专题05 圆中的重要模型-圆中的翻折模型（解析版）

专题05圆中的重要模型-圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（

）A． B．9 C． D．【答案】C【分析】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，根据四边形内接于，有，根据根据折叠的性质有：，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，如图，∵四边形内接于，∴，∵点D在上的对应点为点E，∴根据折叠的性质有：，∵，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∵，，∴，∵，∴，∵，∴是直角三角形，∵，∴在中，，∵在中，，∴，∴，（负值舍去），故选：C．【点睛】本题考查圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到，是解答本题关键．例2．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，与相交于点D．若，则．【答案】【分析】如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为，连接，，由题意得到，进而求得，再根据圆内接四边形对角互补得到，继而求得的大小即可求得答案．【详解】解：如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为，连接，．则，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，翻折变换等知识，正确作出辅助线、熟练运用相关知识是解题的关键．例3．（2023·山东济宁·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠交直径于圆心O，则度．

【答案】120【分析】过O点作交于D，交于E，连接，．根据折叠可得，，根据三角形中位线定理可得，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．【详解】解：过O点作交于D，交于E，连接，．

由折叠可得：，，则为的中位线，∵是直径，∴，，则，又∵，∴是等边三角形，∴，∴．故答案为：120．【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，构造辅助线是是解决问题的关键．例4．（2023春·广西·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积．【答案】【分析】如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，可求出的半径，由对称性可知，，，连接，根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，为的直径，，，，∵，，垂足为，设的半径为，则，∴，解得：或（舍去），，即的半径是，连接，则，，过点作于点，∴，∴，即，即图中阴影部分的面积是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，折叠知识的综合，理解圆的基础知识，直角三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关键．例5．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，连接OC，BC．证明△OBC是等边三角形，利用分割法求解即可．【详解】解：如图，连接OC，BC．可得OB=OC=4，∵∠CAO=∠CAB，∴，∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°，∵，∴∠COD=60°，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；∴，由折叠得：，∴；故③正确；延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．例7．（2022秋·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝，在Rt△ACH中，AC＝，∴．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．例8．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为．【答案】【分析】过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】解：过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，，∵，∴，在中，根据勾股定理可得：，根据折叠可知，，∴，∵是弧的切线，∴，∴，，在中，根据勾股定理可得：，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，解题的关键是找出使最大时，点P的位置．例9．（2023·浙江温州·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长；②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为【答案】（1）证明见解析；（2）①；②9.【分析】（1）连接OC交AE于M，由DC与⊙C相切于点C可得∠OCD＝90°，又因为AB是⊙O的直径，所以∠CDB＝90°，易得OC⊥AE，可证弧AC=弧CE（2）①由（1）易得四边形CMED是矩形，所以CD＝ME＝AM＝AE＝6，由勾股定理求出BD的长，由cos∠DBC=cos∠CAM可求出AC的长，即可求出答案②由勾股定理可求出BE的长，由折叠知BF＝BE，根据AF＝AB﹣BF即可求出答案【详解】解：（1）如图1，连接OC交AE于M，∵DC与⊙C相切于点C，∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠CDB＝90°，∴CD∥AE，∴OC⊥AE，∴弧AC=弧CE；（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，∴四边形CMED是矩形，∴CD＝ME＝AM＝AE＝6，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝8，∴cos∠DBC＝，∵∠CAM＝∠DBC，∴cos∠CAM＝＝，∴AC＝，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝；②如图2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝连接EF，∵弧AC=弧CE，∴∠ABC＝∠DBC，由折叠知，BF＝BE，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝9，故答案为9．【点睛】此题主要考查圆的综合运用课后专项训练1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案．【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图，∵C为折叠后的中点，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴，在中，,∴，∵沿折叠得到，，∴点C和点D关于对称，∴，∴，故选C【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O′，则⊙O与⊙O′设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得AB＝AD，过A作AM⊥BC于M，则M为BD的中点，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的长度，由于D是BC中点，可以证明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的长度，连接OA，OB，由于△AOB是顶角为120°的等腰三角形，过O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB＝3OA，由此圆O半径可求．【详解】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D，∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，连接OA，OB，同理，∠AOB＝120°，∴∠AOB＝∠AO′D，∵⊙O与⊙O′是等圆，∴AB＝AD，设⊙O的半径为R，过O作OG⊥AB于G，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，∴OG＝OA＝R，∴AG＝＝R，∴AB＝2AG＝R，如图2，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x，∵D为BC的中点，∴CD＝BD＝2x，∴MC＝DM+CD＝3x，∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，∴∠MAC＝30°，在Rt△AMC中，MC＝AC＝3，∴3x＝3，∴x＝1，∴AM＝＝3，BM＝x＝1，在Rt△ABM中，AB＝＝2，∵AB＝R，∴R＝，故⊙O的半径长为，故选：A．【点睛】本题是圆的一道综合题型，考查圆中的折叠变换，注意等圆中的公共角，公共弦、公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系是解决本题的关键．3．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先证明是等边三角形，得到，再根据折叠的性质推出，根据内心的性质得到，，过点作，则OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，由折叠知：，，∴，，∴，∵圆是的外接圆，∴点是的内心，∴OB平分，OC平分，∴，，过点作，则OH平分BC．则：，在中：，由勾股定理得：，即，解得：，（舍），∴．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．4．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，为直径，点为图上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据所对的圆周角为，所对的圆周角为，可得，结合即可得出结论．【详解】解：∵是直径，∴，∵，∴，根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折的性质以及圆周角定理的应用，掌握圆周角定理及翻折的性质是解题的关键．5．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠，点，分别是两条弧的中点，与的度数之比为，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与的度数之比为，点C，D分别是两条弧的中点，可知的度数，进一步可知优弧的度数，根据圆周角定理可得的度数．【详解】解：∵与的度数之比为，点C，D分别是两条弧的中点，∴的度数为，根据折叠，优弧的度数为，∴，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上的点E处，若，则（

）

A．40° B．50° C．55° D．65°【答案】B【分析】首先连接，由折叠的性质可得：，结合已知，由三角形内角和定理得出的度数，再由同弧上圆周角相等求得的度数．【详解】连接，如图所示：由折叠的性质可得：，∴，∵（同弧所对的圆周角相等）∴．故选B．

【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，注意数形结合思想的应用．7．（2023·湖北黄石·校联考模拟预测）如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，求出，根据圆周角定理求出，证明为等边三角形，得出，根据，得出，根据勾股定理求出，，根据，求出结果即可．【详解】解：连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，如图所示：

则，∵劣弧沿弦翻折恰好经过点O，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，且由翻折而成，∴∴，∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，证明为等边三角形．8．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（）A．1 B．1.25 C．1.5 D．2【答案】B【分析】连接再利用轴对称的性质求解设的圆心为,则与关于对称，求解从而可得答案.【详解】解：连接为圆的直径，点C为的中点，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，是的垂直平分线，D、E关于AB对称，垂直平分设的圆心为,则与关于对称，连接则在上，而的周长为10，的半径为：的长为：故选B【点睛】本题考查的是轴对称的性质，圆的基本性质，圆周角定理，弧长的计算，熟练的运用轴对称的性质得出是解本题的关键.9．（2023·浙江温州·九年级统考期末）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（）A．5 B．2 C．2 D．+1【答案】B【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可．【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图，∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，∴为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为∠ABC，∴，∴AC＝CD＝DE，∴AF＝DF＝2，在Rt△OCF中，CF＝＝4，在Rt△CDF中，CD＝＝，．故选：B．【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系是解题的关键．10．（2023·浙江宁波·九年级统考期末）如图，是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，取，，，那么由线段、和弧所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（

）A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2【答案】C【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，连接CO，根据折叠的性质得到OE＝OF，根据直角三角形的性质求出∠CAB，再得到∠COB，再分别求出S△ACO与S扇形BCO即可求解.．【详解】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，由折叠的性质可知，EF＝OE＝OF，∴OE＝OA，在Rt△AOE中，OE＝OA，∴∠CAB＝30°，连接CO，故∠BOC=60°∵∴r=2，OE=1,AC=2AE=2×=2∴线段、和弧所围成的曲边三角形的面积为S△ACO+S扇形BCO===≈3.8故选C.【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，扇形的面积求解，解题的关键是熟知折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．【答案】【分析】根据折叠的性质得出，，结合圆周角定理可得出进而推出正确；假设，推出是等边三角形，进而推出，为定值，这与是变角相矛盾；作于M，并延长交于G，连接FM、OC、AF，先根据垂径定理求出OM的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出FM长，最后根据三角形三边关系得出，则可解决问题．【详解】解：折叠得到，，，又在中，和所对的弦分别是AB和AE，又，，在中，，，故正确；由可得，假设，，，∴是等边三角形，，，是定值，而B是动点，A、C两点固定，则是变化的，两者矛盾，故错误；如图，作于M，并延长交于G，连接FM、OC、AF，，，由得，F为ED的中点，，，，当O、F、M三点共线时，OF最小，这时OF=1，故错误；综上所述，正确的是．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及图形的翻着的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上性质，灵活运用是解题的关键．12．（2023·河南周口·统考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为．

【答案】8【分析】由图可知，当时，，此时，，点与点重合，由此即可解题．【详解】解：由图可知，当时，，此时，，点与点重合，如图，

取的中点，连接、，，根据对称性，得，，，是等边三角形，，，为直径，，在中，，，，长为．故答案为：．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、圆周角定理及含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据图2得到时，点与点重合，此题难度一般．13．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为；折痕的长为．【答案】60°/60度【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N∵将沿弦折叠∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．∴ME⊥OA，MF⊥OB∴∵∴四边形MEOF中即的度数为60°；∵，∴（HL）∴∴∴∵MO⊥DC∴∴故答案为：60°；【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．14．（2023·广西·统考一模）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E．若∠OCD＝45°，OC＝+1，则扇形AOB的半径长是．【答案】2+【分析】作关于的对称点，连接、，则为扇形的半径，由折叠的性质得：，，得出是等腰直角三角形，得出，，，由切线的性质得出，得出，由三角函数即可得出结果．【详解】解：作关于的对称点，连接、，如图1所示：则为扇形的半径，由折叠的性质得：，，，是等腰直角三角形，，，，折叠后的图形恰好与半径相切于点，，，，如图2所示：；故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质，证出是等腰直角三角形是解题的关键．15．（2023·河北·九年级校联考专题练习）已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，连接AC，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．（1）如图1，当经过圆心O时，求的长．（2）如图2，当与AB相切于A时．①画出所在的圆的圆心P．②求出阴影部分弓形的面积．

【答案】（1）的长=；（2）①P点为所求，见解析；②S阴=π-2．【分析】（1）只要证明△EAO是等边三角形即可解决问题；（2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2；②只要证明四边形AOCP是正方形即可解决问题；【详解】（1）作半径OE⊥AC于F，连接AE，如图1，∵沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，∴OF=OE=OF，∵OE⊥AC，∴AE=AO，∵OA=OE，∴AE=AO=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AEO=60°，∴的长=．（2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2，

②连接PC、OC，∵AP=OA=OC=PC=2，∴四边形PAOC为菱形，而∠PAO=90°，∴四边形PAOC为正方形，∴S阴=×2×2=π-2．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质.16．（2023·江苏徐州·九年级阶段练习）小明在研究由矩形纸片折叠等边三角形之后，经过探究，他用圆形纸片也折叠出了等边三角形，以下是他的折叠过程：第一步：将圆形纸片沿直径AM对折，然后打开；第二步：将纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，然后打开，连接AB、AC．（1）在图③中BC与IM的位置关系是；（2）小明折叠出的△ABC是等边三角形吗？请你说明理由．【答案】（1）互相垂直平分；（2）△ABC为等边三角形．【详解】试题分析：（1）利用折叠的性质易得IM垂直平分BC，BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；（2）连结IB、BM、MC，如图，由BC和IM互相垂直平分可判断四边形BMCI为菱形，易得△IBM和△TMC为等边三角形，则∠BIM=∠CIM=60°，然后根据圆周角定理得到∠BAC=∠BIC=60°，加上AB=AC，于是可判断△ABC为等边三角形．解：（1）∵圆形纸片沿直径AM对折，∴IM垂直平分BC，∵纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，∴BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；故答案为互相垂直平分；（2）△ABC为等边三角形．理由如下：连结IB、BM、MC，如图，∵BC和IM互相垂直平分，∴四边形BMCI为菱形，∴IB=BM=MC=IC，∴IB=BM=MC=IC=IM，∴△IBM和△TMC为等边三角形，∴∠BIM=∠CIM=60°，∴∠BAC=∠BIC=60°，而AM垂直平分BC，∴AB=AC，∴△ABC为等边三角形．考点：翻折变换（折叠问题）．17．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，．(1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，，根据圆周角定理可知，，可得，