专题04平面图形的面积问题（原卷版）

专题04平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。难度自不必说，思维的层次也大为不同。甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。求几何图形面积常见方法及运用：1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）容斥原理（韦恩图）等。公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比来表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的是抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或者随便求出直角边的平方。考点1、割补法求面积（一）平移与对称【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是()平方厘米。例2．（2022春·吉林·六年级统考期末）如图：求阴影部分的面积。（取3.14，单位：厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（

）cm2。A．24 B．12 C．6 D．3变式2．（2023春·全国·六年级专题练习）求阴影部分面积。（单位：厘米）变式3．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·六年级统考期末）求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。考点2、割补法求面积（二）旋转【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2023秋·四川绵阳·六年级校考期末）求阴影部分的面积。例2．（2022春·浙江温州·六年级期末）求下图阴影部分面积。（单位：厘米）变式1．（2023春·山东青岛·六年级统考期末）求下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm）（1）（2）变式2．（2023春·江苏连云港·六年级专题练习）如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是()平方厘米。考点3、和差法求面积【解题技巧】常见模型图形转化后的图形秘籍计算方法例1．（2022秋·新疆阿勒泰·六年级统考期末）如图所示，阴影部分的面积是______cm2。例2．（2022秋·陕西咸阳·六年级校考期末）计算下面图形阴影部分的面积。变式1．（2023秋·四川乐山·六年级统考期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ADC的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。（结果用π表示）变式2．（2022·辽宁沈阳·六年级校考期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？变式3．（2023秋·河南南阳·六年级统考期末）如图，半圆的圆心为O，AB＝4厘米，以A为圆心，AB为半径画一个圆心角为45°的扇形，图中阴影部分的面积是()平方厘米。考点4、整体代换法【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。例1．（2022秋·湖北武汉·六年级统考期末）如图中阴影部分的面积是40平方厘米，图中大圆的面积比小圆的面积大()平方厘米。例2.（2021·四川成都·六年级期末）如图，已知阴影三角形的面积是50dm²，则圆的面积是()dm²。例3．（2023·广东·六年级期中）如图：（1）若大正方形的面积是20平方厘米，则圆的面积是()平方厘米。（2）若小正方形的面积是20平方厘米，则圆的面积是()平方厘米。变式1．（2022·湖北武汉·六年级校考期末）下图中环形的面积是314平方厘米，阴影部分的面积是()。变式2．（2023·江苏常州·校考小升初模拟）在图中正方形的面积是5平方厘米，则图中阴影部分面积为（

）平方厘米。A．5－π B．5－π C．π D．π考点5、等积变换法求面积【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。例1．（2023春·广东广州·六年级专题练习）下图中三角形ABC的面积30平方厘米，高是6厘米，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）例2．（2022·重庆沙坪坝·统考小升初真题）如图，在梯形ABCD中，上底长是下底长的一半，点E是CB的的中点，点F是AE线段的中点，阴影部分是梯形面积的几分之几？变式1．（2023春·浙江·六年级专题练习）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是()平方厘米。变式2．（2023春·湖北黄冈·六年级校考期中）如图，的面积为14平方厘米，，，阴影部分的面积是()平方厘米。变式3．（2023·河北·小升初模拟）在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形EFGO的面积是9平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？考点6、容斥原理（韦恩图）【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。例1.是边长为4的正方形，分别以、、、为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________例2.（2022·河南南阳·六年级期末）如图，直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米5厘米，分别以三边为直径画半圆，图中阴影部分的面积是()平方厘米。变式1.如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(取3)变式2.在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？A级（基础过关）1．（2023秋·四川乐山·六年级统考期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，把一幅七巧板按如图①所示进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块。图②所示的“天鹅”是由这幅七巧板拼成的，“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则图①大正方形的边长为（

）。A．8 B．6 C．4 D．22．（2023春·江苏南京·六年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，则图中涂色部分的面积占原正方形面积的（

）。A． B． C． D．3．（2022·北京丰台·六年级统考期末）如图，计算阴影部分面积，下面列式正确的是（

）。（图中每个小正方形格的边长是1）A． B． C． D．4．（2023·重庆·六年级期末）如图所示，将半径为4cm和5cm的两个半圆形叠放在一起，，为圆心。阴影部分的总周长为（

）cm。A．19.42 B．34.26 C．37.26 D．38.265．（2023·江苏苏州·六年级小升初模拟）如图，在一个上底和下底分别是10、20的梯形中，阴影部分面积为40平方厘米，则空白部分的面积是（）平方厘米。A．20 B．40 C．606．（2022秋·山东滨州·六年级统考期末）我们在探究圆的面积公式时，经历了怎样的研究过程？（

）A．寻找关系→转化图形→推导公式 B．转化图形→推导公式→寻找关系C．转化图形→寻找关系→推导公式 D．寻找关系→推导公式→转化图形7．（2022秋·辽宁沈阳·六年级校考期中）把一张圆形纸片剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是12.56厘米，圆的面积是（

）平方厘米。A．25.12B．50.24C．100.48D．200.968．（2022秋·山东枣庄·六年级统考期末）下图阴影部分的面积是()平方厘米。（单位：厘米）9．（2023·浙江宁波·五年级统考期末）计算下面阴影部分的面积。（单位：厘米）（1）（2）10．（2022春·湖南永州·六年级统考期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米）11．（2023春·全国·六年级小升初模拟）求下图中阴影部分的面积。（π取3.14）12．（2023秋·河北邢台·六年级校联考期末）求图中涂色部分周长和面积。（单位：cm）13．（2023秋·湖北十堰·六年级统考期末）计算下面阴影部分面积。（单位：cm）14．（2022·广西玉林·统考小升初真题）为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。（1）以正方形中心O点为观测点，A点在正（

）方向上，距离是（

）米；B点在（

）°方向上。（2）绿植区域的图形共有（

）条对称轴。绿植区域的面积是（

）平方米。（3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并将绿植区域涂上阴影。15．（2022秋·河南南阳·六年级统考期末）图中平行四边形的面积是18平方厘米，高是3厘米，求图中阴影部分的面积是多少？16．（2023秋·重庆渝中·六年级统考期末）如下图，分别以长方形、平行四边形、梯形的四个顶点为圆心，画半径为2厘米的圆。琳琳说：这三个图形阴影部分的面积相等。你同意琳琳的说法吗？请说出你的理由。17．（2022秋·陕西安康·六年级统考期末）计算下面图形阴影部分的周长和面积。B级（能力提升）1．（2023秋·福建龙岩·六年级统考期末）图中ABCD为正方形，E为AB的中点，阴影部分的面积是21cm2，正方形ABCD的面积是()cm2。2．（2023秋·山东潍坊·六年级校考期末）下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用π表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的（

），表示为（

），三角形的高是圆的半径的（

）倍，表示为（

），圆形和三角形的（

）相等。请你根据三角形的面积公式推理出圆的面积公式，并写出推导过程。3．（2023春·江苏无锡·六年级专题练习）芳芳用一张长10厘米的长方形纸如右图进行翻折，折出的平行四边形面积比原来少了15平方厘米。这张长方形纸的宽是()厘米，折成的平行四边形的面积是()平方厘米。4．（2023春·重庆六年级月考）如图所示的纸带，()是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，()（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑。5．（2023春·湖南邵阳·六年级统考期末）一个长30厘米、宽2分米的长方形，沿对角线对折后，得到下图所示几何图形，阴影部分的周长是()厘米。6．（2023春·江苏南通·六年级专题练习）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了()平方厘米。7．（2022·四川成都·成都嘉祥外国语学校校考小升初真题）如图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）8．（2023秋·河南南阳·六年级统考期末）如图，大半圆的直径为8厘米，求图中阴影部分的面积。9．（2023春·六年级单元测试）求阴影部分的面积。（单位：厘米）10．（2023秋·浙江杭州·六年级统考期末）如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？11．（2022春·全国·六年级统考期末）如果将直角三角形ABC绕A点逆时针旋转90°，可以形成下图。请根据图中数据，计算阴影部分的面积。12．（2023秋·湖北襄阳·六年级统考期末）我们已经学习了“外方内圆”（如下图1）的问题，现在让你继续研究，你会有新的发现。（1）图1的阴影部分面积是多少？（列式计算）（2）图2的阴影部分面积是多少？（列式计算）（3）通过上面两个图形的计算，你是否有所发现？按你的发现，那么如图3这样正方形中有16个小圆，阴影部分的面积是（

）。13．（2023春·江苏·六年级小升初模拟）如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米。那么长方形（阴影部分）的面积是多少平方厘米？14．（2023春·广东广州·六年级专题练习）求阴影部分的面积。15．（2022秋·山东济南·六年级统考期末）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，以AD为弧的扇形的面积是它所在圆面积的，求阴影部分的面积？16．（2023秋·河北邢台·六年级校联考期末）已知涂色部分的面积是12cm2，求圆环的面积。C级（培优拓展）1.（2022·成都外国语学校附属小学小升初模拟）如图，正方形ABCD的边AB＝1，弧BD和弧AC都是以1为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积之差为()。2．（2022·山东·六年级期中）如图，在长方形ABCD中，M是CD边中点，DN是以点A为圆心的一段弧，KN是以点B为圆心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．则图中阴影部分的面积是平方厘米．（π取3.14）3．（2023·福建莆田·六年级期末）两个小朋友用圆做剪纸游戏，一个小朋友将圆拼成一个近似长方形，另一个小朋友将圆剪成两个半圆贴在长方形上，如下图，如果长方形周长为16.56cm，那么S②比S①大()平方厘米．4．（2023·陕西西安·小升初模拟）在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，四边形AOCD的面积占正方形ABCD面积的()。5．（2023·山西·小升初模拟）如图所示为某商品的商标，由两颗爱心组成，每颗爱心都是由一个正方形和两个半圆拼成，两个正方形的边长分别为40毫米和20毫米，则阴影部分的面积是多少平方毫米？（圆周率取3.14