长春市重点中学2025届高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

长春市重点中学2025届高二数学第一学期期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.2．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.3．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率A. B.C. D.4．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）A. B.C. D.5．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.56．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点（1，2），为锐角，且，则（）A.-18 B.-6C. D.7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.19．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：①点的横坐标为定值a；②离心率；③；④当轴时，上述结论正确的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④10．设直线，．若，则的值为（）A.或 B.或C. D.11．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.612．如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（）A. B.2.8C. D.2.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则______14．对于下面这个等式我们除了可以用等比数列的求和公式获得，还可以用数学归纳法对其进行证明“”，那么在应用数学归纳法证明时，当验证是否成立时，左边的式子应该是_______15．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________16．给定点、、与点，求点到平面的距离______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设等比数列的前项和为，且（）（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：18．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.19．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.20．（12分）直线经过两直线和的交点（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）若点到直线的距离为，求直线的方程21．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为（1）求抛物线C的标准方程；（2）若AB是过抛物线C的焦点F的弦，以弦AB为直径的圆与直线的位置关系是什么？先给出你的判断结论，再给出你的证明，并作出必要的图形22．（10分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足（1）求数列和的通项公式；（2）令求数列的前n项和；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.【详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：，解得：，代入得，故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，即，化简得：，，，；故选：B.2、D【解析】利用抽样的性质求解【详解】所有学生数为，所以所求概率为.故选：D3、C【解析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.4、A【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.【详解】解：依题意，即，所以，所以，由于，所以故选：A5、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.6、A【解析】由终边上的点可得，由同角三角函数的平方、商数关系有，再应用差角、倍角正切公式即可求.【详解】由题设，，，则，又，，所以.故选：A7、D【解析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.8、B【解析】计算后，根据判断框直接判断即可得解.【详解】输入，计算，判断为否，计算，输出.故选：B.9、C【解析】利用双曲线的定义、几何性质以及题意对选项逐个分析判断即可【详解】对于①，设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a，所以①正确，对于②，因为，所以，化简得，即，解得，因为，所以，所以②正确，对于③，设的内切圆半径为，由双曲线的定义可得，，因为，，所以，所以，所以③正确，对于④，当轴时，可得，此时，所以，所以④错误，故选：C10、A【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】因为，则，解得或.故选：A.11、D【解析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.12、C【解析】根据题意作出辅助线直接求解即可.【详解】如图所示，由题意可知，在中，取的中点，连接，所以，，又因为，所以，所以即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据导数的定义求解即可【详解】由，得，所以，故答案为：14、【解析】根据已知条件，结合数学归纳法的定义，即可求解.【详解】当，，故此时式子左边=.故答案为：.15、【解析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为故答案为：16、【解析】先求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式计算即可.【详解】设平面的法向量为，点到平面的距离为，，，即，令，得故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】（1）由两式相减得，所以（）因为等比，且，所以，所以故（2）由题设得，所以，所以，则，所以18、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.【小问1详解】解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.因为点在G上，所以，所以，.所以椭圆G的方程是.【小问2详解】解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，.因为，所以，则，即，由，得，.所以，解得，即，所以直线l的方程为.19、（1）；（2）过定点，坐标为.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为椭圆离心率为，所以有.椭圆过点，所以，由可解：，所以该椭圆方程为：；【小问2详解】由（1）可知：，设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，当时，直线的方程与椭圆方程联立得：，设，，，因为，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，当时，直线，直线恒过定点，此时与点重合，不符合题意，当时，，直线恒过点，当直线不存在斜率时，此时，，因为，所以，两点不在椭圆上，不符合题意，综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.20、（1）（2）或【解析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程【小问1详解】解：由，解得，所以两直线和的交点为当直线与直线平行，设的方程为，把点代入求得，可得的方程为【小问2详解】解：斜率不存在时，直线方程为，满足点到直线的距离为5当的斜率存在时，设直限的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故的方程为，即综上，直线的方程为或21、（1）；（2）相切，证明过程、图形见解析.【解析】（1）根据抛物线的准线方程，结合抛物线标准方程进行求解即可；（2）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合圆的性质进行求解即可.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，所以设抛物线C的标准方程为：，因为该抛物线的准线方程为，所以有，所以抛物线C的标准方程；小问2详解】以弦AB为直径的圆与直线相切，理由如下：因为AB是过抛物线C的焦点F的弦，所以直线AB的斜率不为零，设椭圆的焦点坐标为，设直线AB的方程为：，则有，设，则有，因此，所以弦AB为直径的圆的圆心的横坐标为：，以弦A