2024-2025学年福建省福州市台江区华伦中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2024-2025学年福建省福州市台江区华伦中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定2．（4分）已知方程x2+mx+2＝0的一个根是1，则m的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣33．（4分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣44．（4分）如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，BD交于点P，连接AD，BC，则图中一定等于∠C的角是（）A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D5．（4分）若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m≤1 C．m＜1 D．m≠16．（4分）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm（）A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，线段CC'的长为（）A． B．1 C． D．28．（4分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感．即雕像的上部（腰以上）（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身），如果雕像高3m，设雕像的下部高为xm（）A．x2＝3x（3﹣x） B．x2＝3（3﹣x） C．3x＝x（3﹣x） D．x2＝3（3+x）9．（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，它的监控角度是72°，为了观察到展厅的每个位置（）A．5台 B．4台 C．3台 D．2台10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（）A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为．12．（4分）如图，两条直线被三条平行线所截．若AB：BC＝2：3，DE＝4．13．（4分）如图，在圆O中，弦AB＝8（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，垂足分别是点D、E，则DE＝．14．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，m），B（3，m）两点，则的值为．15．（4分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且∠B+∠E＝155°．16．（4分）如图，AC，BC是⊙O的两条弦的中点，作MF⊥AC，若BC＝，AC＝3．三、解答题。（共9题，共86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．18．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，BE＝4，求CD的长．19．（8分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是，连接AE，DE20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B（1）点M的坐标是；（2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点B的对应点点D恰好落在BC边上．（1）尺规作图：作出△ADE；（2）求证：CE＝2BD．22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB（1）求证：EF为⊙O的切线．（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．23．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0．（1）若b＝4且一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0有相同实数根，求m的值；（2）若b2＝﹣5m+2，证明：一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0至少一个方程有实数根．24．（12分）综合与实践小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，BC，CD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°又∵∠B＝∠D，∴，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是；【拓展延伸】（2）如图3，在Rt△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ANM，连接BM、AD．小明发现，在旋转过程中，不会发生改变．①根据∠CDB＝45°，利用四点共圆的思想，试证明ND＝DB；②在（1）的条件下，当△BDM为直角三角形，直接写出BC的长．25．（14分）如图，抛物线y＝x2+mx+n经过（0，﹣3），（2，﹣3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为第四象限抛物线上一动点，点C横坐标为t，直线AC与y交于点D①如图1，若∠ACB＝90°时，求t的值；②如图2，直线BD与抛物线交于点E，连接AE．问：，请求出这个定值：若不是，请说明理由．

2024-2025学年福建省福州市台江区华伦中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点P在圆内．故选：A．2．（4分）已知方程x2+mx+2＝0的一个根是1，则m的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣3．故选：D．3．（4分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移3个单位y＝（x﹣3）2+2．故选：A．4．（4分）如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，BD交于点P，连接AD，BC，则图中一定等于∠C的角是（）A．∠CAD B．∠CBD C．∠ABD D．∠D【解答】解：∵＝，∴∠D＝∠C，故选：D．5．（4分）若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m≤1 C．m＜1 D．m≠1【解答】解：∵关于x的方程（x+5）2＝m﹣5没有实数根，∴m﹣1＜0，解得m＜5，所以m的取值范围是m＜1．故选：C．6．（4分）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm（）A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，如图所示：∵AB＝24cm，∴BD＝AB＝12（cm），∵OB＝OC＝13cm，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝4（cm），即水的最大深度为8cm，故选：B．7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，线段CC'的长为（）A． B．1 C． D．2【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝2，∠CAC'＝60°，∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，∴AC'＝AC＝2，∴△CAC'为等边三角形，∴CC'＝AC＝7，故选：D．8．（4分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感．即雕像的上部（腰以上）（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身），如果雕像高3m，设雕像的下部高为xm（）A．x2＝3x（3﹣x） B．x2＝3（3﹣x） C．3x＝x（3﹣x） D．x2＝3（3+x）【解答】解：设雕像下部高为xm，则雕像上部高为（3﹣x）m，根据题意得：x2＝6（3﹣x）．故选：B．9．（4分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，它的监控角度是72°，为了观察到展厅的每个位置（）A．5台 B．4台 C．3台 D．2台【解答】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：72×2＝144°，∵360÷144＝2.5，∴至少需要3台．故选：C．10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（）A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+a（a≠8），∴二次函数开口向上，且对称轴为直线x＝，顶点坐标为（a2），当a＞0时，0＜，∴a﹣a2＜y1＜a，当a＜8时，a＜，∴a﹣a2＜y4＜a，故A、B错误；当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，a）和点（2a，在对称轴右侧，所以当x＝3a时，y2＞a＞0；当a＜6时，3a＜2a＜a＜3，a）和点（2a，在对称轴左侧，所以当x＝3a时y4＞a，可能大于0也可能小于0，故C正确，符合题意，不符合题意；故选：C．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，2）．【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（1，2）．故答案为：（﹣3，2）．12．（4分）如图，两条直线被三条平行线所截．若AB：BC＝2：3，DE＝46．【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，∴AB：BC＝DE：EF，∵AB：BC＝2：3，DE＝2，∴4：EF＝2：4，∴EF＝6．故答案为：6．13．（4分）如图，在圆O中，弦AB＝8（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，垂足分别是点D、E，则DE＝4．【解答】解：∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝2，∴DE＝4，故答案为：4．14．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，m），B（3，m）两点，则的值为﹣4．【解答】解：依题意，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，m），m）两点，m），m）两点的纵坐标相等，所以A（4，m）与B（3对称，即，所以，故答案为：﹣4．15．（4分）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且∠B+∠E＝155°50°．【解答】解：连接BC，OC，如图：∵点A、B、C、D、E在⊙O上，∴∠ABC+∠E＝180°，∵∠ABD+∠E＝155°，∴∠ABC﹣∠ABD＝25°，即∠DBC＝25°，∵∠COD＝2∠CBD，∴∠COD＝50°，即CD所对的圆心角为50°；故答案为：50°．16．（4分）如图，AC，BC是⊙O的两条弦的中点，作MF⊥AC，若BC＝，AC＝3．【解答】解：如图，作直径MH，作HJ⊥AC于J，AK，设AC交HM于T．∵＝，HM是直径，∴HM⊥AB，∵MF⊥AC，∴∠ART＝∠MFT＝90°，∵∠MTF＝∠ATR，∴∠CAB＝∠FMT，∴＝，∴BC＝KH＝，∵MH是直径，∴∠MKH＝90°，∴∠MKH＝∠MFT，∴AC∥KH，∴∠CAK＝∠AKH，∴＝，∴AH＝CK，∵∠HJA＝∠KFC＝90°，HJ＝FK，∴Rt△HJA≌Rt△KFC（HL），∴AJ＝CF，∵四边形KHJF是矩形，∴KH＝FJ＝，∴AJ＝（AC﹣FJ）＝），∴AF＝AJ+FJ＝．解法二：连接AM，BM，在AC上截取AG．∵＝，∴AM＝BM．∵∠A＝∠B，AG＝BC，∴△AGM≌△BCM（SAS），∴MG＝CM，AG＝BC＝，∴CG＝AC﹣AG＝5﹣，∵MG＝MC，MF⊥CG，∴GF＝FC＝，∴AF＝AG+FG＝故答案为：．三、解答题。（共9题，共86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【解答】解：x2﹣2x﹣15＝7，（x+3）（x﹣5）＝8，∴x+3＝0或x﹣7＝0，∴x1＝﹣7，x2＝5．18．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，BE＝4，求CD的长．【解答】解：∵D为AE中点，∴AE＝2AD，∴＝2，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠B＝∠C，BE＝7，∴△BAE∽△CAD，∴＝＝2，∴BE＝2CD＝8，∴CD＝2，∴CD的长为2．19．（8分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是，连接AE，DE【解答】证明：连接BE，∵E是的中点，∴＝，∴CE＝BE，∠EBC＝∠ECB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠EBC＝∠DCB+∠ECB，∴∠ABE＝∠DCE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE＝DE．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B（1）点M的坐标是（3，2）；（2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）连接AB，BC，BC的垂直平分线交于点M，以AM为半径的圆为所求根据网格的特征可得：点M的坐标为（3，2），故答案为：（2，2）．（2）⊙M于y轴相交，理由如下：由勾股定理得：MA＝＝，即⊙M的半径为r＝，∵⊙M的圆心M的坐标为（2，2），∴点M到y轴的距离d＝3，∵d＜r，∴⊙M于y轴相交．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点B的对应点点D恰好落在BC边上．（1）尺规作图：作出△ADE；（2）求证：CE＝2BD．【解答】（1）解：如图：△ADE即为所求．（2）证明：如图：连接CE，∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，∠B和∠ACE是对应角，∴∠B＝∠ACE，由（1）可知：∠CAE＝∠BAD，∴△ABD∽△ACE，∴，即CE＝2BD．22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB（1）求证：EF为⊙O的切线．（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，又∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠BCD，∴∠OEC＝∠B，∴AB∥OE，又∵EF⊥AB，∴EF⊥OE，又∵OE是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切；（2）解：连接DE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴DE∥AC，∵CD是斜边AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∵CD为斜边中线，CD＝6，∴AB＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝8，∴BE＝＝5，∵∠B＝∠B，∠BFE＝∠BCA，∴△BEF∽△BAC，∴，∴，∴EF＝3.4．23．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0．（1）若b＝4且一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0有相同实数根，求m的值；（2）若b2＝﹣5m+2，证明：一元二次方程x2﹣2x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝0至少一个方程有实数根．【解答】（1）解：∵b＝4且一元二次方程x2﹣6x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝6有相同实数根，∴可设相同实数根为x＝p，得到p2﹣2p+m＝8，①p2﹣4p﹣m＝3，②①﹣②得：2p+2m＝5，解得p＝﹣m，将p＝﹣m代入①，得m2+2m+m＝7，解得m＝0，或m＝﹣3，即m的值为2或﹣3；（2）证明：（反证法）∵b2＝﹣3m+2≥0，∴m≤，假定当b2＝﹣8m+2时，一元二次方程x2﹣3x+m＝0与x2﹣bx﹣m＝3都没有实数根，则Δ1＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣2m＜0，③Δ2＝（﹣5m+2）+4m＝﹣m+2＜0，④解③得：m＞1，解④得：m＞4，∴m＞2，这与m≤矛盾，故假设不成立，∴一元二次方程x2﹣2x+m＝8与x2﹣bx﹣m＝0至少一个方程有实数根．24．（12分）综合与实践小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，BC，CD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°又∵∠B＝∠D，∴∠AEC+∠B＝180°，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是∠AEC+∠B＝180°；【拓展延伸】（2）如图3，在Rt△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ANM，连接BM、AD．小明发现，在旋转过程中，不会发生改变．①根据∠CDB＝45°，利用四点共圆的思想，试证明ND＝DB；②在（1）的条件下，当△BDM为直角三角形，直接写出BC的长．【解答】（1）解：如图2，作经过点A，C，在劣弧AC上取一点E（不与A，连接AE，则∠AEC+∠D＝180°，又∵∠B＝∠D，∴∠AEC+∠B＝180°，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），∴点B，D在点A，C，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，故答案为：∠AEC+∠B＝180°；（2）①证明：∵在Rt△ACB中，AC＝BC，∴∠BAC＝45°，∵∠CDB＝45°，∴∠CDB＝∠BAC＝45°，∴A，C，B，D四点共圆，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BN，∵△ACB旋转得△AMN，∴△ACB≌△AMN，∴AB＝AN，∵AD⊥BN，∴ND＝DB；②如图4，当∠BMD＝90°时，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴，∵，∠NAB＝MAC，∴△NAB∽△MAC，∴，∵BN＝8，∴，又∵∠CDB＝45°，∠DMB＝90°，，∴，∴；如图5，当∠DBM＝