易错点05四边形（原卷版）

易错点05四边形多边形对角线、内角和、外角和平行四边形定义性质判定。菱形定义性质判定。矩形形定义性质判定。正方形定义性质判定。四边形综合应用易错分析易错分析01认识多边形。多边形考察范围较广，涉及的知识点较为宽泛，在综合能力考察上要求较高，注意规则图形与不规则图形的转换方式，辅助线分割方法，化繁为简。掌握解题技巧性如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________．【答案】1∶2【思路点拨】答案有误，分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．【规范解答】解：，，∴的面积与的面积比为1∶4．故答案为1∶4．【考点评析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键．【变式训练01】（2022·江苏常州·九年级专题练习）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）．【变式训练02】（2023秋）已知，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点A、B均在小正方形的顶点上．(1)如图1，在方格纸中画出以为一边的等腰，点C在小正方形的顶点上，且的面积为10；(2)如图2，在方格纸中画出以为一边的平行四边形，点D、E均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为10，连接，并直接写出线段的长．【变式训练03】（2022秋九年级期中）如图，菱形的两条对角线，相交于点O，若，，求菱形的周长．易错分析易错分析02多边形对角线、内角和、外角和。掌握内角和公式，外角和360°公理的由来。（2022秋·九年级统考期中）已知，如图两个四边形相似，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】答案有误，根据相似多边形的性质及四边形的内角和即可求解．【规范解答】解：如图：两个四边形相似，，，故选：A．【考点评析】本题考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握和运用相似多边形的性质是解决本题的关键．【变式训练01】（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，已知，．(1)在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；(2)连接，，求的度数．【变式训练02】（2021·校考二模）下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x＋k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练03】（2022·江苏·九年级专题练习）【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（），点、的对应点分别为点、．(1)【问题解决】如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；(2)【问题解决】若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①试判断四边形的形状，并说明理由；②连接，求的长；(3)【问题解决】在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，求线段长度的取值范围．易错分析易错分析03平行四边形的性质掌握及应用。理解性质和判定的区别和联系，充分应用平行四边形的性质解决问题（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为______．【答案】【思路点拨】答案有误，过点作，先由和平行四边形的性质说明是的中位线并求出，再判断，最后由相似三角形的性质得结论．【规范解答】解：过点作，交于点，四边形是平行四边形，是对角线与的交点，，点是的中点．，是的中位线．，．．．，．．．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理及平行四边形的性质是解决本题的关键．【变式训练01】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，是一条小河平行的两岸．（1）的距离等于___________；（2）现要在小河上修一座垂直于两岸的桥（点在上，点在上，桥的宽度忽略），使最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【变式训练02】（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点．(1)求证：；(2)若，求的值．【变式训练03】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，以为直径的切于点A，与交于点E．(1)求证：直线是的切线；(2)若cm，弦CE的长为16cm，求的半径长．易错分析易错分析04平行四边形的判定及应用。熟练掌握判定方法的证明过程，借助辅助线解决问题。（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在中，点D是边的中点，点F，E分别是及其延长线上的点，，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当满足____________条件时，四边形为菱形．（填写序号）①．②，③，④．【答案】(1)见详解(2)③，理由见详解【思路点拨】第2小题答案有误，（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形；（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形．【规范解答】（1）证明：在中，D是边的中点，∴∵，∴，在和中，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）满足条件①时四边形为菱形．理由：若时，为等腰三角形，∵为中线，∴，即，由（1）知，，∴，∴平行四边形为菱形．故答案为：①．【考点评析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握菱形的判定方法，且证得得到是解决问题的关键．【变式训练01】（2019秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，，，圆心在内部经过、两点，并交于点，过点作的切线交于点延长交于点，作交于点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求的值．【变式训练02】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）（1）如图，点，均在正方形内部，且，．求证：四边形是平行四边形；求正方形的边长；（2）如图，点，，，均在正方形内部，且，，求正方形的边长．【变式训练03】（2021秋·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，中，，O为边上一点，经过点A，与，两边分别交于点E，F，连接．平分，交于点D，经过点D．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为5，求的长．易错分析易错分析05特殊平行四边形（矩形）判定与性质应用。求角度，求线段长，求面积等问题中有一定难度，综合能力要求较高，注意解题技巧的掌握。三角形的中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，尽管都有“一半”，但二者成立的条件和结论不一样，不要混淆。（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图．在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=___________．【答案】2【思路点拨】答案有误，未考虑到辅助线。首先确定P点的位置，画出辅助圆，再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的判定与性质即可求解．【规范解答】解：如图，当P点在与相切，且经过D点和M点的上时，的度数最大，此时，P点即为切点，连接，∴，∵正方形的边长为，M点为的中点，∴，过O点作于E，∴，延长，交于点F，∴，∴四边形和四边形都是矩形，∴，∴，连接，则，∴，∴，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查了最大张角问题，涉及到了正方形性质的应用、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．【变式训练01】（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，为的直径，平分，于，交于．(1)求证：为的切线；(2)若，求的半径．【变式训练02】（（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，轴，，原点是对角线的中点，顶点的坐标为，反比例函数在第一象限的图象过四边形的顶点．(1)求点的坐标和的值；(2)将平行四边形向上平移，使点落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段扫过的面积．(3)若、两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形是菱形，求的长．【变式训练03】（（2022秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考期中）如图，在矩形中，，，是边的中点，点在线段上，过作于，设．(1)求证：．(2)当点在线段上运动时，是否存在实数，使得以点，，为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．易错分析易错分析06特殊平行四边形（菱形）判定与性质应用。（2021·江苏苏州·一模）如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（

）A．5 B． C． D．【答案】B【思路点拨】答案有误，首先判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．【规范解答】解：过点D作DE⊥BC，∵平行四边形ABCD中，AD=DC，∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，∴AD=a，即菱形的边长是a，∴a•DE＝2a，即DE=4．当点P在DB上运动时，y逐渐减小，∴DB=5，∴BE=，在Rt△DCE中，DC=a，CE=a3，DE=4，∴a2=42+（a3）2，解得a=，故选：C．【考点评析】本题考查菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键．【变式训练01】（2022·江苏苏州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．【变式训练02】（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．(1)求证：；(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．【变式训练03】（2022·浙江温州·统考二模）如图，在8×8的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD为格点图形（顶点在格点上），请按以下要求画出相应的格点图形．(1)在图1中画出格点△ABP，使△ABP的面积等于四边形ABCD的面积．(2)在图2中画出格点四边形ABQD，使四边形ABQD的面积等于四边形ABCD的面积，且格点Q不与格点C重合．易错分析易错分析07特殊平行四边形（正方形）判定与性质应用（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【思路点拨】答案有误，延长交于，连接，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据旋转的性质得出，得出即可判断①，根据题意得出四边形是矩形，由即可判断②，进而得出，根据判断③，根据勾股定理以及等角对等边可得，得出，由四边形是正方形，得出，即可求解．【规范解答】解：如图，延长交于，连接，∵，∴，∵，∴，∵将绕着点顺时针旋转得，∴，∴，∴，∴，故①正确；∵四边形是矩形，∴∵∴四边形是矩形，又∵，∴矩形是正方形，故②正确；∴，∴，故③正确；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵四边形是正方形，∴，∴，故④错误，∴正确的是：①②③，故选：B．【考点评析】本题考查了矩形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．【变式训练01】（2022秋·九年级课时练习）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【变式训练02】（2022秋·江苏·九年级周测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．【变式训练03】（2019·河北唐山·统考二模）关于边形，甲、乙、丙三位同学有以下三种说法：甲：五边形的内角和为乙：正六边形每个内角为丙：七边形共有对角线14条（1）判断三种说法是否正确，并对其中你认为不对的说法用计算进行说明（2）若边形的对角线共35条，求该边形的内角和易错分析易错分析08四边形综合应用。矩形、菱形、正方形有各自成立的前提条件，解题时应明确矩形、菱形、正方形的判定定理，不要混淆。平行四边形的两条对角线把其分割为4个三角形，其中相对的两个互相全等；矩形的两条对角线把其分割为4个等腰三角形，其中相对的两个互相全等；菱形的两条对角线把其分割为4个全等的直角三角形；正方形的两条对角线把其分割为4个全等的等腰直角三角形.解题时要充分应用这些三角形的特征，注意它们的联系与区别。（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿以的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．(1)运动几秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分？(2)运动几秒时，P，Q两点之间的距离是？【答案】(1)2秒(2)秒【思路点拨】（1）根据题意，设运动时间为t秒，将用t表示出来，跟为梯形的面积占2份和5份两种情况进行讨论即可；（2）过P点作，垂足为M点，根据勾股定理求解即可．【规范解答】（1）解：设运动时间为t秒，依题意得：∵，∴．∴，．∴，，解得，解得（舍），∴运动2秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分．（2）如图，过P点作，垂足为M点，∴，，∴，∴，即∴或（舍去），∴时，P、Q两点之间的距离是．【考点评析】本题主要考查矩形的动点问题，勾股定理和用平方根的定义解方程，解题的关键是根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键．【变式训练01】（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【问题探究】(1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________；【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和．已知，分别交，于点P和点Q，设运动时间为（）．(1)连接，，当_____s时，四边形为平行四边形；(2)连接，若的面积为，求t的值；(3)若与相似，求t的值．一、选择题1．（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）四边形的对角线和相交于点O．有下列条件：①；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．则下列推理正确的是（）A．②③→⑥ B．①②→⑤ C．①④→⑤ D．②⑤→⑥2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在菱形中，于点，分别交于点，的延长线于点，且．则的值为（

）A． B． C． D．3．（2021·江苏·九年级专题练习）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角4．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，矩形中，，点E在边上运动，连接，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设，，则y关于x的函数图象大致为（

）A．B．C． D．5．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图像上，则的值是（

）A． B． C．