5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题16图形的旋转(真题3个考点模拟10个考点)特训（学生版+解析）VIP

专题16图形的旋转（真题3个考点模拟10个考点）一．中心对称（共1小题）1．（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+2二．作图-旋转变换（共3小题）2．（2022•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．3．（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．4．（2020•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．三．几何变换综合题（共1小题）5．（2023•安徽）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．（1）如图1，求∠ADB的大小；（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．一．生活中的旋转现象（共1小题）1．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（）A． B． C． D．二．旋转的性质（共8小题）2．（2023•蒙城县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，则下列结论不一定正确的是（）A．BC＝CE B．∠D＝∠A C．CE＝AE D．AB⊥DE3．（2023•金安区校级二模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图2，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（）A．64° B．76° C．78° D．82°4．（2023•蚌埠二模）如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE绕点A旋转，连接CD，点F是CD的中点，连接EF，则EF的最小值为（）A．2 B． C． D．5．（2023•定远县二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，现把四边形经过某种操作，可以得到与它面积相等的等腰直角三角形，这个操作可以是（）A．沿BD剪开，并将△BAD绕点D逆时针旋转90° B．沿BD剪开，并将△BAD绕点D顺时针旋转90° C．沿AC剪开，并将△BAD绕点C逆时针旋转90° D．沿AC剪开，并将△BAD绕点C顺时针旋转90°6．（2023•凤阳县二模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF＝3，则BE的长为（）A． B． C．1 D．27．（2023•天长市一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值是（）A． B．2 C．3 D．8．（2023•庐江县模拟）如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．64° B．52° C．42° D．36°9．（2023•雨山区校级一模）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（）A．2 B． C． D．4三．中心对称（共2小题）10．（2023•迎江区校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+211．（2023•滁州二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点E为AD边上一点，且AE＝2，在BC边上存在一点F，CD边上存在一点G，线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值为．四．中心对称图形（共3小题）12．（2023•繁昌县校级模拟）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形13．（2023•庐江县一模）如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下列说法正确的是（）A．这个图形一定是中心对称图形 B．这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形 C．这个图形旋转216度后能与它本身重合 D．这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形14．（2023•庐江县一模）在线段、直线、角、等腰三角形、圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个五．关于原点对称的点的坐标（共2小题）15．（2023•岳西县校级模拟）点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．16．（2023•庐江县模拟）在平面直角坐标系中，点P（2，1）关于原点对称的点的坐标是．六．坐标与图形变化-旋转（共4小题）17．（2023•雨山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B'，则点B'的坐标为．18．（2023•庐江县一模）如图，若将△ABC（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是．19．（2023•烈山区三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为．观察应用：（1）如图，若点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为．（2）在（1）的基础上另取两点B（﹣1，2）、C（﹣1，10）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则P4、P8的坐标为：、．20．（2023•瑶海区三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为（，）．观察应用：（1）如图，若点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为：．（2）在（1）的基础上另取两点B（﹣1，2）、C（﹣1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则P4、P5的坐标分别为：、．七．作图-旋转变换（共22小题）21．（2023•萧县三模）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣3，﹣2），C（﹣2，﹣4）．（1）将△ABC关于y轴对称得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．22．（2023•滁州二模）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；（2）画出将△A1B1C1向左平移4个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点A的坐标是（﹣1，﹣2），则点A经过上述两种变换后的对应点A2的坐标是．23．（2023•濉溪县模拟）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．24．（2023•镜湖区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0），作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2．25．（2023•全椒县二模）在10×10网格中，已知格点△ABC和格点O．（格点为网格线的交点）（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）画出将△A1B1C1向下平移2个单位长度得到的△A2B2C2．26．（2023•全椒县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O和△ABC的顶点都在网格点上．（1）将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以点O为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．27．（2023•来安县二模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向下平移4个单位，再向右平移3个单位，得到△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）以AB边的中点O为旋转中心，将△A'B'C'逆时针旋转90°，得到△DEF，请画出△DEF．​28．（2023•镜湖区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．（1）将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1并写出点A2的坐标．29．（2023•太和县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）以A为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△AB1C1，请画出△AB1C1．（2）将△ABC向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．30．（2023•利辛县模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；（2）已知点M为A′C′的中点，以点M为旋转中心，将线段AB顺时针旋转90°，得到线段DE，请画出线段DE．31．（2023•滁州二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点M是CA上的一点，过点M作MN∥AB交CB于点N，将△CMN绕点C逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到△CDE，连接AD，BE．（1）若，则BE＝．（2）若，点M是CA的中点，且点A，D，E在一条直线上，则BE的长是．32．（2023•舒城县模拟）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，1），B（0，3），C（0，1）．（1）将△ABC向下平移3，得△A′B′C′，画出△A′B′C′；（2）写出点B′的坐标；（3）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得△A″B″C，画出△A″B″C．33．（2023•天长市校级二模）如图，如果图中每个小正方形的边长为一个单位长度，利用网格线作图并填空：（1）作出△ABC向右平移6个单位长度再向下平移2个单位长度以后的△A'B'C'；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（3）写出A'和C1的坐标：A'，C1．34．（2023•金安区校级二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；（2）求△ABC旋转到△A1BC1的过程中，点C所经过的路径长为；AC边扫过的图形面积为．35．（2023•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标依次为A（3，﹣1），B（6，﹣2），C（1，﹣4）．（1）将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1．（2）已知△A2B2C2与△ABC关于原点中心对称，请在图中画出△A2B2C2；（3）若点P（m，n）是△ABC边上的一个动点，则点P在△A2B2C2边上的对应点P2的坐标是．36．（2023•舒城县模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转180°得到，请画出△A2B2C2．37．（2023•砀山县一模）如图，在12×12正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣3，5），C（﹣2，2）．（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△AB1C1，点B，C的对应点分别为点B1，C1，请画出△AB1C1；（2）将△ABC平移至△A2B2C2，其中点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，且点C2的坐标为（﹣2，﹣4），请画出平移后的△A2B2C2．38．（2023•庐阳区校级三模）在边长为1的正方形网格中有格点△ABC（顶点均是网格线的交点）和格点M、N、P．（1）以MN为对称轴作出△ABC的轴对称图形△A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，请画出△A1B1C1；（2）以P为旋转中心将△ABC顺时针旋转一定角度得到△A2B1C2，且B的对称点为B1，请画出△A2B1C2．39．（2023•无为市四模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点（网格线的交点）上，线段PQ在网格线上．（1）画出四边形ABCD关于线段PQ所在直线对称的四边形A'B'C'D'（点A'为点A的对应点）；（2）将四边形ABCD绕AA'的中点M逆时针旋转90°得到四边形EFGH，画出四边形EFGH．40．（2023•肥东县模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（0，3）．把△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1．（1）请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°后得到的△A2BC2．41．（2023•包河区三模）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标均为整数．（1）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A1B1C1；（2）将△ABC向下平移，使点A的对应点落在x轴上，得到△A2B2C2；（3）借助网格用无刻度直尺过O作OH⊥B1C1，垂足为H．​42．（2023•明光市二模）如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．​（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1向右平移8个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）△ABC与△A2B2C2是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．八．利用旋转设计图案（共2小题）43．（2023•蜀山区校级一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转度形成的．44．（2023•雨山区一模）如图①，我们把一个矩形称作一个基本图形，把矩形的顶点及其对称中心称作基本图形的特征点，显然这样的基本图形共有5个特征点，将此基本图形不断地复制并平移，使得相邻两个基本图形的两个特征点重合，这样得到第2个图；第3个图；……．（1）观察图形并完成下表：基本图形的个数1234……特征点的个数5811……猜想：在第“n”个图中特征点的个数为；（用含n的代数式表示）（2）在平面直角坐标系中，点A、点B是坐标轴上的两点，且OA＝1，以OA、OB为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为y＝x，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图②所示，若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、……，则O2022的坐标为．九．几何变换的类型（共1小题）45．（2023•蚌埠模拟）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为．（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．（3）直接写出AC与y轴交点的坐标．一十．几何变换综合题（共15小题）46．（2023•庐阳区校级模拟）已知：在△ABC中，BA＝BC，点E是AC的中点，F是直线BC上一点，连接EF，将△EFC沿着EF折叠，点C的对应点为D，连接AD．（1）如图1，若点D在线段AB上，求证：EF∥AD；（2）如图2，DF与AB交于点M，连接AF，若∠DAF＝∠EAF，求证：点M是AB的中点；（3）如图3，点F在CB延长线上，DF与AB交于点M，EF交AB于点N，若DE＝EN＝3，求MF•MA．47．（2023•池州模拟）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD，CE．（1）直接写出BD与CE的数量关系为；直线BD与CE所夹锐角为度；（2）将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；（3）若AB＝14，AD＝6，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为．48．（2023•岳西县校级模拟）△ABC和△CDE都是等边三角形，连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接GF，GH，BE，AD．（1）如图1，当点B，C，D在一条直线上时，线段GF与GH的数量关系为，∠FGH＝°．（2）当△CDE绕顶点C逆时针旋转到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明．（3）已知△ABC的边长为，△CDE的边长为2，在△CDE由图1的位置绕点C逆时针旋转一周的过程中，当CE⊥AC时，请直接写出FH的长度．49．（2023•淮南二模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．​（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝3，，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．50．（2023•庐阳区校级三模）已知：菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点E是线段AO上一个动点，连接ED，把线段ED以点E为旋转中心逆时针旋转，点D的对应点F落在BA的延长线上．（1）如图1，当AF＝AO时，①求证：△BEF≌△BED；②求tan∠F的值；（2）如图2，当AF＝AE时，求AE的长．​51．（2023•怀远县校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BO是斜边AC的中线，E是射线OB上的一个动点，连接EA，将射线EA绕点E逆时针旋转90°，交射线CB于点F．（1）点E在线段OB上时：①求∠EAB+∠BEF的度数；②线段BF，BE，BC之间的数量关系为；（2）点E在线段OB的延长线上时，②中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论，画出图形，并证明．（3）若AB＝BC＝2，，请直接写出线段BF的长．52．（2023•蚌埠二模）如图1，在△ABC中，AC＝BC，将线段CB绕点C逆时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ACD的平分线CE交AD于点F，交AB的延长线于点E，连接DE．①证明：△BCD∽△AED；②证明：．53．（2023•蚌埠一模）如图1，在△ABC中，AC＝BC，将线段CB绕点C逆时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）求∠BAD的度数；​（2）如图2，若∠ACD的平分线CE交AD于点F，交AB的延长线于点E，连结DE．①证明：△BCD∽△AED；②证明：．54．（2023•舒城县模拟）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝8，AC＝6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．（1）如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE＝2时，则＝；（2）如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；（3）如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．55．（2023•定远县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；（2）当时，求∠AEC的度数；（3）如图2，连接EF，G为EF中点，，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．56．（2023•合肥二模）问题背景：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，在△AEF中，∠AEF＝90°，，连接BF，M是BF中点，连接EM和DM，在△AEF绕点A旋转过程中，线段EM和DM之间存在怎样的数量关系？观察发现：（1）为了探究线段EM和DM之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将△AEF绕点A旋转，使AE与AB重合，如图2，易知EM和DM之间的数量关系为；操作证明：（2）继续将△AEF绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3，（1）中线段EM和DM之间的数量关系仍然成立，请加以证明．问题解决：（3）根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．57．（2023•黄山一模）如图，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上一点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到线段CQ，连接QB．（1）求证：AP＝BQ；（2）连接PB并延长交直线CQ于点D．若PD⊥CQ，①试猜想BC和BQ的数量关系，并证明；②若，求PB的长．58．（2023•庐江县模拟）（1）如图1，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．①求证：AP＝BQ；②连接PB并延长交直线CQ于点D．若PD⊥CQ，AC＝，求PB的长；（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，求CD长．59．（2023•定远县校级一模）已知：如图1，△ABC中，∠CAB＝120°，AC＝AB，点D是BC上一点，其中∠ADC＝a（30°＜a＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE．（1）①当a＝60°时，∠CDE＝．②当∠ADC＝a（30°＜a＜90°）时，∠AEC＝（用含a的代数式表示）；（2）如图2，当a＝45°时，解决以下问题：①已知AD＝2，求CE的值；②证明：．60．（2023•黄山二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．（1）特例发现如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．①求证：∠DAC＝∠EBC；②填空：的值为；（2）类比探究如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．

专题16图形的旋转（真题3个考点模拟个考点）一．中心对称（共1小题）1．（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+2【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出EH，GF，FG即可．【解答】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝×＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长＝3+，故选：A．【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二．作图-旋转变换（共3小题）2．（2022•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．【分析】（1）根据平移的性质可得△A1B1C1；（2）根据旋转的性质可得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．3．（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C1即为所求作．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换或旋转变换的性质，属于中考常考题型．4．（2020•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B2即可．（2）作出点A1的对应点A2即可．【解答】解：（1）如图线段A1B1即为所求．（2）如图，线段B1A2即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．几何变换综合题（共1小题）5．（2023•安徽）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．（1）如图1，求∠ADB的大小；（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．【分析】（1）证MA＝MD＝MB，得∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，再由三角形内角和定理得∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°即可；（2）（i）证四边形EMBD是平行四边形，得DE＝BM＝AM，再证四边形EAMD是平行四边形，进而得平行四边形EAMD是菱形，则∠BAD＝∠CAD，然后证A、C、D、B四点共圆，由圆周角定理得＝，即可得出结论；（ii）过点E作EH⊥AB于点H，由勾股定理得AB＝10，再由菱形的性质得AE＝AM＝5，进而由锐角三角函数定义得EH＝3，则AH＝4，BH＝6，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．【解答】（1）解：∵M是AB的中点，∴MA＝MB，由旋转的性质得：MA＝MD＝MB，∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°，∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，即∠ADB的大小为90°；（2）（i）证明：∵∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵ME⊥AD，∴ME∥BD，∵ED∥BM，∴四边形EMBD是平行四边形，∴DE＝BM＝AM，∴DE∥AM，∴四边形EAMD是平行四边形，∵EM⊥AD，∴平行四边形EAMD是菱形，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A、C、D、B四点共圆，∵∠BCD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝CD；（ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H，则∠EHA＝∠EHB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵四边形EAMD是菱形，∴AE＝AM＝AB＝5，∴sin∠CAB＝＝＝，∴EH＝AE•sin∠CAB＝5×＝3，∴AH＝＝＝4，∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，∴tan∠ABE＝＝＝，即tan∠ABE的值为．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数是解题的关键，属于中考常考题型．一．生活中的旋转现象（共1小题）1．（2023•禹会区模拟）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将如图图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（）A． B． C． D．【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可．【解答】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是．故选：D．【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．二．旋转的性质（共8小题）2．（2023•蒙城县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，则下列结论不一定正确的是（）A．BC＝CE B．∠D＝∠A C．CE＝AE D．AB⊥DE【分析】由旋转的性质可得BC＝CE，∠A＝∠D，由余角的性质可证DE⊥AB，即可求解．【解答】解：如图，延长DE交AB于H，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴BC＝CE，∠A＝∠D，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B+∠D＝90°，∴∠BHD＝90°，∴DE⊥AB，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2023•金安区校级二模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图2，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是（）A．64° B．76° C．78° D．82°【分析】设∠O＝x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝78°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：设∠O＝x，∵OC＝CD，∴∠O＝∠CDO＝x，∴∠DCE＝2x，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∴∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝78°，∴x＝26°，∴∠ECD＝∠CED＝2x＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣52°×2＝76°，故选：B．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．4．（2023•蚌埠二模）如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE绕点A旋转，连接CD，点F是CD的中点，连接EF，则EF的最小值为（）A．2 B． C． D．【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAH，可得BD＝CH，由三角形中位线定理可得EF＝CH＝BD，可得当BD为最小值时，EF有最小值，即可求解．【解答】解：如图，延长DE至H，使EH＝DE，连接BD，AH，CH，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠AED，AD＝AE＝2，又∵DE＝EH，∴AD＝AH，∴∠ADE＝∠AHE＝45°，∴∠DAH＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAH，∴△BAD≌△CAH（SAS），∴BD＝CH，∵DE＝EH，点F是CD的中点，∴EF＝CH＝BD，∴当BD为最小值时，EF有最小值，当点D在AB上时，BD有最小值为4﹣2，∴EF＝2﹣，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．（2023•定远县二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，现把四边形经过某种操作，可以得到与它面积相等的等腰直角三角形，这个操作可以是（）A．沿BD剪开，并将△BAD绕点D逆时针旋转90° B．沿BD剪开，并将△BAD绕点D顺时针旋转90° C．沿AC剪开，并将△BAD绕点C逆时针旋转90° D．沿AC剪开，并将△BAD绕点C顺时针旋转90°【分析】由旋转的性质可得BD＝DH，∠BAD＝∠DCH，通过证明点B，点C，点H三点共线，可得△BDH是等腰直角三角形．【解答】解：如图，沿BD剪开，并将△BAD绕点D逆时针旋转90°，得到△HCD，∴△BAD≌△HCD，∠BDH＝90°，∴BD＝DH，∠BAD＝∠DCH，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD+∠DCH＝180°，∴点B，点C，点H三点共线，∴△BDH是等腰直角三角形，故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．6．（2023•凤阳县二模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF＝3，则BE的长为（）A． B． C．1 D．2【分析】利用SAS证明△EAF≌△EAG，得EF＝EG，设BE＝x，则EF＝EG＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△ECF中，利用勾股定理列方程即可解决问题．【解答】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．∴∠ADF＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠DAF＝∠GAB，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴点G、B、E共线，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠EAF＝∠GAE，∵AE＝AE，∴△EAF≌△EAG（SAS），∴EF＝EG，设BE＝x，则EF＝EG＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△ECF中，由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得x＝2，∴BE＝2，故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明EF＝EG是解题的关键．7．（2023•天长市一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值是（）A． B．2 C．3 D．【分析】利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．（2023•庐江县模拟）如图，在△ABC中，∠CAB＝64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．64° B．52° C．42° D．36°【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′＝∠AC′C＝64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝64°，∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝64°，∴∠CAC′＝180°﹣∠ACC′﹣∠AC′C＝180°﹣2×64°＝52°，∴旋转角为52°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．9．（2023•雨山区校级一模）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（）A．2 B． C． D．4【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解．【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，，∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴点F在与AN成30°的直线上运动，∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，∴AF'＝AN，∴+1＝（AE+AE），∴AE＝2，∴AC＝4，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点F的运动轨迹是解题的关键．三．中心对称（共2小题）10．（2023•迎江区校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+2【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出EH，GF，FG即可．【解答】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝×＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长＝3+，故选：A．【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．（2023•滁州二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点E为AD边上一点，且AE＝2，在BC边上存在一点F，CD边上存在一点G，线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值为4+2．【分析】作E关于CD的对称点M，过M作KT⊥BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH⊥BC于H，由∠ABC＝60°，AB＝8，得BH＝4，AH＝4，而AE＝2，有DE＝6，可得DN＝3，EN＝3，EM＝2EN＝6，在Rt△EMK中，KM＝EM＝3，EK＝KE＝9，故MT＝KT﹣KM＝AH﹣KM＝，根据线段EF平分菱形ABCD的面积和菱形的对称性知CF＝AE＝2，可证∠EFH＝∠EFT＝90°，即可得FM＝＝2，又EF+CG+EG＝EF+CG+GM，知当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小，从而可得△EFG周长的最小值为4+2．【解答】解：作E关于CD的对称点M，过M作KT⊥BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH⊥BC于H，如图：∵∠ABC＝60°，AB＝8，∴BH＝4，AH＝4，∵AE＝2，∴DE＝6，∵∠EDN＝60°，∠END＝90°，∴∠DEN＝30°，DN＝3，EN＝3，∴EM＝2EN＝6，在Rt△EMK中，KM＝EM＝3，EK＝KE＝9，∴MT＝KT﹣KM＝AH﹣KM＝，∵线段EF平分菱形ABCD的面积，∴EF过对称中心，由菱形的对称性知CF＝AE＝2，∴HF＝BC﹣BH﹣CF＝8﹣4﹣2＝2，∴HF＝AE，∵HF∥AE，∠EHF＝90°，∴四边形HFEA是矩形，EF＝AH＝4，∴∠EFH＝∠EFT＝90°，∴四边形EFTK是矩形，∴FT＝EK＝9，∴FM＝＝2，∵EF+CG+EG＝EF+CG+GM，∴当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小，此时△EFG周长的最小值即为EF+FM，∴△EFG周长的最小值为4+2．故答案为：4+2．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，中心对称的性质，勾股定理的应用，确定△PEF周长取值最小时，M，G，F共线是解题的关键．四．中心对称图形（共3小题）12．（2023•繁昌县校级模拟）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．13．（2023•庐江县一模）如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下列说法正确的是（）A．这个图形一定是中心对称图形 B．这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形 C．这个图形旋转216度后能与它本身重合 D．这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形【分析】根据旋转对称性，至少旋转72°，旋转72度可以与原图形重合，则图形可以平分成5个全等的部分，因而是轴对称图形，不可能是中心对称图形，据此即可求解．【解答】解：∵旋转72°可以与原图形重合，则图形可以平分成5个全等的部分，因而可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形，故A，B，D错误．由于216°÷72°＝3，这个图形旋转216°后能与它本身重合，故C选项正确．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，要明确，旋转某一个角度后，图形与原图形重合，这样的图形称为旋转对称图形．14．（2023•庐江县一模）在线段、直线、角、等腰三角形、圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【解答】解：在线段、直线、角、等腰三角形、圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段，圆，共2个，故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．五．关于原点对称的点的坐标（共2小题）15．（2023•岳西县校级模拟）点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可解答．【解答】解：∵P（﹣2，3），∴关于原点对称的点的坐标是P1（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．16．（2023•庐江县模拟）在平面直角坐标系中，点P（2，1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．【解答】解：∵点P（2，1），∴关于原点对称的点是（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查点的对称，解决的关键是对知识点的正确记忆，同时能够根据点的坐标符号确定点所在的象限．六．坐标与图形变化-旋转（共4小题）17．（2023•雨山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B'，则点B'的坐标为（﹣4，8）．【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，∴AN＝3，∴ON＝8，∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOB≌△MOB′（AAS），∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，∴B′（﹣4，8），故答案为：（﹣4，8）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．18．（2023•庐江县一模）如图，若将△ABC（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（2，3）．【分析】解题的关键是应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．【解答】解：由图知A点的坐标为（﹣3，2），根据旋转中心C，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（2，3）．【点评】本题涉及图形变换﹣﹣旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．19．（2023•烈山区三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为．观察应用：（1）如图，若点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为（1，1）．（2）在（1）的基础上另取两点B（﹣1，2）、C（﹣1，10）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则P4、P8的坐标为：（2，﹣1）、（2，3）．【分析】（1）设A（x，y），利用题中公式分别计算出x和y的值即可；（2）利用中心对称的性质画图可得到点P4、P8，从而得到它们的坐标．【解答】解：（1）设A（x，y），∵点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，∴，，∴A点坐标为（1，1）；故答案为：（1，1）；（2）点P4、P8的坐标分别为（2，﹣1），（2，3）．故答案为：（2，﹣1），（2，3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20．（2023•瑶海区三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为（，）．观察应用：（1）如图，若点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为：（1，1）．（2）在（1）的基础上另取两点B（﹣1，2）、C（﹣1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则P4、P5的坐标分别为：（2，﹣1）、（2，3）．【分析】（1）设A（x，y），利用题中公式分别计算出x和y的值即可；（2）利用中心对称的性质画图可得到点P4、P8，从而得到它们的坐标．【解答】解：（1）设A（x，y），∵点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，∴x＝＝1，y＝＝1，∴A点坐标为（1，1）；（2）点P4、P8的坐标分别为（2，﹣1），（2，3）．故答案为：（1，1）；（2，﹣1），（2，3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．七．作图-旋转变换（共22小题）21．（2023•萧县三模）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣3，﹣2），C（﹣2，﹣4）．（1）将△ABC关于y轴对称得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，找到点A1，B1，C1，再分别连接起来即可画出△A1B1C1；（2）根据绕点O顺时针旋转180°的点的坐标特征，找到点A2，B2，C2，再分别连接起来即可画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．【解答】解：（1）∵△A1B1C1和△ABC关于y轴对称，A（﹣1，﹣1），B（﹣3，﹣2），C（﹣2，﹣4），∴A1（1，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣4），连接A1B1，B1C1，C1A1，如图，△A1B1C1即为所求．（2）将（1）中的△A1B1C1绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2，则A2（﹣1，1），B2（﹣3，2），C2（﹣2，4），连接A2B2，B2C2，C2A2，如图，△A2B2C2即为所求．点C2的坐标为（﹣2，4）．【点评】本题考查轴对称作图，旋转作图，掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键．22．（2023•滁州二模）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；（2）画出将△A1B1C1向左平移4个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点A的坐标是（﹣1，﹣2），则点A经过上述两种变换后的对应点A2的坐标是（﹣3，2）．【分析】（1）根据中心对称分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）根据平移分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；（3）根据所画图形，直接写出坐标即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）点A的坐标是（﹣1，﹣2），则点A经过上述两种变换后的对应点A2的坐标是（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查作图——轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（2023•濉溪县模拟）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．【分析】（1）利用点平移的规律找出A1、B1、C1，然后依次描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B2、C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作；（2）如图，△A2B2C1即为所求作．【点评】本题考查了作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．24．（2023•镜湖区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0），作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2．【分析】（1）根据平移前后C点坐标和C1的坐标可画出图形，进而得到坐标即可；（2）将三角形三个顶点分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点，连接即可．【解答】解：（1）由C（﹣4，5）和C1（1，0）可知其平移规律为向右平移5个单位长度，向下平移5个单位长度，如图所示△A1B1C1即为所求，点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）；（2）如图：△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查了旋转变换和平移变换，结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键．25．（2023•全椒县二模）在10×10网格中，已知格点△ABC和格点O．（格点为网格线的交点）（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）画出将△A1B1C1向下平移2个单位长度得到的△A2B2C2．【分析】（1）根据旋转的性质找到A1，B1，C1连接A1C1，B1C1，A1B1即可得到答案；（2）根据平移性质直接找到A2，B2，C2连接A2C2，B2C2，A2B2即可得到答案．【解答】解：（1）根据旋转的性质找到A1，B1，C1连接A1C1，B1C1，A1B1如图所示；（2）解：根据平移性质直接找到A2，B2，C2连接A2C2，B2C2，A2B2，如图所示．【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换与作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与平移的性质．26．（2023•全椒县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O和△ABC的顶点都在网格点上．（1）将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以点O为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．【分析】（1）将点A、B、C分别向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到对应点，再首尾顺次相接即可；（2）将点A1、B1、C1分别绕点O顺时针方向旋转90°，得到对应点，再首尾顺次相接即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查了作图﹣平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．27．（2023•来安县二模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向下平移4个单位，再向右平移3个单位，得到△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）以AB边的中点O为旋转中心，将△A'B'C'逆时针旋转90°，得到△DEF，请画出△DEF．​【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）如图所示，△DEF即为所求．【点评】本题考查了作图﹣平移变换，作图﹣旋转变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键．28．（2023•镜湖区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．（1）将△ABC先向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1并写出点A2的坐标．【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.点A1的坐标为（﹣5，3）．（2）如图，△A2B2C1即为所求．点A2的坐标为（2，4）．【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．29．（2023•太和县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）以A为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△AB1C1，请画出△AB1C1．（2）将△ABC向上平移7个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．【分析】（1）根据旋转的性质作出△AB1C1即可；（2）根据平移的性质作出△A2B2C2．【解答】解：（1）解：如图，△AB1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】此题考查了平移作图，旋转作图，正确掌握平移的性质及旋转的性质是解题的关键．30．（2023•利辛县模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；（2）已知点M为A′C′的中点，以点M为旋转中心，将线段AB顺时针旋转90°，得到线段DE，请画出线段DE．【分析】（1）根据平移的性质可将点A、B、C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，再把平移后得到的点连接，即可得到△A′B′C′；（2）取A′C′的中点M，根据旋转的性质将A、B分别绕点M顺时针旋转90°，把旋转后所得到的点连接，即可得到DE．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）如图，DE即为所求．【点评】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握旋转和平移的性质是解决问题的关键．31．（2023•滁州二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点M是CA上的一点，过点M作MN∥AB交CB于点N，将△CMN绕点C逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到△CDE，连接AD，BE．（1）若，则BE＝．（2）若，点M是CA的中点，且点A，D，E在一条直线上，则BE的长是．【分析】（1）根据旋转的性质可得CN＝CE，∠MCN＝DCE＝90°，再根据平行线的性质可证△CMN是等腰直角三角形，即CM＝CD＝CN＝CE，从而可证△ACD≌△BCE，即可求出结果；（2）由（1）可得CD＝CE，∠DCE＝90°，可得∠CDE＝∠CED＝45°，再由点A，D，E在一条直线上，可得∠ADC＝135°，根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC＝135°，从而求得∠BEA＝90°，利用勾股定理求得AB＝4，DE＝2，在Rt△AEB中，利用勾股定理即可求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CAB＝45°，∵将△CMN绕点C逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到△CDE，∴CN＝CE，∠MCN＝DCE＝90°，又∵MN∥AB，∴∠CMN＝∠CAB＝45°，∴△CMN是等腰直角三角形，∴CM＝CD＝CN＝CE，∵∠MCN＝∠MCD+∠DCN，∠DCE＝∠DCN+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，又∵，∴，故答案为：；（2）由（1）可得CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵点A，D，E在一条直线上，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC＝135°，∴∠BEA＝135°﹣45°＝90°，∵，∴，∵点M是CA的中点，∴，∴，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即（BE+2）2+BE2＝42，解得：或（舍），故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明△ACD≌△BCE是解题的关键．32．（2023•舒城县模拟）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，1），B（0，3），C（0，1）．（1）将△ABC向下平移3，得△A′B′C′，画出△A′B′C′；（2）写出点B′的坐标；（3）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得△A″B″C，画出△A″B″C．【分析】（1）将三个顶点分别向下平移3个单位，再首尾顺次连接即可；（2）由所作图形即可得出答案；（3）将点A、B分别绕点C顺时