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文档简介
专题16图形的旋转(真题3个考点模拟10个考点)一.中心对称(共1小题)1.(2021•安徽)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为()A.3+ B.2+2 C.2+ D.1+2二.作图-旋转变换(共3小题)2.(2022•安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).(1)将△ABC向上平移6个单位,再向右平移2个单位,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)以边AC的中点O为旋转中心,将△ABC按逆时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.3.(2021•安徽)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.(1)将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1,画出△A2B2C1.4.(2020•安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上.(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1,B1分别为A,B的对应点);(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2,画出线段B1A2.三.几何变换综合题(共1小题)5.(2023•安徽)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,点D在直线AB外,连接AD,BD.(1)如图1,求∠ADB的大小;(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB.(i)如图2,连接CD,求证:BD=CD;(ii)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE的值.一.生活中的旋转现象(共1小题)1.(2023•禹会区模拟)北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行,如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”,将如图图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是()A. B. C. D.二.旋转的性质(共8小题)2.(2023•蒙城县二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,则下列结论不一定正确的是()A.BC=CE B.∠D=∠A C.CE=AE D.AB⊥DE3.(2023•金安区校级二模)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.如图2,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,点C固定,点D,E可在槽中滑动,OC=CD=DE.若∠BDE=78°,则∠CDE的度数是()A.64° B.76° C.78° D.82°4.(2023•蚌埠二模)如图,△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠AED=90°,AB=4,AE=2,△ADE绕点A旋转,连接CD,点F是CD的中点,连接EF,则EF的最小值为()A.2 B. C. D.5.(2023•定远县二模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD,现把四边形经过某种操作,可以得到与它面积相等的等腰直角三角形,这个操作可以是()A.沿BD剪开,并将△BAD绕点D逆时针旋转90° B.沿BD剪开,并将△BAD绕点D顺时针旋转90° C.沿AC剪开,并将△BAD绕点C逆时针旋转90° D.沿AC剪开,并将△BAD绕点C顺时针旋转90°6.(2023•凤阳县二模)如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置,点D的对应点是点B.若DF=3,则BE的长为()A. B. C.1 D.27.(2023•天长市一模)如图,在正方形ABCD中,AB=4,G是BC的中点,点E是正方形内一动点,且EG=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,则线段CF长的最小值是()A. B.2 C.3 D.8.(2023•庐江县模拟)如图,在△ABC中,∠CAB=64°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为()A.64° B.52° C.42° D.36°9.(2023•雨山区校级一模)如图,点E是等边三角形△ABC边AC的中点,点D是直线BC上一动点,连接ED,并绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,连接DF.若运动过程中AF的最小值为,则AB的值为()A.2 B. C. D.4三.中心对称(共2小题)10.(2023•迎江区校级三模)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为()A.3+ B.2+2 C.2+ D.1+211.(2023•滁州二模)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=8,点E为AD边上一点,且AE=2,在BC边上存在一点F,CD边上存在一点G,线段EF平分菱形ABCD的面积,则△EFG周长的最小值为.四.中心对称图形(共3小题)12.(2023•繁昌县校级模拟)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.等腰三角形 B.平行四边形 C.等边三角形 D.矩形13.(2023•庐江县一模)如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合,则下列说法正确的是()A.这个图形一定是中心对称图形 B.这个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形 C.这个图形旋转216度后能与它本身重合 D.这个图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形14.(2023•庐江县一模)在线段、直线、角、等腰三角形、圆中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个五.关于原点对称的点的坐标(共2小题)15.(2023•岳西县校级模拟)点P(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是.16.(2023•庐江县模拟)在平面直角坐标系中,点P(2,1)关于原点对称的点的坐标是.六.坐标与图形变化-旋转(共4小题)17.(2023•雨山区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B',则点B'的坐标为.18.(2023•庐江县一模)如图,若将△ABC(点C与点O重合)绕点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C′,则点A的对应点A′的坐标是.19.(2023•烈山区三模)阅读理解:我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)的对称中心的坐标为.观察应用:(1)如图,若点P1(0,﹣1)、P2(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为.(2)在(1)的基础上另取两点B(﹣1,2)、C(﹣1,10).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处,…,则P4、P8的坐标为:、.20.(2023•瑶海区三模)阅读理解:我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点的对称中心的坐标为(,).观察应用:(1)如图,若点P1(0,﹣1)、P2(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为:.(2)在(1)的基础上另取两点B(﹣1,2)、C(﹣1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处,…,则P4、P5的坐标分别为:、.七.作图-旋转变换(共22小题)21.(2023•萧县三模)在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣1,﹣1),B(﹣3,﹣2),C(﹣2,﹣4).(1)将△ABC关于y轴对称得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)将(1)中的△A1B1C1绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2,并写出点C2的坐标.22.(2023•滁州二模)在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点).(1)画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;(2)画出将△A1B1C1向左平移4个单位长度得到的△A2B2C2;(3)若点A的坐标是(﹣1,﹣2),则点A经过上述两种变换后的对应点A2的坐标是.23.(2023•濉溪县模拟)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.(1)将△ABC向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)将△ABC绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.24.(2023•镜湖区校级一模)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,2),B(﹣1,4),C(﹣4,5),请解答下列问题:(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(1,0),作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标;(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2,作出△A2B2C2.25.(2023•全椒县二模)在10×10网格中,已知格点△ABC和格点O.(格点为网格线的交点)(1)画出以点O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°得到的△A1B1C1;(2)画出将△A1B1C1向下平移2个单位长度得到的△A2B2C2.26.(2023•全椒县一模)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点O和△ABC的顶点都在网格点上.(1)将△ABC先向上平移2个单位长度,再向右平移5个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)以点O为旋转中心,将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.27.(2023•来安县二模)如图,在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在格点(网格线的交点)上.(1)将△ABC向下平移4个单位,再向右平移3个单位,得到△A'B'C',请画出△A'B'C';(2)以AB边的中点O为旋转中心,将△A'B'C'逆时针旋转90°,得到△DEF,请画出△DEF.28.(2023•镜湖区校级二模)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,﹣1),B(2,﹣5),C(5,﹣4).(1)将△ABC先向左平移6个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1并写出点A2的坐标.29.(2023•太和县一模)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).(1)以A为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°,得到△AB1C1,请画出△AB1C1.(2)将△ABC向上平移7个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.30.(2023•利辛县模拟)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).(1)将△ABC向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到△A′B′C′,请画出△A′B′C′;(2)已知点M为A′C′的中点,以点M为旋转中心,将线段AB顺时针旋转90°,得到线段DE,请画出线段DE.31.(2023•滁州二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点M是CA上的一点,过点M作MN∥AB交CB于点N,将△CMN绕点C逆时针方向旋转α(0<α<180°)得到△CDE,连接AD,BE.(1)若,则BE=.(2)若,点M是CA的中点,且点A,D,E在一条直线上,则BE的长是.32.(2023•舒城县模拟)如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1).(1)将△ABC向下平移3,得△A′B′C′,画出△A′B′C′;(2)写出点B′的坐标;(3)将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°,得△A″B″C,画出△A″B″C.33.(2023•天长市校级二模)如图,如果图中每个小正方形的边长为一个单位长度,利用网格线作图并填空:(1)作出△ABC向右平移6个单位长度再向下平移2个单位长度以后的△A'B'C';(2)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1;(3)写出A'和C1的坐标:A',C1.34.(2023•金安区校级二模)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上,请按要求完成下列步骤:(1)画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1;(2)求△ABC旋转到△A1BC1的过程中,点C所经过的路径长为;AC边扫过的图形面积为.35.(2023•庐阳区校级三模)如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点坐标依次为A(3,﹣1),B(6,﹣2),C(1,﹣4).(1)将△ABC先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度得到△A1B1C1,请在图中画出△A1B1C1.(2)已知△A2B2C2与△ABC关于原点中心对称,请在图中画出△A2B2C2;(3)若点P(m,n)是△ABC边上的一个动点,则点P在△A2B2C2边上的对应点P2的坐标是.36.(2023•舒城县模拟)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).(1)将△ABC向右平移5个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)以点O为旋转中心,将△A1B1C1按逆时针方向旋转180°得到,请画出△A2B2C2.37.(2023•砀山县一模)如图,在12×12正方形网格中建立平面直角坐标系,每个小正方形的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(﹣3,5),C(﹣2,2).(1)将△ABC以点A为旋转中心旋转180°,得到△AB1C1,点B,C的对应点分别为点B1,C1,请画出△AB1C1;(2)将△ABC平移至△A2B2C2,其中点A,B,C的对应点分别为点A2,B2,C2,且点C2的坐标为(﹣2,﹣4),请画出平移后的△A2B2C2.38.(2023•庐阳区校级三模)在边长为1的正方形网格中有格点△ABC(顶点均是网格线的交点)和格点M、N、P.(1)以MN为对称轴作出△ABC的轴对称图形△A1B1C1,A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1,请画出△A1B1C1;(2)以P为旋转中心将△ABC顺时针旋转一定角度得到△A2B1C2,且B的对称点为B1,请画出△A2B1C2.39.(2023•无为市四模)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,四边形ABCD的顶点均在格点(网格线的交点)上,线段PQ在网格线上.(1)画出四边形ABCD关于线段PQ所在直线对称的四边形A'B'C'D'(点A'为点A的对应点);(2)将四边形ABCD绕AA'的中点M逆时针旋转90°得到四边形EFGH,画出四边形EFGH.40.(2023•肥东县模拟)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣4,1),C(0,3).把△ABC向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1.(1)请画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)画出以点B为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°后得到的△A2BC2.41.(2023•包河区三模)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标均为整数.(1)以原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°得到△A1B1C1;(2)将△ABC向下平移,使点A的对应点落在x轴上,得到△A2B2C2;(3)借助网格用无刻度直尺过O作OH⊥B1C1,垂足为H.42.(2023•明光市二模)如图,已知A,B,C是平面直角坐标系上的三个点.(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1;(2)将△A1B1C1向右平移8个单位得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;(3)△ABC与△A2B2C2是否也关于某个点成中心对称?如果是,请写出它们对称中心的坐标,如果不是,请说明理由.八.利用旋转设计图案(共2小题)43.(2023•蜀山区校级一模)如图所示的美丽图案,可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转度形成的.44.(2023•雨山区一模)如图①,我们把一个矩形称作一个基本图形,把矩形的顶点及其对称中心称作基本图形的特征点,显然这样的基本图形共有5个特征点,将此基本图形不断地复制并平移,使得相邻两个基本图形的两个特征点重合,这样得到第2个图;第3个图;…….(1)观察图形并完成下表:基本图形的个数1234……特征点的个数5811……猜想:在第“n”个图中特征点的个数为;(用含n的代数式表示)(2)在平面直角坐标系中,点A、点B是坐标轴上的两点,且OA=1,以OA、OB为边作一个矩形,其一条对角线所在直线的解析式为y=x,将此矩形作为基本图形不断复制和平移,如图②所示,若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、……,则O2022的坐标为.九.几何变换的类型(共1小题)45.(2023•蚌埠模拟)如图,三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形,分别观察点A与点P,点B与点Q,点C与点R的坐标之间的关系.(1)若三角形ABC内任意一点M的坐标为(x,y),点M经过这种变换后得到点N,根据你的发现,点N的坐标为.(2)若三角形PQR先向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′,画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积.(3)直接写出AC与y轴交点的坐标.一十.几何变换综合题(共15小题)46.(2023•庐阳区校级模拟)已知:在△ABC中,BA=BC,点E是AC的中点,F是直线BC上一点,连接EF,将△EFC沿着EF折叠,点C的对应点为D,连接AD.(1)如图1,若点D在线段AB上,求证:EF∥AD;(2)如图2,DF与AB交于点M,连接AF,若∠DAF=∠EAF,求证:点M是AB的中点;(3)如图3,点F在CB延长线上,DF与AB交于点M,EF交AB于点N,若DE=EN=3,求MF•MA.47.(2023•池州模拟)如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,连接BD,CE.(1)直接写出BD与CE的数量关系为;直线BD与CE所夹锐角为度;(2)将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2,取BC,DE的中点M,N,连接MN,试问:的值是否随图形的旋转而变化?若不变,请求出该值;若变化,请说明理由;(3)若AB=14,AD=6,当图形旋转至B,D,E三点在一条直线上时,请画出图形,并直接写出MN的值为.48.(2023•岳西县校级模拟)△ABC和△CDE都是等边三角形,连接BD,F,G,H分别是AB,BD,DE的中点,连接GF,GH,BE,AD.(1)如图1,当点B,C,D在一条直线上时,线段GF与GH的数量关系为,∠FGH=°.(2)当△CDE绕顶点C逆时针旋转到如图2所示的位置时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出新的结论并证明.(3)已知△ABC的边长为,△CDE的边长为2,在△CDE由图1的位置绕点C逆时针旋转一周的过程中,当CE⊥AC时,请直接写出FH的长度.49.(2023•淮南二模)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB上一点,连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°至CE,连接AE.(1)求证:△BCD≌△ACE;(2)如图2,连接ED,若CD=3,,求AB的长;(3)如图3,若点F为AD的中点,分别连接EB和CF,求证:CF⊥EB.50.(2023•庐阳区校级三模)已知:菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,点E是线段AO上一个动点,连接ED,把线段ED以点E为旋转中心逆时针旋转,点D的对应点F落在BA的延长线上.(1)如图1,当AF=AO时,①求证:△BEF≌△BED;②求tan∠F的值;(2)如图2,当AF=AE时,求AE的长.51.(2023•怀远县校级模拟)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,BO是斜边AC的中线,E是射线OB上的一个动点,连接EA,将射线EA绕点E逆时针旋转90°,交射线CB于点F.(1)点E在线段OB上时:①求∠EAB+∠BEF的度数;②线段BF,BE,BC之间的数量关系为;(2)点E在线段OB的延长线上时,②中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请写出新的结论,画出图形,并证明.(3)若AB=BC=2,,请直接写出线段BF的长.52.(2023•蚌埠二模)如图1,在△ABC中,AC=BC,将线段CB绕点C逆时针旋转90°,得到线段CD,连接AD,BD.(1)求∠BAD的度数;(2)如图2,若∠ACD的平分线CE交AD于点F,交AB的延长线于点E,连接DE.①证明:△BCD∽△AED;②证明:.53.(2023•蚌埠一模)如图1,在△ABC中,AC=BC,将线段CB绕点C逆时针旋转90°,得到线段CD,连接AD,BD.(1)求∠BAD的度数;(2)如图2,若∠ACD的平分线CE交AD于点F,交AB的延长线于点E,连结DE.①证明:△BCD∽△AED;②证明:.54.(2023•舒城县模拟)如图,在△ABC中,∠BCA=90°,BC=8,AC=6,点D是AB边上的中点,点E是BC边上的一个动点,连接DE,将△BDE沿DE翻折得到△FDE.(1)如图①,线段DF与线段BC相交于点G,当BE=2时,则=;(2)如图②,当点E与点C重合时,线段EF与线段AB相交于点P,求DP的长;(3)如图③,连接CD,线段EF与线段CD相交于点M,当△DFM为直角三角形时,求BE的长.55.(2023•定远县校级模拟)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为CA上一动点,E为BC延长线上的动点,始终保持CE=CD.连接BD和AE,将AE绕A点逆时针旋转90°到AF,连接DF.(1)请判断线段BD和AF的位置关系并证明;(2)当时,求∠AEC的度数;(3)如图2,连接EF,G为EF中点,,当D从点C运动到点A的过程中,EF的中点G也随之运动,请求出点G所经过的路径长.56.(2023•合肥二模)问题背景:如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,在△AEF中,∠AEF=90°,,连接BF,M是BF中点,连接EM和DM,在△AEF绕点A旋转过程中,线段EM和DM之间存在怎样的数量关系?观察发现:(1)为了探究线段EM和DM之间的数量关系,可先将图形位置特殊化,将△AEF绕点A旋转,使AE与AB重合,如图2,易知EM和DM之间的数量关系为;操作证明:(2)继续将△AEF绕点A旋转,使AE与AD重合时,如图3,(1)中线段EM和DM之间的数量关系仍然成立,请加以证明.问题解决:(3)根据上述探究的经验,我们回到一般情况,如图1,在其他条件不变的情况下,上述的结论还成立吗?请说明你的理由.57.(2023•黄山一模)如图,过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l,点P为l上一点(不与点A重合),连接CP,将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到线段CQ,连接QB.(1)求证:AP=BQ;(2)连接PB并延长交直线CQ于点D.若PD⊥CQ,①试猜想BC和BQ的数量关系,并证明;②若,求PB的长.58.(2023•庐江县模拟)(1)如图1,过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l,点P为l上点(不与点A重合),连接CP,将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ,连接QB.①求证:AP=BQ;②连接PB并延长交直线CQ于点D.若PD⊥CQ,AC=,求PB的长;(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=45°,将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD,连接CD,若AC=1,BC=3,求CD长.59.(2023•定远县校级一模)已知:如图1,△ABC中,∠CAB=120°,AC=AB,点D是BC上一点,其中∠ADC=a(30°<a<90°),将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED,AE交CB于F,连接CE.(1)①当a=60°时,∠CDE=.②当∠ADC=a(30°<a<90°)时,∠AEC=(用含a的代数式表示);(2)如图2,当a=45°时,解决以下问题:①已知AD=2,求CE的值;②证明:.60.(2023•黄山二模)在△ABC中,∠ACB=90°,=m,D是边BC上一点,将△ABD沿AD折叠得到△AED,连接BE.(1)特例发现如图1,当m=1,AE落在直线AC上时.①求证:∠DAC=∠EBC;②填空:的值为;(2)类比探究如图2,当m≠1,AE与边BC相交时,在AD上取一点G,使∠ACG=∠BCE,CG交AE于点H.探究的值(用含m的式子表示),并写出探究过程;(3)拓展运用在(2)的条件下,当m=,D是BC的中点时,若EB•EH=6,求CG的长.
专题16图形的旋转(真题3个考点模拟个考点)一.中心对称(共1小题)1.(2021•安徽)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为()A.3+ B.2+2 C.2+ D.1+2【分析】证明△BEF是等边三角形,求出EF,同法可证△DGH,△EOH,△OFG都是等边三角形,求出EH,GF,FG即可.【解答】解:如图,连接BD,AC.∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴AB=BC=CD=AD=2,∠BAO=∠DAO=60°,BD⊥AC,∴∠ABO=∠CBO=30°,∴OA=AB=1,OB=OA=,∵OE⊥AB,OF⊥BC,∴∠BEO=∠BFO=90°,在△BEO和△BFO中,,∴△BEO≌△BFO(AAS),∴OE=OF,BE=BF,∵∠EBF=60°,∴△BEF是等边三角形,∴EF=BE=×=,同法可证,△DGH,△OEH,△OFG都是等边三角形,∴EF=GH=,EH=FG=,∴四边形EFGH的周长=3+,故选:A.【点评】本题考查中心对称,菱形的性质,等边三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.二.作图-旋转变换(共3小题)2.(2022•安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).(1)将△ABC向上平移6个单位,再向右平移2个单位,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)以边AC的中点O为旋转中心,将△ABC按逆时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.【分析】(1)根据平移的性质可得△A1B1C1;(2)根据旋转的性质可得△A2B2C2.【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;(2)如图,△A2B2C2即为所求.【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换,旋转变换,熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键.3.(2021•安徽)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.(1)将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1,画出△A2B2C1.【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.(2)利用旋转变换的性质分别作出A1,B1的对应点A2,B2即可.【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作.(2)如图,△A2B2C1即为所求作.【点评】本题考查作图﹣旋转变换,平移变换等知识,解题的关键是熟练掌握平移变换或旋转变换的性质,属于中考常考题型.4.(2020•安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB,线段MN在网格线上.(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1,B1分别为A,B的对应点);(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2,画出线段B1A2.【分析】(1)分别作出A,B的对应点A1,B2即可.(2)作出点A1的对应点A2即可.【解答】解:(1)如图线段A1B1即为所求.(2)如图,线段B1A2即为所求.【点评】本题考查作图﹣旋转变换,轴对称变换等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.三.几何变换综合题(共1小题)5.(2023•安徽)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,点D在直线AB外,连接AD,BD.(1)如图1,求∠ADB的大小;(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB.(i)如图2,连接CD,求证:BD=CD;(ii)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE的值.【分析】(1)证MA=MD=MB,得∠MAD=∠MDA,∠MDB=∠MBD,再由三角形内角和定理得∠ADB=∠MDA+∠MDB=90°即可;(2)(i)证四边形EMBD是平行四边形,得DE=BM=AM,再证四边形EAMD是平行四边形,进而得平行四边形EAMD是菱形,则∠BAD=∠CAD,然后证A、C、D、B四点共圆,由圆周角定理得=,即可得出结论;(ii)过点E作EH⊥AB于点H,由勾股定理得AB=10,再由菱形的性质得AE=AM=5,进而由锐角三角函数定义得EH=3,则AH=4,BH=6,然后由锐角三角函数定义即可得出结论.【解答】(1)解:∵M是AB的中点,∴MA=MB,由旋转的性质得:MA=MD=MB,∴∠MAD=∠MDA,∠MDB=∠MBD,∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD=180°,∴∠ADB=∠MDA+∠MDB=90°,即∠ADB的大小为90°;(2)(i)证明:∵∠ADB=90°,∴AD⊥BD,∵ME⊥AD,∴ME∥BD,∵ED∥BM,∴四边形EMBD是平行四边形,∴DE=BM=AM,∴DE∥AM,∴四边形EAMD是平行四边形,∵EM⊥AD,∴平行四边形EAMD是菱形,∴∠BAD=∠CAD,又∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、C、D、B四点共圆,∵∠BCD=∠CAD,∴=,∴BD=CD;(ii)解:如图3,过点E作EH⊥AB于点H,则∠EHA=∠EHB=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB===10,∵四边形EAMD是菱形,∴AE=AM=AB=5,∴sin∠CAB===,∴EH=AE•sin∠CAB=5×=3,∴AH===4,∴BH=AB﹣AH=10﹣4=6,∴tan∠ABE===,即tan∠ABE的值为.【点评】本题是几何变换综合题目,考查了旋转的性质,平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,四点共圆,圆周角定理以及锐角三角函数定义等知识,本题综合性强,熟练掌握菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数是解题的关键,属于中考常考题型.一.生活中的旋转现象(共1小题)1.(2023•禹会区模拟)北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行,如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”,将如图图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是()A. B. C. D.【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可.【解答】解:如图所示:“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是.故选:D.【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象,正确掌握旋转方向是解题关键.二.旋转的性质(共8小题)2.(2023•蒙城县二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,则下列结论不一定正确的是()A.BC=CE B.∠D=∠A C.CE=AE D.AB⊥DE【分析】由旋转的性质可得BC=CE,∠A=∠D,由余角的性质可证DE⊥AB,即可求解.【解答】解:如图,延长DE交AB于H,∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,∴BC=CE,∠A=∠D,∵∠A+∠B=90°,∴∠B+∠D=90°,∴∠BHD=90°,∴DE⊥AB,故选:C.【点评】本题考查了旋转的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.3.(2023•金安区校级二模)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.如图2,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,点C固定,点D,E可在槽中滑动,OC=CD=DE.若∠BDE=78°,则∠CDE的度数是()A.64° B.76° C.78° D.82°【分析】设∠O=x,根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE=∠O+∠OED=3x=78°,再根据三角形内角和定理即可解决问题.【解答】解:设∠O=x,∵OC=CD,∴∠O=∠CDO=x,∴∠DCE=2x,∵DC=DE,∴∠DCE=∠DEC=2x,∴∠BDE=∠O+∠OED=3x=78°,∴x=26°,∴∠ECD=∠CED=2x=52°,∴∠CDE=180°﹣(∠ECD+∠CED)=180°﹣52°×2=76°,故选:B.【点评】本题主要考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,三角形外角的性质,三角形内角和定理等知识,熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.4.(2023•蚌埠二模)如图,△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠AED=90°,AB=4,AE=2,△ADE绕点A旋转,连接CD,点F是CD的中点,连接EF,则EF的最小值为()A.2 B. C. D.【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAH,可得BD=CH,由三角形中位线定理可得EF=CH=BD,可得当BD为最小值时,EF有最小值,即可求解.【解答】解:如图,延长DE至H,使EH=DE,连接BD,AH,CH,∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠BAC=90°=∠AED,AD=AE=2,又∵DE=EH,∴AD=AH,∴∠ADE=∠AHE=45°,∴∠DAH=90°=∠BAC,∴∠BAD=∠CAH,∴△BAD≌△CAH(SAS),∴BD=CH,∵DE=EH,点F是CD的中点,∴EF=CH=BD,∴当BD为最小值时,EF有最小值,当点D在AB上时,BD有最小值为4﹣2,∴EF=2﹣,故选:B.【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,三角形中位线定理等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.5.(2023•定远县二模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD,现把四边形经过某种操作,可以得到与它面积相等的等腰直角三角形,这个操作可以是()A.沿BD剪开,并将△BAD绕点D逆时针旋转90° B.沿BD剪开,并将△BAD绕点D顺时针旋转90° C.沿AC剪开,并将△BAD绕点C逆时针旋转90° D.沿AC剪开,并将△BAD绕点C顺时针旋转90°【分析】由旋转的性质可得BD=DH,∠BAD=∠DCH,通过证明点B,点C,点H三点共线,可得△BDH是等腰直角三角形.【解答】解:如图,沿BD剪开,并将△BAD绕点D逆时针旋转90°,得到△HCD,∴△BAD≌△HCD,∠BDH=90°,∴BD=DH,∠BAD=∠DCH,∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCD+∠DCH=180°,∴点B,点C,点H三点共线,∴△BDH是等腰直角三角形,故选:A.【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,掌握旋转的性质是解题的关键.6.(2023•凤阳县二模)如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置,点D的对应点是点B.若DF=3,则BE的长为()A. B. C.1 D.2【分析】利用SAS证明△EAF≌△EAG,得EF=EG,设BE=x,则EF=EG=x+3,CE=6﹣x,在Rt△ECF中,利用勾股定理列方程即可解决问题.【解答】解:∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置,点D的对应点是点B.∴∠ADF=∠ABG=90°,AF=AG,∠DAF=∠GAB,∴∠ABG+∠ABE=180°,∴点G、B、E共线,∵∠EAF=45°,∴∠DAF=∠BAE=∠GAB+∠BAE=45°,∴∠EAF=∠GAE,∵AE=AE,∴△EAF≌△EAG(SAS),∴EF=EG,设BE=x,则EF=EG=x+3,CE=6﹣x,在Rt△ECF中,由勾股定理得,32+(6﹣x)2=(x+3)2,解得x=2,∴BE=2,故选:D.【点评】本题主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,证明EF=EG是解题的关键.7.(2023•天长市一模)如图,在正方形ABCD中,AB=4,G是BC的中点,点E是正方形内一动点,且EG=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,则线段CF长的最小值是()A. B.2 C.3 D.【分析】利用SAS证明△EDG≌△DFM,得MF=EG=2,再说明△DGC≌△DMH(AAS),得CG=DH=2,MH=CD=4,求出CM的长,再利用三角形三边关系可得答案.【解答】解:连接DG,将DG绕点D逆时针旋转90°得DM,连接MG,CM,MF,作MH⊥CD于H,∵∠EDF=∠GDM,∴∠EDG=∠FDM,∵DE=DF,DG=DM,∴△EDG≌△MDF(SAS),∴MF=EG=2,∵∠GDC=∠DMH,∠DCG=∠DHM,DG=DM,∴△DGC≌△MDH(AAS),∴CG=DH=2,MH=CD=4,∴CM===2,∵CF≥CM﹣MF,∴CF的最小值为2﹣2,故选:A.【点评】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,三角形三边关系等知识,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.8.(2023•庐江县模拟)如图,在△ABC中,∠CAB=64°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为()A.64° B.52° C.42° D.36°【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°,再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角,AC=AC′,则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°,然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数,从而得到旋转角的度数.【解答】解:∵CC′∥AB,∴∠ACC′=∠CAB=64°,∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,∴∠CAC′等于旋转角,AC=AC′,∴∠ACC′=∠AC′C=64°,∴∠CAC′=180°﹣∠ACC′﹣∠AC′C=180°﹣2×64°=52°,∴旋转角为52°.故选:B.【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.9.(2023•雨山区校级一模)如图,点E是等边三角形△ABC边AC的中点,点D是直线BC上一动点,连接ED,并绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,连接DF.若运动过程中AF的最小值为,则AB的值为()A.2 B. C. D.4【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE,可得∠N=∠CBE=30°,则点N在与AN成30°的直线上运动,当AF'⊥F'N时,AF'有最小值,即可求解.【解答】解:如图,连接BE,延长AC至N,使EN=BE,连接FN,∵△ABC是等边三角形,E是AC的中点,∴AE=EC,∠ABE=∠CBE=30°,BE⊥AC,∴∠BEN=∠DEF=90°,BE=AE,∴∠BED=∠CEF,在△BDE和△NFE中,,∴△BDE≌△NFE(SAS),∴∠N=∠CBE=30°,∴点F在与AN成30°的直线上运动,∴当AF'⊥F'N时,AF'有最小值,∴AF'=AN,∴+1=(AE+AE),∴AE=2,∴AC=4,故选:D.【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,确定点F的运动轨迹是解题的关键.三.中心对称(共2小题)10.(2023•迎江区校级三模)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为()A.3+ B.2+2 C.2+ D.1+2【分析】证明△BEF是等边三角形,求出EF,同法可证△DGH,△EOH,△OFG都是等边三角形,求出EH,GF,FG即可.【解答】解:如图,连接BD,AC.∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴AB=BC=CD=AD=2,∠BAO=∠DAO=60°,BD⊥AC,∴∠ABO=∠CBO=30°,∴OA=AB=1,OB=OA=,∵OE⊥AB,OF⊥BC,∴∠BEO=∠BFO=90°,在△BEO和△BFO中,,∴△BEO≌△BFO(AAS),∴OE=OF,BE=BF,∵∠EBF=60°,∴△BEF是等边三角形,∴EF=BE=×=,同法可证,△DGH,△OEH,△OFG都是等边三角形,∴EF=GH=,EH=FG=,∴四边形EFGH的周长=3+,故选:A.【点评】本题考查中心对称,菱形的性质,等边三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.11.(2023•滁州二模)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=8,点E为AD边上一点,且AE=2,在BC边上存在一点F,CD边上存在一点G,线段EF平分菱形ABCD的面积,则△EFG周长的最小值为4+2.【分析】作E关于CD的对称点M,过M作KT⊥BC交BC延长线于T,交AD延长线于K,连接FM交DC于G,过A作AH⊥BC于H,由∠ABC=60°,AB=8,得BH=4,AH=4,而AE=2,有DE=6,可得DN=3,EN=3,EM=2EN=6,在Rt△EMK中,KM=EM=3,EK=KE=9,故MT=KT﹣KM=AH﹣KM=,根据线段EF平分菱形ABCD的面积和菱形的对称性知CF=AE=2,可证∠EFH=∠EFT=90°,即可得FM==2,又EF+CG+EG=EF+CG+GM,知当M,G,F共线时,EF+CG+EG,即△EFG周长的最小,从而可得△EFG周长的最小值为4+2.【解答】解:作E关于CD的对称点M,过M作KT⊥BC交BC延长线于T,交AD延长线于K,连接FM交DC于G,过A作AH⊥BC于H,如图:∵∠ABC=60°,AB=8,∴BH=4,AH=4,∵AE=2,∴DE=6,∵∠EDN=60°,∠END=90°,∴∠DEN=30°,DN=3,EN=3,∴EM=2EN=6,在Rt△EMK中,KM=EM=3,EK=KE=9,∴MT=KT﹣KM=AH﹣KM=,∵线段EF平分菱形ABCD的面积,∴EF过对称中心,由菱形的对称性知CF=AE=2,∴HF=BC﹣BH﹣CF=8﹣4﹣2=2,∴HF=AE,∵HF∥AE,∠EHF=90°,∴四边形HFEA是矩形,EF=AH=4,∴∠EFH=∠EFT=90°,∴四边形EFTK是矩形,∴FT=EK=9,∴FM==2,∵EF+CG+EG=EF+CG+GM,∴当M,G,F共线时,EF+CG+EG,即△EFG周长的最小,此时△EFG周长的最小值即为EF+FM,∴△EFG周长的最小值为4+2.故答案为:4+2.【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,矩形的性质,中心对称的性质,勾股定理的应用,确定△PEF周长取值最小时,M,G,F共线是解题的关键.四.中心对称图形(共3小题)12.(2023•繁昌县校级模拟)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.等腰三角形 B.平行四边形 C.等边三角形 D.矩形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解.【解答】解:A.等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;B.平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不合题意;C.等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;D.矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项符合题意.故选:D.【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.13.(2023•庐江县一模)如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合,则下列说法正确的是()A.这个图形一定是中心对称图形 B.这个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形 C.这个图形旋转216度后能与它本身重合 D.这个图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形【分析】根据旋转对称性,至少旋转72°,旋转72度可以与原图形重合,则图形可以平分成5个全等的部分,因而是轴对称图形,不可能是中心对称图形,据此即可求解.【解答】解:∵旋转72°可以与原图形重合,则图形可以平分成5个全等的部分,因而可能是轴对称图形,不可能是中心对称图形,故A,B,D错误.由于216°÷72°=3,这个图形旋转216°后能与它本身重合,故C选项正确.故选:C.【点评】本题考查了旋转对称图形,要明确,旋转某一个角度后,图形与原图形重合,这样的图形称为旋转对称图形.14.(2023•庐江县一模)在线段、直线、角、等腰三角形、圆中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,进行逐一判断即可.【解答】解:在线段、直线、角、等腰三角形、圆中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有线段,圆,共2个,故选:A.【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.五.关于原点对称的点的坐标(共2小题)15.(2023•岳西县校级模拟)点P(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,﹣3).【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可解答.【解答】解:∵P(﹣2,3),∴关于原点对称的点的坐标是P1(2,﹣3),故答案为:(2,﹣3).【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征,掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.16.(2023•庐江县模拟)在平面直角坐标系中,点P(2,1)关于原点对称的点的坐标是(﹣2,﹣1).【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),即关于原点的对称点,横、纵坐标都变成相反数.【解答】解:∵点P(2,1),∴关于原点对称的点是(﹣2,﹣1).故答案为:(﹣2,﹣1).【点评】本题考查点的对称,解决的关键是对知识点的正确记忆,同时能够根据点的坐标符号确定点所在的象限.六.坐标与图形变化-旋转(共4小题)17.(2023•雨山区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B',则点B'的坐标为(﹣4,8).【分析】过点B作BN⊥x轴,过点B′作B′M⊥y轴,先求出ON=8,再证明△AOB≌△A′OB′(AAS),推出OM=ON=8,B′M=BN=4,从而求出点B′的坐标.【解答】解:过点B作BN⊥x轴,过点B′作B′M⊥y轴,∴∠B′MO=∠BNO=90°,∵OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,∴AN=3,∴ON=8,∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到△OA′B′,∴∠BOB′=90°,OB=OB′,∴∠BOA′+∠B′OA′=∠BOA+∠BOA′,∴∠BOA=∠B′OA′,∴△NOB≌△MOB′(AAS),∴OM=ON=8,B′M=BN=4,∴B′(﹣4,8),故答案为:(﹣4,8).【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、等腰三角形的性质、勾股定理,掌握这几个知识点的综合应用,其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键.18.(2023•庐江县一模)如图,若将△ABC(点C与点O重合)绕点O顺时针旋转90°后得到△A′B′C′,则点A的对应点A′的坐标是(2,3).【分析】解题的关键是应抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度,通过画图求解.【解答】解:由图知A点的坐标为(﹣3,2),根据旋转中心C,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图,从而得A′点坐标为(2,3).【点评】本题涉及图形变换﹣﹣旋转,体现了新课标的精神,应抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度,通过画图求解.19.(2023•烈山区三模)阅读理解:我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)的对称中心的坐标为.观察应用:(1)如图,若点P1(0,﹣1)、P2(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为(1,1).(2)在(1)的基础上另取两点B(﹣1,2)、C(﹣1,10).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处,…,则P4、P8的坐标为:(2,﹣1)、(2,3).【分析】(1)设A(x,y),利用题中公式分别计算出x和y的值即可;(2)利用中心对称的性质画图可得到点P4、P8,从而得到它们的坐标.【解答】解:(1)设A(x,y),∵点P1(0,﹣1)、P2(2,3)的对称中心是点A,∴,,∴A点坐标为(1,1);故答案为:(1,1);(2)点P4、P8的坐标分别为(2,﹣1),(2,3).故答案为:(2,﹣1),(2,3).【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.20.(2023•瑶海区三模)阅读理解:我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点的对称中心的坐标为(,).观察应用:(1)如图,若点P1(0,﹣1)、P2(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为:(1,1).(2)在(1)的基础上另取两点B(﹣1,2)、C(﹣1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处,…,则P4、P5的坐标分别为:(2,﹣1)、(2,3).【分析】(1)设A(x,y),利用题中公式分别计算出x和y的值即可;(2)利用中心对称的性质画图可得到点P4、P8,从而得到它们的坐标.【解答】解:(1)设A(x,y),∵点P1(0,﹣1)、P2(2,3)的对称中心是点A,∴x==1,y==1,∴A点坐标为(1,1);(2)点P4、P8的坐标分别为(2,﹣1),(2,3).故答案为:(1,1);(2,﹣1),(2,3).【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.七.作图-旋转变换(共22小题)21.(2023•萧县三模)在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣1,﹣1),B(﹣3,﹣2),C(﹣2,﹣4).(1)将△ABC关于y轴对称得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)将(1)中的△A1B1C1绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2,并写出点C2的坐标.【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特征,找到点A1,B1,C1,再分别连接起来即可画出△A1B1C1;(2)根据绕点O顺时针旋转180°的点的坐标特征,找到点A2,B2,C2,再分别连接起来即可画出△A2B2C2,并写出点C2的坐标即可.【解答】解:(1)∵△A1B1C1和△ABC关于y轴对称,A(﹣1,﹣1),B(﹣3,﹣2),C(﹣2,﹣4),∴A1(1,﹣1),B1(3,﹣2),C1(2,﹣4),连接A1B1,B1C1,C1A1,如图,△A1B1C1即为所求.(2)将(1)中的△A1B1C1绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2,则A2(﹣1,1),B2(﹣3,2),C2(﹣2,4),连接A2B2,B2C2,C2A2,如图,△A2B2C2即为所求.点C2的坐标为(﹣2,4).【点评】本题考查轴对称作图,旋转作图,掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键.22.(2023•滁州二模)在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点).(1)画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;(2)画出将△A1B1C1向左平移4个单位长度得到的△A2B2C2;(3)若点A的坐标是(﹣1,﹣2),则点A经过上述两种变换后的对应点A2的坐标是(﹣3,2).【分析】(1)根据中心对称分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可;(2)根据平移分别作出点A1,B1,C1的对应点A2,B2,C2即可;(3)根据所画图形,直接写出坐标即可.【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;(3)点A的坐标是(﹣1,﹣2),则点A经过上述两种变换后的对应点A2的坐标是(﹣3,2).故答案为:(﹣3,2).【点评】本题考查作图——轴对称变换,平移变换等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.23.(2023•濉溪县模拟)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.(1)将△ABC向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)将△ABC绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.【分析】(1)利用点平移的规律找出A1、B1、C1,然后依次描点即可;(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B2、C2即可.【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作;(2)如图,△A2B2C1即为所求作.【点评】本题考查了作图﹣平移变换、旋转变换,熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键.24.(2023•镜湖区校级一模)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,2),B(﹣1,4),C(﹣4,5),请解答下列问题:(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(1,0),作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标;(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2,作出△A2B2C2.【分析】(1)根据平移前后C点坐标和C1的坐标可画出图形,进而得到坐标即可;(2)将三角形三个顶点分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点,连接即可.【解答】解:(1)由C(﹣4,5)和C1(1,0)可知其平移规律为向右平移5个单位长度,向下平移5个单位长度,如图所示△A1B1C1即为所求,点A1(3,﹣3),B1(4,﹣1);(2)如图:△A2B2C2即为所求.【点评】本题考查了旋转变换和平移变换,结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键.25.(2023•全椒县二模)在10×10网格中,已知格点△ABC和格点O.(格点为网格线的交点)(1)画出以点O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°得到的△A1B1C1;(2)画出将△A1B1C1向下平移2个单位长度得到的△A2B2C2.【分析】(1)根据旋转的性质找到A1,B1,C1连接A1C1,B1C1,A1B1即可得到答案;(2)根据平移性质直接找到A2,B2,C2连接A2C2,B2C2,A2B2即可得到答案.【解答】解:(1)根据旋转的性质找到A1,B1,C1连接A1C1,B1C1,A1B1如图所示;(2)解:根据平移性质直接找到A2,B2,C2连接A2C2,B2C2,A2B2,如图所示.【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换与作图﹣平移变换,解题的关键是熟练掌握旋转的性质与平移的性质.26.(2023•全椒县一模)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点O和△ABC的顶点都在网格点上.(1)将△ABC先向上平移2个单位长度,再向右平移5个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;(2)以点O为旋转中心,将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.【分析】(1)将点A、B、C分别向上平移2个单位长度,再向右平移5个单位长度,得到对应点,再首尾顺次相接即可;(2)将点A1、B1、C1分别绕点O顺时针方向旋转90°,得到对应点,再首尾顺次相接即可.【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.【点评】本题考查了作图﹣平移变换、旋转变换,解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质,并据此得到变换后的对应点.27.(2023•来安县二模)如图,在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在格点(网格线的交点)上.(1)将△ABC向下平移4个单位,再向右平移3个单位,得到△A'B'C',请画出△A'B'C';(2)以AB边的中点O为旋转中心,将△A'B'C'逆时针旋转90°,得到△DEF,请画出△DEF.【分析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解;(2)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解.【解答】解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求;(2)如图所示,△DEF即为所求.【点评】本题考查了作图﹣平移变换,作图﹣旋转变换,熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键.28.(2023•镜湖区校级二模)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,﹣1),B(2,﹣5),C(5,﹣4).(1)将△ABC先向左平移6个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1并写出点A2的坐标.【分析】(1)根据平移的性质作图,即可得出答案.(2)根据旋转的性质作图,即可得出答案.【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.点A1的坐标为(﹣5,3).(2)如图,△A2B2C1即为所求.点A2的坐标为(2,4).【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换,熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键.29.(2023•太和县一模)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).(1)以A为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°,得到△AB1C1,请画出△AB1C1.(2)将△ABC向上平移7个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.【分析】(1)根据旋转的性质作出△AB1C1即可;(2)根据平移的性质作出△A2B2C2.【解答】解:(1)解:如图,△AB1C1即为所求;(2)如图,△A2B2C2即为所求.【点评】此题考查了平移作图,旋转作图,正确掌握平移的性质及旋转的性质是解题的关键.30.(2023•利辛县模拟)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).(1)将△ABC向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到△A′B′C′,请画出△A′B′C′;(2)已知点M为A′C′的中点,以点M为旋转中心,将线段AB顺时针旋转90°,得到线段DE,请画出线段DE.【分析】(1)根据平移的性质可将点A、B、C向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,再把平移后得到的点连接,即可得到△A′B′C′;(2)取A′C′的中点M,根据旋转的性质将A、B分别绕点M顺时针旋转90°,把旋转后所得到的点连接,即可得到DE.【解答】解:(1)如图,△A′B′C′即为所求.(2)如图,DE即为所求.【点评】本题考查了平移变换和旋转变换作图,熟练掌握旋转和平移的性质是解决问题的关键.31.(2023•滁州二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点M是CA上的一点,过点M作MN∥AB交CB于点N,将△CMN绕点C逆时针方向旋转α(0<α<180°)得到△CDE,连接AD,BE.(1)若,则BE=.(2)若,点M是CA的中点,且点A,D,E在一条直线上,则BE的长是.【分析】(1)根据旋转的性质可得CN=CE,∠MCN=DCE=90°,再根据平行线的性质可证△CMN是等腰直角三角形,即CM=CD=CN=CE,从而可证△ACD≌△BCE,即可求出结果;(2)由(1)可得CD=CE,∠DCE=90°,可得∠CDE=∠CED=45°,再由点A,D,E在一条直线上,可得∠ADC=135°,根据△ACD≌△BCE,可得∠ADC=∠BEC=135°,从而求得∠BEA=90°,利用勾股定理求得AB=4,DE=2,在Rt△AEB中,利用勾股定理即可求得结果.【解答】解:∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠CAB=45°,∵将△CMN绕点C逆时针方向旋转α(0<α<180°)得到△CDE,∴CN=CE,∠MCN=DCE=90°,又∵MN∥AB,∴∠CMN=∠CAB=45°,∴△CMN是等腰直角三角形,∴CM=CD=CN=CE,∵∠MCN=∠MCD+∠DCN,∠DCE=∠DCN+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD,又∵,∴,故答案为:;(2)由(1)可得CD=CE,∠DCE=90°,∴∠CDE=∠CED=45°,∵点A,D,E在一条直线上,∴∠ADC=180°﹣45°=135°,∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC=135°,∴∠BEA=135°﹣45°=90°,∵,∴,∵点M是CA的中点,∴,∴,在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,即(BE+2)2+BE2=42,解得:或(舍),故答案为:.【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质及勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质证明△ACD≌△BCE是解题的关键.32.(2023•舒城县模拟)如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1).(1)将△ABC向下平移3,得△A′B′C′,画出△A′B′C′;(2)写出点B′的坐标;(3)将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°,得△A″B″C,画出△A″B″C.【分析】(1)将三个顶点分别向下平移3个单位,再首尾顺次连接即可;(2)由所作图形即可得出答案;(3)将点A、B分别绕点C顺时
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