高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲正弦定理和余弦定理(专题测试)特训（学生版+解析）

必修5第1讲正弦定理和余弦定理（专题测试）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题）1．（2020•4月份模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，B＝，c＝3，则a＝（）A． B．2 C．3 D．42．（2020•涪城区校级模拟）在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C． D．3．（2020春•全国月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2c＝2bcosA，则角B的大小为（）A． B． C． D．4．（2020•兴庆区校级一模）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，则S△ABC＝（）A． B． C． D．5．（2020•重庆模拟）在△ABC中，，BC＝2，则△ABC外接圆的面积为（）A．π B．3π C．4π D．9π6．（2020春•成都期中）在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形7．（2020•汕头一模）△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（）A．1 B． C．2 D．28．（2020•马鞍山二模）已知△ABC外接圆面积为π，cosA＝﹣，则△ABC周长的最大值为（）A． B． C．3 D．9．（2020•全国Ⅰ卷模拟）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，BC＝CD，则∠ADB的最大值为（）A． B． C． D．10．（2020•贵州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，a＝，则b+c的取值范围是（）A．（1，） B．（] C．（） D．（]

第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题）11．（2020•东莞市模拟）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB＝bsinA，则B＝．12．（2020•北京模拟）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝，△ABC的面积为．13．（2020•汉中模拟）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．14．（2020•山东模拟）已知f（x）＝，A，B，C是锐角△ABC的三个内角，且）f（A﹣）＝，则A＝，若BC＝，sinB＝，则AC的长度为．三．解答题（共3小题）15．（2020•黑龙江模拟）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知acosB＝bcosA+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．16．（2020•房山区一模）在△ABC中，a＝，c＝，________．（补充条件）（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（A+B）．从①b＝4，②cosB＝﹣，③sinA＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17．（2020•达州模拟）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，（2a+c）cosB+bcosC＝0．（1）求B；（2）若c＝2，B的角平分线BD＝1，求△ABC的面积S△ABC．必修5第1讲正弦定理和余弦定理（专题测试）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2020•4月份模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，B＝，c＝3，则a＝（）A． B．2 C．3 D．4【解析】解：∵A＝，B＝，∴C＝，∵c＝3，由正弦定理可得，，则a＝＝＝3．故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题、2．（2020•涪城区校级模拟）在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C． D．【解析】解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝9＝37．故c＝．故选：D．【点睛】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．3．（2020春•全国月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2c＝2bcosA，则角B的大小为（）A． B． C． D．【解析】解：因为a+2c＝2bcosA＝2b整理可得，a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理可得，cosB＝﹣则B＝．故选：A．【点睛】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．4．（2020•兴庆区校级一模）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，则S△ABC＝（）A． B． C． D．【解析】解：由余弦定理可得，cosC＝，即﹣＝，解可得a＝1，则S△ABC＝＝＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．5．（2020•重庆模拟）在△ABC中，，BC＝2，则△ABC外接圆的面积为（）A．π B．3π C．4π D．9π【解析】解：设△ABC外接圆的半径为r，由正弦定理可得：，可得r＝2．可得△ABC外接圆的面积为4π．故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了圆的面积公式，属于基础题．6．（2020春•成都期中）在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形【解析】解：∵，又∵cosC＝，∴＝，整理可得：b2＝c2，∴解得：b＝c．即三角形一定为等腰三角形．故选：A．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．（2020•汕头一模）△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（）A．1 B． C．2 D．2【解析】解：由（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，即a2＝b2+c2﹣bc，所以由余弦定理可得：cosA＝＝，而A∈（0，π），所以A＝；因为a＝2，所以可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号，所以S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC面积的最大值为．故选：B．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（2020•马鞍山二模）已知△ABC外接圆面积为π，cosA＝﹣，则△ABC周长的最大值为（）A． B． C．3 D．【解析】解：∵△ABC的外接圆面积为π，∴△ABC的外接圆半径为1，∵cosA＝﹣，∴由A∈（0，π），可得A＝，∵＝2，∴a＝2sinA＝，∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，∴bc≤3，当且仅当b＝c＝等号成立，∴可得3＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得（b+c）2＝3+3bc≤12，解得b+c≤2，当且仅当b＝c＝等号成立，∴△ABC周长a+b+c的最大值为3．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（2020•全国Ⅰ卷模拟）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，BC＝CD，则∠ADB的最大值为（）A． B． C． D．【解析】解：设CD＝a，则AB＝2a，BC＝．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN＝a，连接CM，CN，由平面几何知识，易知AD＝MC，BD＝NC．设AD＝MC＝m，BD＝NC＝n．在△MBC中，，在△NBC中，，∴m2+n2＝8a2，在△ABD中，，又2mn≤m2+n2＝8a2，∴，∴∠ADB的最大值为．故选：B．【点睛】本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题，作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为0属于本题的难点，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．10．（2020•贵州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，a＝，则b+c的取值范围是（）A．（1，） B．（] C．（） D．（]【解析】解：∵b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∴由A∈（0，π），可得A＝，∵由正弦定理可得：＝＝＝2，∴b+c＝2sinB+2sinC＝2sinB+2sin（﹣B）＝2sinB+2（cosB+sinB）＝3sinB+cosB＝2sin（B+），∵B+C＝，∴B∈（0，），可得：B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c＝2sin（B+）∈（，2]，故选：B．【点睛】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）11．（2020•东莞市模拟）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB＝bsinA，则B＝．【解析】解：∵acosB＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosB＝sinBsinA，由sinA＞0，化简可得tanB＝，∵0＜B＜π，故B＝．故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．12．（2020•北京模拟）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝，△ABC的面积为．【解析】解：△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cosA＝＝＝．所以sinA＝＝S△ABC＝bcsinA＝×5×6×＝．故答案为：；．【点睛】本题考查了余弦定理和正弦定理的应用问题，是基础题．13．（2020•汉中模拟）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为260π．【解析】解：在△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，所以△ABC的外接圆的半径，结合图形分析：圆心到D点的距离为4，另设三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，设外接球的半径为R，则△O1OB中，82+d2＝R2，直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，解得d＝1，R2＝65，所以S＝4πR2＝260π，故答案为：260π．【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查空间想象能力和思维能力，考查计算能力，是中档题．14．（2020•山东模拟）已知f（x）＝，A，B，C是锐角△ABC的三个内角，且）f（A﹣）＝，则A＝，若BC＝，sinB＝，则AC的长度为2．【解析】解：因为：f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+），由f（A﹣）＝，得：2sinA＝，则sinA＝，因为A为锐角，故A＝，由正弦定理可知：，即．故答案为：，2．【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．三．解答题（共3小题）15．（2020•黑龙江模拟）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知acosB＝bcosA+c，（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．【解析】解（1）由正弦定理acosB＝bcosA+c化为：sinAcosB＝sinBcosA+sinC，∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，∴sin（A﹣B）＝sinC，∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．（2）在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又．∴．【点睛】本题考查正余弦定理、三角函数的定义及三角恒等变换等知识方法．要注意对这种多个三角形的解三角形问题，先将条件集中在一个三角形中挖掘隐含条件．同时考查了学生的逻辑推理、数学运算以及直观想象等数学核心素养．16．（2020•房山区一模）在△ABC中，a＝，c＝，________．（补充条件）（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（A+B）．从①b＝4，②cosB＝﹣，③sinA＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【解析】解：选择①（Ⅰ）在△ABC中，因为，，b＝4，由余弦定理得，因为C∈（0，π），所以所以．（Ⅱ）在△ABC中，A+B＝π﹣C．所以．选择②（Ⅰ）因为，B∈（0，π），所以因为，，所以（Ⅱ）因为，，，由b2＝a2+c2﹣2accosB，得，解得b＝4，由，解得，在△ABC中，A+B＝π﹣C，选择③依题意，A为锐角，由得在△ABC中，因为，，，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得解得b＝2或b＝4，（Ⅰ）当b＝2时，．当b＝4时，．（Ⅱ）由，，，，得在△ABC中，A+B＝π﹣C，．【点睛】本题考查利用正余弦定理求三角形，考查推理能力及计算能力，属于中档题．17．（2020•达州模拟）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，（2a+c）cosB+bcosC＝0．（1）求B；（2）若c＝2，B的角平分线BD＝1，求△ABC的面积S△ABC．【解析】解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC＝0，∴在△ABC中，由正