第13章《轴对称》知识讲练（学生版）

20232024学年人教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.知识点02：作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.知识点03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•市期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（）​A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm2．（2分）（2023春•福田区校级期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（）A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点3．（2分）（2022秋•晋州市期末）等腰三角形的顶角为40°，则底角的度数为（）A．25° B．60° C．70° D．140°4．（2分）（2022秋•西宁期末）如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC交MN于点P，连接AP，则（）A．BC＞PC+AP B．BC＝PC+AP C．BC＜PC+AP D．BC≤PC+AP5．（2分）（2022秋•西宁期末）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝3.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离不可能是（）A．8 B．7 C．6 D．56．（2分）（2023春•永春县期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③7．（2分）（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（）A．8 B．10 C．12 D．168．（2分）（2023•洪泽区一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（）A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α9．（2分）（2022秋•龙江县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于点E，交AB于点M且AE＝CE，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交DE于点F，连接CF交AB于点G．若CG＝FG，则∠B的度数为（）A．75° B．70° C．65° D．60°10．（2分）（2022秋•武昌区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•袁州区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，图中线段上一动点E，若满足AE＝CE，AB＝6，∠BAC＝30°，则以AE为边长的正方形面积是．12．（2分）（2023春•达州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为．13．（2分）（2022秋•晋州市期末）如图所示，图中所有的三角形都是等边三角形．若其中最小的等边三角形的边长为1cm，则图中涂有阴影的等边三角形的边长为cm，周长为cm，面积为cm2．14．（2分）（2023春•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝10cm，DE＝6cm，则BC的长是cm．15．（2分）（2022秋•湖里区校级期末）如图，所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥Ab于点M，0M⊥BC于点N；若OM＝ON，则∠ABO＝度．16．（2分）（2022秋•龙潭区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，BC＝30，则AD＝．17．（2分）（2023•桐柏县一模）如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的有（填序号）．18．（2分）（2023•东莞市三模）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．19．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D在AB上，E在CB上，A，C关于DE的对称点分别是G，F，若F在AB上，DG⊥AB，DG＝+1，则DE的长是．20．（2分）（2022秋•道县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•福田区校级期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；（3）求△ABC的面积．22．（6分）（2023春•汉阳区期末）如图1，D为BA延长线上一点，∠CAD的角平分线交BC垂直平分线于点E，交BC延长线上一点F．（1）作△AEC关于直线EF的轴对称图形△AEG；（2）求证：∠BEC＝∠BAC；（3）如图2，P为线段EF（不与E、F点重合）上异于A点的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小关系，并说明理由．23．（8分）（2022秋•保康县期末）如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1．（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标；（2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标；（3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标．24．（8分）（2023春•揭东区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．25．（8分）（2022秋•襄州区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；（2）写出点A'，B'，C'的坐标．（3）在y轴上找一点P，使PA+PC的长最短．26．（8分）（2022秋•潜江期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？27．（8分）（2023春•丹东期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：①求证：BE＝AD；②用