第01讲认识不等式（2类题型）

第01讲认识不等式（2类题型）课程标准学习目标1.认识不等式的概念；2.不等式的解集；1.掌握不等式的概念；2、掌握不等式的解集；知识点01：不等式1.不等式：（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．

（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．2.不等式的解集：（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．

（3）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．（4）用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

【即学即练1】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（

）A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人【答案】A【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】解：不等式“”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于990人，故选：A．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号．【即学即练2】2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据不等式的概念可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是不等式．故选B．【点睛】本题主要考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．题型01不等式的定义1．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）下列各式中，不是不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】解：A、是不等式，故A不符合题意；B、是代数式，不是不等式，故B符合题意；C、是不等式，故C不符合题意；D、是不等式，故D不符合题意；故答案为：B．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：“”、“”、“”、“”、“”．2．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（

）①；②；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式，据此进行判断．【详解】不等式有：①；②；④；⑤．所以共有4个故选择：C．【点睛】本题考查来了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．3．（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）“x的倍与的和大于”用不等式表示．【答案】【分析】由x的2倍与3的和大于35得出关系式为：x的2倍，把相关数值代入即可．【详解】解：∵x的2倍为，∴x的2倍与3的和大于35可表示为：，故答案为：．【点睛】此题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．4．（2023春·七年级课时练习）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有．【答案】②④/④②【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④．【详解】解：x为自然数，则，错误，不合题意；②x为负数，则，正确，符合题意；③x不大于10，则，错误，不合题意；④m为非负数，则，正确，符合题意；故答案为：②④．【点睛】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不大于即小于或等于．5．（2023春·全国·八年级专题练习）根据下列数量关系列不等式：(1)x的7倍减去1是正数．(2)y的与的和不大于0．(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．(4)y的20%不小于1与y的和．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根据“x的7倍减去1是正数”直接列不等式即可；（2）根据“y的与的和不大于0”直接列不等式即可；（3）根据“正数a与1的和的算术平方根大于1”直接列不等式即可；（4）根据“y的20%不小于1与y的和”直接列不等式即可．【详解】（1）解：由题意得：；（2）解：由题意得：；（3）解：由题意得：；（4）解：由题意得：．【点睛】本题主要考查列不等式，准确理解“大于，小于，不大于，不小于”这些词语是关键．6．（2023春·全国·七年级专题练习）用不等式表示下列数量之间的不等关系：(1)去年某农场某种粮食亩产量是480kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加；(2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）较去年有所增加，即比去年多的意思；（2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案.【详解】解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加，则x＞480；（2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码，则3x＞5.【点睛】本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．题型02不等式的解集1．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；B、∵，故错误，不符合题意；C、正确，符合题意；D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．2．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；故选：A．【点睛】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．3．（2023春·七年级课时练习）方程的解有个，不等式的解有个．【答案】1无数【分析】根据方程的解的定义，不等式的解的定义分析即可．方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，不等式的解集是不等式的解的集合，不等式的解往往有多个．【详解】一元一次方程的解只有一个，是，一元一次不等式的解集是，解有无数个，故答案为：1，无数【点睛】本题考查了方程的解和不等式的解集，理解不等式的解和解集的定义是解题的关键．4．（2023春·七年级单元测试）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如：，，如果，则的取值范围为．【答案】﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4【分析】根据的定义和绝对值的意义分两种情况列出关于x的不等式，解不等式即可．【详解】解：当x＜0时，∵，∴x＞﹣3∴﹣3＜x≤﹣2；当x＞0时，∵，∴x＞3，∴3＜x≤4，综上所述，x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4【点睛】本题考查解不等式，理解的定义和分两种情况是解题的关键．5．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a．(1)若两个不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围．【答案】(1)a=1；(2)a≥1．【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可．【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2，由−1+x<a得：x＜a+1，由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，解得：a=1；（2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，得到2≤a+1，解得：a≥1．【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．6．（2023春·七年级课时练习）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？(1)x=1．(2)x=3．(3)x=10．(4)x=12．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)是【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解．（2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解．（3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解．（4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解．【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键．A夯实基础1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克【答案】B【分析】根据不等号的含义，进行判断即可．【详解】解：根据的含义，“每100克内含钙150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”，故选：B．【点睛】本题考查不等号的意义，熟练掌握不等号的意义，是解题的关键．2．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）下列式子：；；；；．其中是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案．【详解】解：不等式有；；，故选：B．【点睛】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键．3．（2023春·河南周口·七年级校考期中）据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是．【答案】/【分析】根据最高气温和最低气温，可得答案．【详解】解：由郑州市的最高气温为，最低气温为，可得当天气温的变化范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练根据题意列出不等式是解题的关键．4．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）某校女子跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为t秒，则用不等式表示为．【答案】【分析】根据没有人能打破该项记录列不等式即可．【详解】解：∵没有人能打破该项记录，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．5．（2023春·江苏·七年级专题练习）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）．【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子．【详解】解：等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．6．（2023春·八年级课时练习）用等式或不等式表示下列问题中的数量关系：(1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为．(2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；（2）根据等量关系直接列出等式即可．【详解】（1）解：由题意得：；（2）解：由题意得：．【点睛】本题主要考查列不等式和等式，准确找到等量关系和不等量关系是关键．B能力提升1．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】C【分析】运用不等式的定义进行判断．【详解】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤，共3个．故选：C．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（）（单位：吨）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可．【详解】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．3．（2023春·河南周口·八年级校考阶段练习）某品牌果汁外包装标明：净含量为，表明了这瓶果汁的净含量x的取值范围是．【答案】【分析】根据正负数的意义列出不等式可得答案．【详解】解：净含量的合格范围是，即，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的定义，利用有理数的加减法得出合格范围是解题关键．4．（2023春·七年级课时练习）生物兴趣小组要在恒温箱中培养某菌种，该菌种生长的温度不低于且不高于，若恒温箱的温度为，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意，利用不等式写出的取值范围即可．【详解】解：依题意，的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的定义，理解题意是解题的关键．5．（2023春·江苏南通·七年级统考期末）求证：当时，一定比小．【答案】见解析【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论．【详解】证明：由题意得，，，当时，，∴当时，一定比小．【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键．6．（2023春·江苏·七年级专题练习）用适当的符号表示下列关系：(1)x的与x的2倍的和是非正数；(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于；(5)小明的身体不比小刚轻．【答案】(1)(2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有(4)用P表示明天下雨的可能性，则有(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有【分析】（1）非正数用“”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．【详解】（1）；（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有；（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有；（4）用P表示明天下雨的可能性，则有；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有．【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．C综合素养1．（2023春·河北廊坊·七年级统考期末）下列式子属于不等式的有（）①；②；③；④；⑤．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，对各式进行判断即可．【详解】解：根据不等式定义判断，①②⑤为不等式，故选：．【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；C选项，的解集是，解不等式得，故正确；D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）若，，且，则值为．【答案】1或5【分析】由已知可以得到x=2或2，y=3或3，然后对x、y的取值进行分类讨论，找出使x+y<0的取值组合，即可求得xy的值．【详解】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=2或2，y=3或3，（1）当x=2时，要使x+y<0，必须y=3，此时xy=2(3)=2+3=5；（2）当x=2时，要使x+y<0，必须y=3，此时xy=2(3)=2+3=1；故答案为1或5．【点睛】本题考查绝对值、不等式和有理数加减法的综合应用，熟练掌握绝对值、不等式、有理数加减法及分类讨论的思想是解题关键．4．（2023春·四川广安·七年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）当=时，不等式永远成立．【