\f(1，\r（a)）2）＝eq\r(a＋\f(1，a）＋2)＝eq\r(3＋2）＝eq\r（5)。（2）a3＋eq\f（1，a3）＝(a＋eq\f（1，a）)(a2＋eq\f(1,a2)－1）＝（a＋eq\f(1,a))[（a＋eq\f（1，a））2－3]，又因为a＋eq\f(1，a）＝3，所以a3＋eq\f（1，a3)＝3×(9－3）＝18.20．解：将x＝2代入方程4x·a－（8＋eq\r(2））·2x＋4eq\r（2）＝0，得42·a－(8＋eq\r(2)）·22＋4eq\r(2）＝0，解得a＝2。当a＝2时,原方程为4x·2－(8＋eq\r（2))·2x＋4eq\r(2）＝0，将此方程变形为2·（2x）2－（8＋eq\r(2））·2x＋4eq\r（2)＝0。令y＝2x，得2y2－（8＋eq\r（2））y＋4eq\r（2)＝0。从中解得y＝4或y＝eq\f(\r（2），2）.当y＝4时，x＝2；当y＝eq\f(\r(2），2)时，x＝－eq\f（1，2)。∴a＝2,方程的另一个根为－eq\f（1,2）.21．解：原式＝eq\f(2c,3a)·eq\r（4，\f（34a5b2，24c4））＝eq\f（2c，3a)·eq\f（3·|a|,2|c｜)·eq\r（ab2）＝－eq\r(ab2）.拓展探究22．解:设eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))＝x，则2＋eq\r(2＋\r(2＋\r（2＋…)）)＝x2，即2＋x＝x2,∴x2－x－2＝0.∴x＝2或x＝－1(舍去）．∴eq\r（2＋\r(2＋\r(2＋…))）＝2。23．解：∵x＝eq\f(1，2）（5eq\f（1,n）－5－eq\f(1，n）),∴eq\r（1＋x2）＝eq\r(1＋