专题05 勾股定理的实际应用模型（原卷版）

专题05勾股定理的实际应用模型勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。模型1、梯子滑动模型相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。例1．（2023秋·四川成都·八年级校考期中）如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m。（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？例2．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（

）A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了厘米．

例4．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？模型2、轮船航行模型相关模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。航行模型解题步骤：1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。例1．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是nmile．例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．(1)求的度数；(2)求乙船航行多少小时被甲船追上．

模型3、信号站（中转站）选择模型相关模型背景：信号塔、中转站等。解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。信号塔、中转站模型解题步骤：1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；3）根据斜边长相等建立方程求解。例1．（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．

例2．（2023·广东汕尾·八年级校考期中）如图，在一棵树（）的高处（）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（）的池塘，而另一只则爬到树顶（）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定模型4、台风（噪音）、爆破模型相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。台风、爆破模型解题步骤：1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。例1．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：．例2．（2023·重庆·八年级专题练习）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．(1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间例3．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为秒．例4．（2023春·湖南八年级期中）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？模型5、超速模型相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。超速模型解题步骤：1）根据勾股定理计算行驶的距离；2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；3）比较实际行驶速度和规定速度。例1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．

例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？例3．（2023秋·湖南邵阳·八年级武冈市第二中学校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？模型6、风吹莲动模型相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。解题关键：“莲花”高度为不变量。风吹莲动模型解题步骤：1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．

A．10 B．12 C．13 D．14例2．（2023春·重庆渝北·八年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（

）．

A．B．C．D．例3．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（

）

A．7 B．15 C．16 D．17模型7、折竹抵地模型相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。解题关键：“竹子”高度为不变量。折竹抵地模型解题步骤：1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。例1．（2023春·山东德州·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．

例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（

）米．A．7 B．8 C． D．模型8、不规则图形面积模型相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。面积模型解题步骤：1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。例1．（2022·四川广元·八年级期末）如图，四边形是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知．求四边形的面积．例2．（2022·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，．(1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______．例3．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．课后专项训练1．（2023·重庆·八年级校考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（

）

A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm4．（2023春·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(

)

A． B． C． D．5．（2023·广西贺州·八年级统考期中）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（

）．

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米6．（2022·广东中山·八年级校考期中）如图，有一个长方体池子，底面是边长为丈（1丈＝10尺）的正方形，中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长尺．

7．（2023·四川巴中·八年级统考期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米．8．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为m．9．（2023·浙江·八年级假期作业）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距？10．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图所示，一架长为米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙角处米，如果梯子顶端沿墙下滑米，梯子的底端沿水平方向滑动米．

11．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为海里．

12．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为m．13．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为米．

14．（2023春·四川南充·八年级校考期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是．

15．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为akm/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是。16．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．

17．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，方格中每个小正方形的边长都为1．(1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上．18．（2023秋·广东·八年级专题练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．(1)求的长，(2)求门槛的长．19．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．

20．（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自A处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，，若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？

21．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高米；(1)求风筝的垂直高度．(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？22．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．23．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．24．（2023·陕西西安·八年级统考期末）如图，公路AB和公路CD在点P处交汇，点E处有一所学校，EP＝160米，点E到公路AB的距高EF＝80米，假若拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路AB上沿方向行驶时，学校是否受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？25．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？

25．（2023·山西太原·八年级统考期中）根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50米、34米，M距公路l的距离（即MN的长）为30米．现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒，通过计算判断此车是否超速．26．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？27．（2023秋·四川·八年级校考阶段练习）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离