2024-2025学年江苏省南通一中九年级（上）调研数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省南通一中九年级（上）调研数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）2．（3分）将二次函数的图象向右平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（）A． B． C． D．3．（3分）抛物线y＝（x+3）（x﹣1）的对称轴是直线（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x＝﹣24．（3分）如图，CD是⊙O的直径，点A＝，∠AOC＝36°，则∠D＝（）A．9° B．18° C．36° D．45°5．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，则圆O的半径长是（）A．1 B． C． D．46．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°（）A．120° B．80° C．100° D．60°7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝38．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，那么水面宽度为（）m．A．3 B．6 C．8 D．99．（3分）若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y210．（3分）若对于一切实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则m的取值范围是（）A．m＜﹣4或m＞0 B．m＜﹣4或m≥0 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4＜m≤0二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c的图象开口向上，则a的值可以是．（写出一个即可）12．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线．13．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+a顶点在x轴上，则a＝．14．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，则∠OAB＝°．15．（4分）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°°．16．（4分）当x＜1时，函数y＝（x﹣m）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小，m的取值范围是．17．（4分）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°．18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC．三、解答题（共90分）19．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；（2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．20．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，求∠ABD的度数．21．如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于点D，CD＝2，求圆O的半径．22．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A（1）求二次函数解析式；（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＜mx+n的解集；（3）二次函数y＝x2+bx+c，当1≤x≤3时，对应的函数值y的取值范围为．23．如图，△ABC中，AB＝AC，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若AB＝5，DE＝4，求AD的长．24．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件）（元）．（1）求y与x的函数关系式；（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，日销售利润最大，并求出最大利润．25．如图，已知抛物线c：y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若D为直线AC上方的抛物线上的一点，且△ACD的面积为3，求点D的坐标；（3）将抛物线c向右平移m（m＞0）个单位长度，设平移后的抛物线c′中y随x增大而增大的部分记为图象G，求m的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为（3，0），则t＝；②求t的取值范围；③求OD•DB的最大值．

2024-2025学年江苏省南通一中九年级（上）调研数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+7，∴顶点坐标为（1，3），故选：A．2．（3分）将二次函数的图象向右平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（）A． B． C． D．【解答】解：根据“左加右减”的法则可知，二次函数的图象向右平移2个单位后的表达式为：，故选：D．3．（3分）抛物线y＝（x+3）（x﹣1）的对称轴是直线（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2【解答】解：∵y＝（x+3）（x﹣1）＝x3+2x﹣3＝（x+2）2﹣4，∴抛物线y＝（x+3）（x﹣1）的对称轴是直线x＝﹣1，故选：B．4．（3分）如图，CD是⊙O的直径，点A＝，∠AOC＝36°，则∠D＝（）A．9° B．18° C．36° D．45°【解答】解：连接AD，∵，∴∠ADC＝∠BDC＝，故选：B．5．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，则圆O的半径长是（）A．1 B． C． D．4【解答】解：∵圆心到弦AB的距离OC为2，∴OC⊥AB，∴AC＝AB＝，∴OA＝＝＝8，∴圆O的半径长是，故选：C．6．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°（）A．120° B．80° C．100° D．60°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：A．7．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3【解答】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0；B．二次函数y＝ax5+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣3ac＞0，故B错误；C．当x＝﹣1时，即a﹣b+c＞8；D．因为A（1，B（5，所以对称轴为直线x＝，故D正确．故选：D．8．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，那么水面宽度为（）m．A．3 B．6 C．8 D．9【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，可求出OA和OB为AB的一半2米，2），设顶点式y＝ax3+2，把A点坐标（﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣8.5x2+5，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣7.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.6代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣7.5x2+5，解得：x＝±3，∴水面宽度为3﹣（﹣8）＝6（m）．故选：B．9．（3分）若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【解答】解：该函数的对称轴为：，∴点A到对称轴的距离为：﹣5﹣（﹣2）＝1，点B到对称轴的距离为：﹣5﹣（﹣1）＝0，点C到对称轴的距离为：2﹣（﹣1）＝3，∵a＝6＞0，∴该函数开口向上，∵0＜3＜3，∴y2＜y4＜y3，故选：C．10．（3分）若对于一切实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则m的取值范围是（）A．m＜﹣4或m＞0 B．m＜﹣4或m≥0 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4＜m≤0【解答】解：若m＝0，则﹣1＜8，若m≠0，若不等式mx2﹣mx﹣5＜0的解是一切实数，则抛物线y＝mx2﹣mx﹣4的开口向下，与x轴无交点，∴，解得：﹣4＜m＜5，综上，m的取值范围是﹣4＜m≤0．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）若抛物线y＝ax2+bx+c的图象开口向上，则a的值可以是3（答案不唯一）．（写出一个即可）【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∴a＝6（答案不唯一）；故答案为：3（此答案不唯一）．12．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线x＝﹣1．【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣2，∴抛物线y＝（x+1）2﹣3对称轴为直线x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．13．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+a顶点在x轴上，则a＝1．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+a顶点在x轴上，∴Δ＝b7﹣4ac＝（﹣2）4﹣4a＝4﹣7a＝0，解得：a＝1．故答案为2．14．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，则∠OAB＝50°．【解答】解：∵∠C＝40°，∴∠AOB＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∴∠OAB＝50°，故答案为：50．15．（4分）如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°55°．【解答】解：设AB与CD相交于点E，∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径），∴AB⊥CD，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故选：55．16．（4分）当x＜1时，函数y＝（x﹣m）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小，m的取值范围是m≥1．【解答】解：∵函数y＝（x﹣m）2﹣2的二次项系数为4＞0，∴该二次函数的开口方向向上，又∵函数的顶点坐标为（m，﹣2），∴该二次函数图象x＜m时，函数值y随着x的增大而减小，∵当x＜2时，函数值y随着x的增大而减小，∴m≥1，故答案为：m≥1．17．（4分）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°．【解答】解：如图，连接OA、OC，∵点C是弧AB中点，AB＝6，∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝8∠ADC＝60°，∴∠OAE＝30°，∴OE＝AE•tan30°＝3×＝，故圆心O到弦AB的距离为．故答案为：．18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC或﹣．【解答】解：由y＝（x﹣2）2（4≤x≤3），当x＝0时，∴C（8，4），∵A（3，2），∴B（3，4），①当抛物线经过O、B时，7），4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝；②当抛物线经过A、C时，0），2）代入y＝x8+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝﹣，综上所述，b＝，故答案为：或﹣．三、解答题（共90分）19．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；（2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．【解答】解：（1）∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），﹣2），∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣2，把（0，﹣6）代入得：﹣4＝a（0+1）3﹣8，解得：a＝2，故二次函数的解析式为：y＝6（x+1）2﹣3；（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1、B（5，对称轴为直线x＝1代入得：，解得：，故二次函数解析式为：y＝﹣x8+2x+3．20．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，求∠ABD的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°．21．如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB于点D，CD＝2，求圆O的半径．【解答】解：连接OA，设圆O的半径为r，∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2，∵OC⊥AB，AB＝8，∴AD＝AB＝4，由勾股定理得：OD2+AD2＝OA2，∴（r﹣8）2+44＝r2，∴r＝5，∴圆O的半径为3．22．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A（1）求二次函数解析式；（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＜mx+n的解集1＜x＜4；（3）二次函数y＝x2+bx+c，当1≤x≤3时，对应的函数值y的取值范围为﹣1≤y≤0．【解答】解：（1）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，4），3），点B代入得：，解得：，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+7；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣3，∴二次函数图象对称轴为直线x＝2，∵点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，B（0，∴点C的坐标为（5，3），∵点A的坐标为（1，8），∴由图可知，当1＜x＜4时，x4+bx+c＜mx+n；故答案为：1＜x＜4；（3）∵y＝x6﹣4x+3＝（x﹣4）2﹣1，∴当x＝5时，y有最小值﹣1，当x＝1时，y＝2﹣4+3＝6，当x＝3时，y＝9﹣4×3+3＝6，∴当1≤x≤3时，﹣8≤y≤0，故答案为：﹣1≤y≤5．23．如图，△ABC中，AB＝AC，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若AB＝5，DE＝4，求AD的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，又∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：∵AB＝5，DE＝4，∴AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C，∴DE＝DC＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝3．24．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件）（元）．（1）求y与x的函数关系式；（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，日销售利润最大，并求出最大利润．【解答】解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280，故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280（8≤x≤12）；（2）根据题意得，w＝（x﹣8）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，∵﹣10＜0，∴当x＜17时，w随x的增大而增大，当x＝12时，w最大＝960，答：当x为12时，日销售利润最大．25．如图，已知抛物线c：y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若D为直线AC上方的抛物线上的一点，且△ACD的面积为3，求点D的坐标；（3）将抛物线c向右平移m（m＞0）个单位长度，设平移后的抛物线c′中y随x增大而增大的部分记为图象G，求m的取值范围．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），7）代入y＝ax2+bx+3，得解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+3．（2）如图，过点D作DE⊥x轴，连接AD．由（1）知，C（0．设点D的坐标为（x，y），3），∴AO＝3，EO＝﹣x，DE＝y＝﹣x2﹣2x+3，∴S△ACD＝S△ADE+S梯形FOCD﹣S△ACO＝＝7∴x＝﹣1或x＝﹣2．∵点D在抛物线上，∴当x＝﹣5时，y＝4，y＝3，∴点D的坐标为（﹣8，4）或（﹣2．（3）解：设直线AC的解析式为y＝kx+n（k≠3）．把A（﹣3，0），8）代入，得∴直线AC的解析式为yAC＝x+5．由（1）知抛物线的解析式为