专题28.2三角函数的综合应用（专项拔高卷）教师版

20232024学年人教版数学九年级下册同步专题热点难点专项练习专题28.2三角函数的综合应用（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：中等一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2023秋·九年级课前预习）如图，菱形的对角线，，，则下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理计算出的长，然后根据锐角三角函数定义分别进行计算可得答案．【详解】

在菱形中，有，，，∵，，∴，，∴，∴，，，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质及锐角三角函数的定义与计算．2．（2023春·九年级课时练习）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（

）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得，，再根据可得是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解．【详解】解：连接，交于点M，连接，∵六边形是的内接正六边形，∴，，∴，∵经过圆心O，∴，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵在中，，，，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．3．（2022春·九年级单元测试）在中，，那么下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦、余切和正切的定义对各选项进行判断．【详解】解：中，∵，∴，∴，，，．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦、余切和正切的定义是解决问题的关键．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝mm，则这个正六边形的面积为（）A．mm2 B．mm2 C．mm2 D．mm2【答案】C【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．【详解】解：如图：作BD⊥AC于D，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∴△ABC是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，∵AC＝10mm，BD⊥AC，∴CD＝5mm，∵cos∠BCD＝，∴，解得a＝10，∴这个正六边形的面积6××10×5＝150（mm2），故选：C【点睛】此题考查了正多边形和圆，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键．5．（2023秋·九年级课时练习）在中，，若的三边都扩大3倍，则的值（）A．放大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意可知变化后的三角形与原三角形相似即可解答．【详解】解：在中，，的三边都扩大3倍，变化后的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应角相等，的大小没有发生变化，的值不变．故选：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及相似三角形的性质．根据题意得到变化后的三角形与原三角形相似是解题的关键．6．（2023·广东广州·统考二模）如图，在中，，点是斜边边上一点，以为圆心，为半径作圆，恰好与边相切于点D，连接．若，的半径为，则的长度为（

）

A． B． C．3 D．【答案】B【分析】连接，由与圆相切于D，得到半径，而，推出，得到，由等腰三角形的性质推出，从而求出的度数，即可求出的长，根据特殊角的锐角三角函数求得，，即可求得．【详解】解：连接，

∵与圆相切于D，∴半径，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是由切线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质推得．7．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接，交于点G，如图所示，

由翻折性质可得：垂直平分，∴，，∵E为的中点，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．8．（2023·河南新乡·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，边在x轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，反比例函数的图像与菱形对角线交于点D，连接，当轴时，k的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点C作轴于点E，根据点C的坐标，求出，根据菱形性质求出，，解直角三角形求出，得出点D的坐标为：，代入函数关系式，即可求出k的值．【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示：∵顶点C的坐标为，∴，，∵∴，∵四边形为菱形，∴，，∵轴，∴，∴点D的坐标为：，∵反比例函数的图象与菱形对角线交于点D，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，求反比例函数解析式，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线，求出点．9．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则下列说法正确的是（

）A． B．点B到的距离为海里C．海里 D．点B在点C的南偏东的方向上【答案】C【分析】过B作于点D，根据题意分别求出的度数和的长，根据锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：过B作于点D，如图所示：由题意得，故A选项错；∵，∴在中，，所以海里,故B选项错；由图1可知，，所以D选项错；∵，∴海里，所以C选项正确；故选：C．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．10．（2023秋·九年级单元测试）已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2．则cosA的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设AC=k，则BC=2k，则AB=，根据三角函数的定义计算即可．【详解】如图，设AC=k，则BC=2k，根据勾股定理，得AB==，∴cosA==，故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2023·广东广州·统考二模）如图，在边长为的菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在处，连接，已知，，则的长为．（精确到，其中）

【答案】【分析】根据菱形的性质，可得，是等腰三角形，可求出，如图所示，过点作于点，构造直角三角形，根据三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵四边形是边长为的菱形纸片，，，∴，，，，∴，∴，即是等腰三角形，∴，∵沿直线翻折，使点落在处，∴，，在中，∵，∴是等腰三角形，，∴，在中，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查菱形，折叠，等腰三角形，三角函数的综合，掌握相关的性质及计算方法是解题的关键．12．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，．

【答案】【分析】先根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值．【详解】解：∵，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．13．（2023·广西梧州·统考一模）如图，在正方形内部作等边，交于F点，过E作，分别交于点G，H．则的值是．【答案】/【分析】过点E作于点K，则，先证明，再证明出，即可求解．【详解】过点E作于点K，则∵∴∵四边形为正方形∴∵∴∵∴∴∴∵四边形为正方形、为等边三角形∴、∴故答案为．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、四边形内角和、等边三角形及正方形的性质、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．14．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为．【答案】20【分析】设，则，设根据正切值表示出、、，再利用余弦值求出x，即可求出答案．【详解】如图，设，则，，设，，，，由，，，故答案为：20．【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，解题关键是掌握正方形的相关性质，利用三角函数进行转化．15．（2022春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为．【答案】【分析】根据的坐标为和，确定等边三角形的边长，分别计算等边三角形的边长，设的边长为，则，找到的规律即可．【详解】解：设到轴的距离为，到轴的距离为,则点的坐标为点在直线为等边三角形设的边长为∴B2021B2022=a2021=×220211=22020故答案为：22020．【点睛】本题考查了正比例函数与坐标轴的夹角，特殊角的锐角三角函数，等边三角形的性质．找到的规律是解题的关键．16．（2022·广东中山·校联考一模）如图，矩形边，的半径为1，过边上的一点P作射线与相切于点Q，连接，当时，则的最小值约为度分．（参考数据：）【答案】6440【分析】做辅助线，构建直角三角形DQN，先得出,再由勾股定理求出DN的长，分别在和中，根据三角函数求和的度数，即可得出结论．【详解】如图，延长MP和AB交于点N，连接DN、DQ，∵射线PQ与D相切于点Q，∴,DQ=1∵,∴∴∴在中根据勾股定理得：，在中根据勾股定理得：∴∴∴,在中，∴∴∴．故本题答案为60、40【点睛】本题考查了切线、矩形的性质，利用勾股定理求边长及三角函数等知识点，做出正确辅助线，根据条件解直角三角形是解答本题的关键．17．（2022·广东潮州·统考一模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则．【答案】【分析】根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案．【详解】解：如图所示：大正方形的面积是25，小正方形面积是4，大正方形的边长，小正方形的边长，，，故答案为：．【点睛】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键．18．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在中，，，以为直径作，交斜边于点，点在直径右侧的半圆上，且，连接，则的长度为.【答案】/【分析】连接，过点B作于点M，连接，证明为等边三角形，得出，求出，利用特殊角的三角函数值，求出，，即可得出答案．【详解】解：连接并延长交，过点B作于点M，连接，如图所示：∵，∴，∵为直径，∴，∴，∵，，∴为等边三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和判定．19．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，在四边形中，平分，，为的中点，与相交于点．若，，则的长为．【答案】/【分析】连接，在和中，利用角的余弦求出和的长，利用直角三角形中线的性质可求出，即：，可得出，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】解：连接，如图所示：∵，，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∵E是的中点，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，作出辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．20．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有．【答案】①②③④【分析】①证明，可得，由等腰三角形的性质可求；②证明，可得；③证明，可得，进而可得结论；④由外角的性质可求，由勾股定理可求AG，即可求．【详解】解：①∵四边形是正方形，，∴，AC⊥BD，∴，∴，∵，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，故①正确；②如图，过点作于，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∴，∴，故②正确；③在和中，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故③正确；④∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习）矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．(1)当点F为边的中点时，求点E的坐标；(2)连接，求的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标；（2）设出点，代入反比例函数中得出，进而用m表示出，即可得出结论．【详解】（1）解：，，四边形是矩形，，，点F是的中点，点F在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为，点E在反比例函数的图象上，且纵坐标为3，点E的横坐标为，（2）解：如图，设点，点E，F在反比例函数的图象上，，，，在中，【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，锐角三角函数，掌握反比例函数的性质是解题关键．22．（2022·福建南平·统考模拟预测）在东海一次军事演习中，某潜艇由西向东航行，到达处时，测得某岛上的假设敌方预警雷达位于它的北偏东方向，且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6：00到达B处，测得岛上的敌方预警雷达位于它的北偏东方向．上级要求潜艇以每小时20节(海里)速度继续航行，到岛的正南方向的处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达，求发起攻击的时间．（参考数据：，，，，，）【答案】第二天凌晨时发起攻击【分析】利用锐角三角函数得出CD和BD的值，即可求出到达点D的时间，即可得．【详解】解：∵∠ACD=70°，cos∠ACD=，则CD＝AC·cos∠ACD=500×0.34=170，∵∠BCD=37°，∴，∵tan∠BCD=，∴BD=CDtan∠BCD=170×0.75=，，即第二天凌晨时发起攻击．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数．23．（2022秋·上海虹口·九年级统考期末）如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．(1)求证：；(2)如果，，求FC的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到，进而得到，即可求证；（2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得，再由△EAD∽△ECB，可得，，从而得到EC=6，，再由，可得EF=4，即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵，∠AEB=∠DEF，∴△ABE∽△DFE，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，即AC=9，∴，∵，∴AD=3，∵，∴∠BAD=90°，∴，∵△EAD∽△ECB，∴，∴，，∴，，∴EC=6，，∵，∴，∴EF=4，∴FC=ECEF=64=2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键．24．（2022春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图,某种路灯灯柱垂直于地面,与灯杆相连.已知直线与直线的夹角是.在地面点处测得点的仰角是,点仰角是,点与点之间的距离为米．求：（1）点到地面的距离；（2）的长度．（精确到米）（参考数据:）【答案】（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米【分析】（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得；（2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米．【详解】解：（1）过点A作交于点F，则，在中，（米），即点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作交于点H，在四边形AFCH中，，∴四边形AFCH是矩形，∴，，设BC=x，则米，∵，，∴，∴，∴（米），∴（米），∴米，∵在中，，∴，∴，∴（米），∵，∴（米）．【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．25．（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：

(1)线段的长；(2)的余切值．【答案】(1)15(2)【分析】（1）根据可得，根据勾股定理可得，计算可得，即可得到答案；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，求出的长，再根据余切的定义进行计算即可．【详解】（1）解：是边上的高，，在，，，，，，，，解得：，；（2）解：是边上的高，，是边的中点，，，，，，．【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．26．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，在矩形中，，点是对角线上一个动点，以直线为对称轴，点的对称点为点，连接与．

(1)直接写出点到直线D的距离；(2)当点落在矩形的边上时，求的度数；(3)当为直角三角形时，求长．【答案】(1)2(2)15°(3)或【分析】（1）用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求解；（2）根据关于对称，求出，，再利用矩形的性质和锐角三角函数的求法求出即可求解；（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，利用勾股定理，对称性质等知识来求解.【详解】（1）解：在矩形中，，，，，,到直线的距离是2；（2）解：如下图，关于对称，

，.∵矩形，，，，，；（3）解：①当时，

过点作垂直交延长线于点，在中，，，.由题意得是矩形，，.、关于对称，.在中，，；

②当时，如下图，延长交于点，则.

关于对称，，，，在中，，在RT△CDH中，，在中，，，，，在中，；

③当时，

关于对称，.，，.，，，,，∴不存在，舍去．

综上所述，当为直角三角形时，或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，对称性质