考点09轴对称图形-2023年中考数学一轮复习（江苏省专用）

考点09轴对称图形轴对称图形主要包括轴对称的概念、线段的垂直平分线、轴对称图形、等腰三角形的性质与判定以及轴对称图形的作图；在中考中轴对称与轴对称的性质、线段的垂直平分线主要以选择和填空的形式进行考查，难度较低；画轴对称图形往往会考查尺规作图；等腰三角形的考查形式有多种，包括选择、填空和解答都有考查的可能，难度中等。一、轴对称；二、线段和角的轴对称性；三、等腰三角形。考向一：轴对称1.轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。4.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.5.轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．6.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.7.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.1．（2022·山东济南·模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意，故答案为：B．2．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（）A．中线 B．角平分线 C．高线 D．以上都不对【答案】B【分析】根据折叠的性质可得，由此即可得到答案．【详解】解：如图，∵由折叠的性质可知，∴是的角平分线，即l是的角平分线，故选：B．3．（2022·河南·漯河市第三中学九年级期末）如图，四边形ABCD为一长条形纸带，ABCD，将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（

）A．60° B．72° C．65° D．75°【答案】B【分析】由翻折的性质可得∠AEF＝，由平行线的性质可得∠AEF＝∠1，设∠2＝x，易得∠AEF＝∠1＝＝2x，然后根据平角的定义构建方程即可解决问题．【详解】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝，∵ABCD，∴∠AEF＝∠1，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝＝2x，∵∠AEB＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：B．4．在平面直角坐标系中，点（，4）关于轴的对称点的坐标是（

）A．（2，4） B．（4，） C．（，2） D．（，）【答案】D【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．【详解】解：点（，4）关于轴的对称点的坐标是（，）．故选：D．5．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的点B所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直接利用关于x轴对称点的性质结合平面直角坐标中坐标的特点即可得出答案．【详解】解：∵点A的坐标是．作点A关于x轴的对称点，得到点B，∴点，∴点B所在的象限是第四象限，故选：D．考向二：线段和角的轴对称性1.线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线3.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.1．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（

）A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点．故选：A2．已知直线是线段的垂直平分线，并且垂足为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可．【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，并且垂足为，，∴，故选C．3．（2022·贵州·贵阳清镇北大培文学校一模）如图，，，则下列判断正确的是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．与互相垂直平分 D．平分【答案】A【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：在与中，，，，垂直平分，故选：．4．已知（），用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．【详解】解：A、如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；B、如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；C、如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；D、如图所示：此时，故能得出，故此选项正确；故选：D．5．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的定义得到AD=BD，即可求出答案．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∵AC=5cm，BC=4cm，∴△DBC的周长=CD+BD+BC=CD+AD+BC=AC+BC=9(cm)，故选：D．考向三：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1．（2022·山东·济南九中模拟）如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等边对等角得到，根据翻折的性质以及三角形内角和定理得到，再利用外角性质得到，进一步求出．【详解】解：∵，∴∵将沿翻折得到，∴，∵，∴，故选：A2．（2022·山东济南·模拟）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则下列说法中不正确的是（

）A．是的平分线 B．C．点D在的中垂线上 D．【答案】D【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点D在的中垂线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得．【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确；∵，∴，∵是的平分线，∴，∴，故B正确；∵，∴，∴点D在的中垂线上，故C正确；∵，∴，∵，∴，∴，故D错误，故选：D．3．如图．在中，．若是的角平分线，则下列说法错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的三线合一性质解题．【详解】∵，是的角平分线，∴，，∴．故选D．4．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）将一把直尺和一个含45°角的一个直角三角板如图放置，若，则的度数是（

）A．45° B．73° C．62° D．75°【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质和外角的性质得到的度数，再由平行线的性质即可求解．【详解】解：由题可知，，∴∵，∴故选：B．5．如图在中，边，的垂直平分线交于点，连结，，若，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质，即可得到，，得出，再根据三角形的内角和定理得到，得到，根据三角形内角和的性质即可求出的度数．【详解】解：如图，连接∵边，的垂直平分线交于点，，∴，，，，在中，，，在中，．故选：A．1．（2022·山东·济南九中模拟）下列图形中，是轴对称图形且对称轴最多的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A选项是轴对称图形，有4条对称轴；B选项不是轴对称图形；C选项是轴对称图形，有6条对称轴；D选项是轴对称图形，有1条对称轴．故选：C2．到三个顶点距离相等的点是的（

）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等解答即可．【详解】解：设点P是三条垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质可知，点P到的三个顶点距离相等．故选D．3．（2022·山东·济南市东方双语实验学校模拟）下列是国际数学家大会会徽中的部分图案，属于轴对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【详解】解：A.，不是轴对称图形，故不符合题意；B.，不是轴对称图形，故不符合题意；C.，不是轴对称图形，故不符合题意；D.，是轴对称图形，符合题意．故选：D4．如图，在中，，则的值为（）A．7 B． C． D．8【答案】D【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而等面积法即可求解．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，过点作于点，∵∴在的延长线上，，，∴，∵，∴，故选：D．5．（2022·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，，则的周长为（）A．2 B．24 C．27 D．3【答案】C【分析】根据题意在上截取，连接，由可证≌，可得，，可证，可得，进而即可求解．【详解】解：如图，在上截取，连接，∵平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长＝，故选：C．6．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质可得∠BFE=∠DEF=22°，则在图a中，∠CFE=158°，进而可得在图b中，∠BFC=136°，进而在图c中即可求解．【详解】解：∵，且，∴∠BFE=∠DEF=22°，∴在图a中，∠CFE=180°∠BFE=158°，∴在图b中，∠BFC=158°22°=136°，∴在图c中，∠CFE=136°22°=114°，故选：B．7．如图，是长方形纸片的对角线，E、F分别是边上的点，连接，将纸片沿翻折，使得A、B的对应点分别是，且点在的延长线上，与相交于点G，连接，若恰好平分，且，则的度数为______°．【答案】135【分析】由折叠可知，，推出，所以，在四边形中，，推出，所以，进而求出．【详解】解：由折叠可知，，∵，∴，∴，在四边形中，，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．8．如图，△中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将△AEF沿AF翻折，使点落在点处，若，，则的度数为_____________．【答案】85°【分析】由折叠的性质，先求出，然后利用，求出，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．【详解】解：根据题意，在中，，∴，∴，由折叠的性质，则，在中，，∵，∴，∴，∴；故答案为：85°9．如图，等腰中，，，，，当的值最小时，的面积为__．【答案】【分析】过点作，使，连接，证明，得出，得出A、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，得出，过点作于，得出，最后利用三角形的面积公式求出结果即可．【详解】解：过点作，使，连接，∵，，，，，，∵在和中，，，，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则A、、三点共线时，的值最小，即的值最小，∵，，在和中，，，过点作于，，，的面积为．故答案为：．10．在平面坐标系中点与点关于y轴对称，则_____．【答案】【分析】根据对称性，即可求得a和b的值，然后代入即可得解．【详解】解：由点与点关于轴对称，可知，∴，∴，故答案为：．11．（2022·宁夏·固原市原州区三营中学一模）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，则_______．【答案】【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，然后计算即可．【详解】解：由作法得垂直平分，∴，∴，∴．故答案为：．12．如图所示，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，求证：．【答案】见解析【分析】连接，先根据等腰三角形的性质求出及的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，，由此可得出的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：连接，如图所示：∵在中，，，∴，∵的垂直平分线交于点E，∴，∴，∴，∵，∴，∴．13．（2022·山东济南·模拟）如图，已知于点C，于点D，交于点E．求证：．【答案】见解析【分析】利用证明，可得，即可求证．【详解】证明：∵，，∴，即均为直角三角形，∵，，∴，∴，∴．14．（2022·吉林长春·一模）如图，线段上两点C，D，，，，连接并延长至点M，连接并延长至点N，、交于点P，．求证：是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据“”证明≌，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的性质得，，即可得出，最后根据“等角对等边”得出答案．【详解】证明：∵，∴，即．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形．15．如图，在中，，在边上截取，连接，过点D作交于点E．(1)求证：；(2)若，在不添加字母和线段的前提下，直接写出图中所有的等腰三角形（不用证明）．【答案】(1)见解析(2)、、【分析】（1）由等边对等角可得，且，，即可得到，再由等角对等边即可得出结论；（2）①由（1）可得是等腰三角形；②，即可得出结论；③是等边三角形，则，则根据三角形的外角定理，即可得出结论．【详解】（1）证明：，，，，，，，；（2）①由（1）可得是等腰三角形；②，可得是等腰三角形；③，，是等边三角形，则，，是等腰三角形．所以等腰三角形是、、．16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，已知点A的坐标为．请按要求分别完成下列各小题：(1)画出关于y轴对称的并直接写出点A的对应点的坐标；(2)若点D为y轴上一点，且的面积为，求点D的坐标．【答案】(1)见解析，(2)或【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出关于轴的对称点，写出点的坐标即可；（2）根据三角形面积求出的长，则结果可得．【详解】（1）解：如图，即为所求．点A1的坐标为；（2）解：∵点A的坐标为，∴点到轴的距离为，∵的面积为，∴，∴点D的坐标为或．17．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：(1)作△ABC的高AH；(2)①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC；②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可，注意高线是实线；（2）①根据要求作出图形即可；②取格点T连接BT，AT，CT，则BT∥AC，推出△ACB与△ATC的面积相等，作出△ADT的中线AF即可（取P，Q，连接PQ交DT于点F)．【详解】（1）解：如图（1）所示，线段AH即为所求，（2）①如图所示，线段AD即为所求；②如图所示，线段AF即为所求；18．如图，已知△ABC的顶点都在图中方格的格点上．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并直接写出A′、B′、C′三点的坐标．(2)△A′B′C′的面积是；(3)在y轴上找一点P使得PA+PB最小，画出点P所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）【答案】(1)，，，图见解析(2)10.5(3)见解析【分析】（1）确定点A，B，C关于x轴的对称点，，，再连接即可得出对称图形，然后确定点的坐标即可；（2）根据三角形的面积=矩形的面积3个直角三角形的面积计算即可；（3）点A关于y轴的对称点为，可知，要求最小，即求最小，根据两点之间线段最短可知连接与y轴的交点符合题意．【详解】（1）如图所示，即为所求．，，．（2）．故答案为：10.5；（3）如图，点P即为所求．19．在平面直角坐标系中，已知，，．(1)如图1，若，于点，轴交于点，则__；(2)如图2，若，的平分线交于点，过上一点作，交于点，是的高，探究与的数量关系；(3)如图3，在（1）的条件下，上点满足，直线交轴于点，求点的坐标．【答案】(1)6(2)，证明见解析(3)点【分析】（1）证明是等边三角形，从而得到是含的直角三角形，进而得到，列式计算即可得解；（2）根据，得到是等腰直角三角形，作，交于，交的延长线于，证明，得到，进而得到：，再证明，得到，即可得解；（3）过点作于，于，连接，根据已知条件，证明平分，得到，利用直角三角形斜边上的中线，得到，，得到，进而得到，通过三角形内角和定理，以及对顶角相等，得到，利用互余关系得到，进而得到，即可得解．【详解】（1）解：，．，且，，，是等边三角形，，，轴，，，，，，，，解得，，故答案为：6；（2），证明如下：，，，且，，，，，是直角三角形，且，，平分，，，，如图2，作，交于，交的延长线于，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图3，过点作于，于，连接，由（1）可知，，，，，，，，且，，，，，，平分，，，，，，，，，点．20．已知点，，在同一直线上，、均为等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点、在直线的同侧时，求证：；(2)拓展探究：如图2，若点、在直线的异侧时，连接并延长交于点，连接，求；(3)解决问题：如图3，点、在直线的异侧，点在线段上运动时，过点作，垂足为点，且与点不重合，若，，则的长为_____（直接用含、的式子写出结论）．【答案】(1)证明见解析(2)(3)或【分析】（1）根据和都是等边三角形得出，，利用可证明；（2）在上截取，连接，如图2，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案；（3）分两种情况，当F在线段的延长线上时或当点F在线段上时，由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即．在和中，，∴；（2）解：在上截取，连接，如图2，由（1）得：，∴，又∵，∴，∴为等边三角形，∴，，在等边中，，，∴，即，∴，∴，又∵，∴；（3）解：如图2，当在线段的延长线上时，由（2）可知，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，同理可得，∴，∴；如图3，当点在线段上时，同理可得，∴，∴，综上所述，的长为或．故答案为：或．1．（2022·江苏南通·中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．（2022·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，点坐标，即可得出答案．【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称，∴点A的坐标为（1，2），∵点A与点关于轴对称，∴点的坐标是（1，﹣2）．故选：D．3．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D4．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故选：C．5．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于_________．【答案】2【分析】根据题意，，当点与点重合时，符合题意，据此即可求解．【详解】解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，∴，而,当点与点重合时，，此时的长最小，∴．故答案为：2．6．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．【答案】6【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．7．（2021·江苏南京·中考真题）如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．【答案】【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．【详解】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB=在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=∵∴====故答案为：．8．（2021·江苏苏州·中考真题）如图．在中，，．若，则______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．【详解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°∠A∠C=54°．故答案为：54°．9．（2021·江苏无锡·中考真题）已知：如图，，相交于点O，，．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）根据AAS，即可证明；（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）在与中，∵，∴（AAS）；（2）∵，∴OB=OC，∴．10．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．【答案】、两点间的距离约为11千米．【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点C作于点D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、两点间的距离约为11千米．1．（2022·江苏·盐城市初级中学一模）垃圾分类可以有效减少垃圾对环境的污染，因此我们应增强环保意识，积极参与垃圾分类，共享低碳生活．下列有关垃圾分类的图标，是轴对称图形的有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：将A图沿过中心竖直的直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；图B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：A．2．（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）如图，在中，，，P是上的一个动点，则的度数可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意利用等腰三角形性质求出以及角的度数，从而得知的取值范围即可进行判断【详解】∵，，∴，∵，∴，在这个范围的角度只有故选：C．3．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）已知直线一块含45°角的直角三角板如图放置．若，则的度数为（）A．54° B．63° C．64° D．72°【答案】B【分析】由等腰直角三角形可得，由平行线的性质得，再由三角形的外角性质可求得，根据对顶角相等得的度数．【详解】解：如图，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴．故选：B．4．（2022·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（

）A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSSC．垂直平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL【答案】C【分析】根据角平分线、中线、高线和垂直平分线的性质以及全等三角形的判定逐项分析即可．【详解】解：A、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），即添加方法和对应全等判定依据正确；B、∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），即添加方法和对应全等判定依据正确；C、作辅助线时，不能直接说BC的垂直平分线经过了点A，即添加方法和对应全等判定依据错误；D、∵AD是BC边上的高线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，∴在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（HL），即添加方法和对应全等判定依据正确；故选：C．5．（2022·江苏徐州·二模）如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（

）A．8 B．6 C．4 D．【答案】A【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC，即可得出答案．【详解】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，则AF＝BF，可得AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4，∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8．故本题选择A．6．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（

）A．4 B．5 C．4.5 D．6【答案】B【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC于点N'，根据角平分线的性质可得M'N'=M'E，从而得到CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN的最小值，求出CE，即可求解．【详解】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC于点N'，如图：∵BD平分∠ABC，M'E⊥AB，M'N'⊥BC，∴M'N'=M'E，∴CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN的最小值，此时M与M'重合，N与N'重合，∵三角形ABC的面积为10，AB=4，∴，∴CE=5．即CM+MN的最小值为5．故选：B．7．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（

）A．2∠A=∠1∠2 B．3∠A=2（∠1∠2）C．3∠A=2∠1∠2 D．∠A=∠1∠2【答案】A【分析】根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．【详解】解：是沿折叠得到，，又，，，即，整理得：．故选：A．8．（2022·江苏·射阳县第六中学二模）在直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为______．【答案】【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出点坐标，再利用平移的性质得出的坐标．【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，∴，∵将点向左平移3个单位得到点，∴的坐标为．故答案为：．9．（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，顶点C在y轴上，若点，则点A的坐标为___________．【答案】【分析】根据等腰三角形的“三线合一”可得，即可求解．【详解】解：∵是等腰三角形，，且，∴，∵点，∴，∴点A的坐标为．故答案为：10．（2022·江苏徐州·二模）如图，直线，含30°角的三角板的直角顶点C在上，顶点A在上，边BC与交于点D，如果，，那么点D到AB的距离为______．【答案】2【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用30°角的性质得到DE=．【详解】解:过点D作DE⊥AB于E，∵l1∥l2，∴∠DAC=∠1=30°，又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=∠BAC∠DAC=30°，在直角△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=30°，∴DE=，故答案为2．11．（2022·江苏无锡·二模）把一张边长为8cm的正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形．（1）如果打开后得到一个正方形，则这个正方形的边长为______．（2）有以下5个正多边形：①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十边形；⑤正十二边形，其中打开后可以得到是______．（只填序号）【答案】

③⑤【分析】由题意折叠后有4层纸，可知展开图的正多边形的边长数目应为4的倍数，同时通过简单的动手操作也可得出相关结论．【详解】解：（1）分别过两直角边中点，构造等腰直角三角形，按照如图红线位置进行裁剪可得正方形．折叠两次后三角形的直角边长为，裁剪后展开的正方形边长为．（2）过直角的角平分线与斜边的交点，构造顶角为等腰三角形，按照如图红线位置进行裁剪可得正八边形．过直角三等分线与斜边的交点，构造顶角为的等腰三角形，按照如图红线位置进行裁剪可得正十二边形．

故答案为：，③⑤12．（2022·江苏·常州市朝阳中学一模）如图，在中，，点E、F分别是边上，且．若，则_________°．【答案】54°【分析】根据等腰三角形的性质以及外角知识求出的度数，根据直角三角形中两锐角互补可求答案．【详解】解：是的一个外角在中，故答案为：54°．13．（2022·江苏·徐州市树人初级中学二模）如图，在中，，，，的平分线交AC于点D，，垂足为，则____________cm．【答案】4【分析】先求出AC的长，然后利用角平分线的性质得到AC即可．【详解】解：∵在中，，，，，（30°所对的直角边等于斜边的一半），又∵AD是的角平分线，，（角平分线上的点到角的两边距离相等），，故答案为：4．14．（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，已知直线∥，直线分别与、交于点A，B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析【分析】利用线段的垂直平分线的尺规作图和作一个角等于已知角的尺规作图即可．【详解】利用线段的垂直平分线的尺规作图和作一个角等于已知角的尺规作图,作图如下：则点P即为所求．15．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，在中，，，点在上，且．(1)尺规作图：请在的延长线上找一点，使得；（不写作图，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下探索与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）先作的BC边上的高AG，再作，从而有．（2）设，，运用已知条件推导出，从而得出．【详解】(1)解：作图如下，(2)解：设，，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，即．16．（2022·江苏无锡·二模）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，∠BAC＝∠DAE．(1)求证△ABD≌△ACE；(2)当∠B等于多少度时，ABEC？证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)60°，证明见解析【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE证得∠BAD＝∠CAE，再依据SAS即可证明三角形全等；（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质证得∠B=∠ACB=∠ACE，再由平行线的性质即可求得∠B度数．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE；（2）解：∠B＝60°，证明如下：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠ACB＝∠B＝60°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠B＋∠BCE＝180°，∴AB∥EC．17．（2022·江苏宿迁·三模）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：(1)直线是线段的________线，射线是的________线；(2)求的度数．【答案】(1)线段垂直平分；角平分；(2)23°【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；【详解】（1）解：根据作图痕迹可知，直线是线段的线段垂直平分线；射线是的角平分线；（2）∵垂直平分∴∴∵∴∴∵平分∴18．（2022·江苏·射阳县第四中学三模）已知：如图，，，AC和BD相交于点O．点M是BC的中点，连接OM．(1)求证：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据边边边直接证明两三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质可得，进而证明是等腰三角形，根据三线合一可得，即可求得．【详解】（1）证明：在和中，，∴（SSS）．（2）解：由（1）得：，∴OB=OC∴