人教版九年级数学上册重难考点01圆的性质通关专练特训(原卷版+解析)

微专题01圆的性质通关专练一、单选题1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cmA．102cm B．13cm C．142．（2022秋·山东潍坊·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC的度数为（

）A．40° B．50° C．80° D．100°3．（2022秋·山东烟台·九年级校考阶段练习）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，若∠AOB=46°，则∠ADC为（

）A．44° B．46° C．23° D．88°4．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形，AD是⊙O的直径，若∠CAD=40°，则∠ABC的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°5．（2022·浙江·九年级专题练习）下列有关圆的一些结论：①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°或150°；②圆是轴对称图形，对称轴是直径；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④6．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（

）A．8 B．241 C．310 D．457．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=112°点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（

）A．56° B．35° C．38° D．28°8．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）如图，AC为半圆的直径，弦AB=3，∠BAC=30°，点E、F分别为AB和AC上的动点，则BF+EF的最小值为（

）A．3 B．332 C．3 9．（2023·浙江·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC的中垂线与AC相交于D点，若∠A=60°，∠B=70°，则AD的度数为（

）A．80° B．70° C．20° D．30°10．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）下列语句中不正确的有（）①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个11．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（

）．A．2 B．4 C．6 D．812．（2022秋·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（

）A．32° B．140° C．29° D．61°13．（2023·辽宁营口·统考二模）如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于12AO的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC,BC，若AE=2，则BC的长是（

A．4 B．43 C．6 D．14．（2023春·九年级单元测试）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，BC＝5，⊙O的直径为()A．5 B．52 C．53 D．1015．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，则∠DAF的度数为（）A．100° B．105° C．125° D．120°二、填空题16．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad，若∠A=1rad，∠B=60°，则∠A与∠B的大小关系是∠A17．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO,AD,∠BAD=26°，则∠BOC=．18．（2022春·九年级课时练习）已知⊙O的面积为25π．（1）若PO=5.5，则点P在；（2）若PO=4，则点P在；（3）若PO=，则点P在⊙O上．19．（2022·江苏泰州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，以点C为圆心，CB为半径作弧BD，与AB、AD分别交于点E、F，点E、F恰好是弧BD的三等分点，连接AC、CE，则∠ACE＝°．20．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，根据图形中已知条件，可求得阴影部分（半圆）的面积是cm221．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图，⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB=35°，则∠APB的度数是．

22．（2022秋·内蒙古呼和浩特·七年级统考阶段练习）如图已知直角三角形ABC的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（圆周率取3.14）．23．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．24．（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，D为AB的中点，将⊙O沿AB翻折,翻折后的圆弧与AD的延长线交于点C，当AB=3，∠BAC=30°时，CD=．25．（2023春·安徽宣城·九年级阶段练习）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，则油面AB上升分米．三、解答题26．（2022秋·浙江·九年级期末）如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC=BD，求证：△OCD为等腰三角形．27．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝AB，∠BAC＝50°，（1）作出圆心O；（要求用尺规作图，不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）经过点B作直径BF，连接AF，求∠AFB和∠ABF的度数．28．（2023·浙江绍兴·模拟预测）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD（1）求证：AB=CD．（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积．29．（2022·九年级单元测试）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，AC=30．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．（1）求证：D是BC的中点（2）若DE=3，AD＝1，求⊙O的半径．31．（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）

如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．32．（2022秋·湖北·九年级期末）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；(2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论．33．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：______；(2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论．34．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市湘郡培粹实验中学校考阶段练习）△ABC内接于⊙O，点E在⊙O上，连接CE和BE，CE交OB于点D，∠CEB+∠ABC=90°.(1)如图1，求证：AB是⊙O的直径；(2)如图2，点G在⊙O上，连接CG交OA于点H，AC=AD，∠ECG=45°，求证：∠ABC=2∠ACG；(3)如图3，连接AG，在（2）的条件下，若BC=16，AG=210，求⊙O

微专题01圆的性质通关专练一、单选题1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cmA．102cm B．13cm C．14【答案】B【分析】过圆心O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接AO，CO．由垂径定理可求出CE=12cm，AF=5cm．设OE=xcm，则OF=(x【详解】如图，过圆心O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接AO，由题意可知EF=7cm，CD=24cm，由垂径定理可知点E和F分别为CD，AB中点，∴CE=12CD=12设OE=xcm，则OF=(x∵在Rt△AOF中，A在Rt△COE中，C又∵AO=CO，∴25+(x+7)解得：x=5，∴OE=5cm∴CO=C则该水槽截面半径为13cm故选：B．【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键．2．（2022秋·山东潍坊·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC的度数为（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】B【分析】根据圆周角定理先求出∠BOC，然后根据等边对等角求出∠OBC即可．【详解】解：连接OC，如图所示：∵∠A=40°，∴∠BOC=2∠A=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=1故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，求出∠BOC=80°，是解题的关键．3．（2022秋·山东烟台·九年级校考阶段练习）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，若∠AOB=46°，则∠ADC为（

）A．44° B．46° C．23° D．88°【答案】C【分析】根据垂径定理得AB=AC，再根据圆周角定理得【详解】解：∵AO是半径，且OA⊥BC，∴AB=∴∠ADC=1故选：C．【点睛】本题考查垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握这两个性质定理．4．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形，AD是⊙O的直径，若∠CAD=40°，则∠ABC的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】D【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ABD=90°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠DBC=∠CAD=40°，再根据角之间的数量关系，即可得出答案．【详解】解：如图，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵∠DBC=∠CAD=40°，∴∠ABC=∠ABD−∠DBC=90°−40°=50°，∴∠ABC的度数为50°．故选：D【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等，解本题的关键在熟练掌握相关的性质，并正确作出辅助线．5．（2022·浙江·九年级专题练习）下列有关圆的一些结论：①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°或150°；②圆是轴对称图形，对称轴是直径；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：与半径长相等的弦所对的圆周角是30°或150°，故①正确，符合题意；圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，故②错误，不符合题意；垂直于弦的直径平分这条弦，故③正确，符合题意；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查圆的有关性质、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、垂径定理、圆周角定理知识．6．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（

）A．8 B．241 C．310 D．45【答案】D【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．【详解】解：如图，连接OD．∵AB⊥CD，∴CE＝ED＝4，∵∠OED＝90°，OD＝5，∴OE＝CD2−E∴AE＝OA+OE＝8，∴AD＝AE2+DE2故选：D．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=112°点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（

）A．56° B．35° C．38° D．28°【答案】D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=12【详解】连接OB,∵点B是弧AC的中点，

∴∠AOB=12∠AOC=1由圆周角定理得,∠D=12∠AOB=28°故选：D.【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.8．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）如图，AC为半圆的直径，弦AB=3，∠BAC=30°，点E、F分别为AB和AC上的动点，则BF+EF的最小值为（

）A．3 B．332 C．3 【答案】B【分析】作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB＋FE的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E的长即可．【详解】解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝32∴B′E＝3AE＝33即BF＋EF的最小值为33故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．9．（2023·浙江·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC的中垂线与AC相交于D点，若∠A=60°，∠B=70°，则AD的度数为（

）A．80° B．70° C．20° D．30°【答案】C【分析】首先连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，由∠B＝70°，∠A＝60°，又由△ABC的边BC的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，根据圆周角定理，即可求得∠AOB与∠BOE的度数，继而求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，∵OD是△ABC的边BC的垂直平分线，∴∠BOE＝12∵∠BAC＝12∴∠BOE＝∠BAC，∵∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠ACB=50°，∴∠BOE＝∠BAC＝60°，∴∠BOD＝180°−∠BOE＝180°−60°＝120°，∵∠AOB＝2∠ACB＝100°，∴AB的度数为：100°，∴AD的度数为：120°−100°＝20°．故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）下列语句中不正确的有（）①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】根据垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质，圆心角，弧，弦的关系逐一判断即可．【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误，符合题意．②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误，符合题意．③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误，符合题意．④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误，符合题意．⑤圆内接四边形的对角互补．说法正确，不符合题意．故选：B.【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆的基本性质，圆心角，弧，弦的关系，熟练掌握这些数学概念是解此题的关键．11．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（

）．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×2=4．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．（2022秋·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（

）A．32° B．140° C．29° D．61°【答案】B【分析】根据题意得到A、B、C、D四点共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．【详解】如图，∵点A、C、D到点O的距离相等，∴OA=OD=OC，∵点O为线段BC的中点，∴OC=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的圆上，即⊙O为四边形ABCD的外接圆，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补；正确得出A、B、C、D四点共圆并熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．13．（2023·辽宁营口·统考二模）如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于12AO的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC,BC，若AE=2，则BC的长是（

A．4 B．43 C．6 D．【答案】B【分析】连接CO，根据作图知CE垂直平分AC，即可得AC=OC，AE=OE=2，根据圆的半径得AC=4，AB=8，根据圆周角的推论得∠ACB=90°，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CO，根据作图知CE垂直平分AC，

∴AC=OC，AE=OE=2，∴OC=OB=AO=AE+EO=4，即AB=AO+BO=8，∵线段AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，在RtBC=A故选B．【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．14．（2023春·九年级单元测试）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，BC＝5，⊙O的直径为()A．5 B．52 C．53 D．10【答案】B【分析】作⊙O的直径BD，连接CD，根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝45°，继而可求得CD=BC=5，然后利用勾股定理即可求得答案．【详解】解∶作⊙O的直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，由圆周角定理得，∠BDC＝∠BAC＝45°，∴∠DBC=90°-45°=45°=∠BDC，∴CD=BC=5，∴BD＝BC2+C故选∶B．【点睛】本题考查了圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用圆周角定理是解题的关键．15．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，则∠DAF的度数为（）A．100° B．105° C．125° D．120°【答案】D【分析】利用圆的内接四边形对角互补可直接得解．【详解】解：∵△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，∴△DEF也是等边三角形，∴∠DEF=60°，在⊙O的内接四边形ADEF中，∠DEF+∠DAF=180°，∴∠DAF=180°−∠DEF=120°，故选：D．【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．二、填空题16．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad，若∠A=1rad，∠B=60°，则∠A与∠B的大小关系是∠A【答案】<【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad，当∠B=60°【详解】∵OA=OB，∠B=60°∴△AOB为等边三角形，∴OA=AB，∴圆心角所对的弧长比半径大，∴∠A<∠B，故答案为：<．【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．17．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO,AD,∠BAD=26°，则∠BOC=．【答案】52°/52度【分析】根据垂径定理及圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAD．【详解】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD∴BC∴∠BOC=2∠BAD=52°故答案为：52°．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（2022春·九年级课时练习）已知⊙O的面积为25π．（1）若PO=5.5，则点P在；（2）若PO=4，则点P在；（3）若PO=，则点P在⊙O上．【答案】圆外圆内5【分析】（1）先求出⊙O的半径，再根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得；（2）根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得；（3）根据点在圆上得点到圆心的距离等于半径，即可得．【详解】解：设⊙O的半径为r，πrr=5，（1）∵PO=5.5>5，∴点P在圆外；（2）∵PO=4<5，∴点P在圆内；（3）若要点P在⊙O上，则PO=r=5；故答案为：（1）圆外；（2）圆内；（3）5．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是判断点与圆的位置关系的方法．19．（2022·江苏泰州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，以点C为圆心，CB为半径作弧BD，与AB、AD分别交于点E、F，点E、F恰好是弧BD的三等分点，连接AC、CE，则∠ACE＝°．【答案】18【分析】连接CF，根据题意得出∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠ACE=∠ACF，设∠ACE=∠ACF=x，利用三角形内角和及三角形外角的性质得出180°-6x=4x，求解即可得出结果．【详解】解：连接CF，∵点E、点F为弧BD的三等分点，∴∠BCE=∠ECF=∠FCD，∵AC为菱形对角线，∴∠ACE=∠ACF，设∠ACE=∠ACF=x，则∠BCE=∠ECF=∠FCD=2x，∴∠BCA=∠BAC=∠BCE+∠ECA=3x，∴∠B=180°-∠BCA-∠BAC=180°-6x，∠CEB=∠ACE+∠CAE=4x，∵CB=CE，∴∠B=∠CEB，即180°-6x=4x，解得：x=18°，故答案为：18．【点睛】题目主要考查菱形的性质，圆周角定理，一元一次方程的应用，三角形内角和及外角的性质等，理解题意，找出各角之间的数量关系是解题关键．20．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，根据图形中已知条件，可求得阴影部分（半圆）的面积是cm2【答案】8【分析】由勾股定理，得半圆的直径等于8cm，故半圆的半径等于4cm．那么，半圆的面积等于12【详解】解：如图，由图知，∠CAB=90°，AC=6cm，BC=10cm．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2．∴AB=B∴半径r=4cm．∴S半圆＝12πr2故答案为：8π．【点睛】本题主要考查勾股定理以及圆的面积公式，熟练掌握勾股定理求得半圆的直径等于8是解本题的关键．21．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图，⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB=35°，则∠APB的度数是．

【答案】55°或125°【分析】如图1，2（见解析），连接OB，则ΔOAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA=35°，根据三角形的内角和定理得∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=110°，再根据圆周角定理即可得.【详解】由题意需分以下两种情况：（1）如图1，连接OB，则ΔOAB是等腰三角形∴∠OAB=∠OBA=35°∴∠1=180°−∠OAB−∠OBA=110°∴∠APB=1

（2）如图2，连接OB，则ΔOAB是等腰三角形∴∠OAB=∠OBA=35°∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=110°∴∠2=360°−∠AOB=250°∴∠APB=1

故答案为：55°或125°.【点睛】本题考虑等腰三角形的性质、圆周角定理，需注意的的是，第二种情况易被忽略.22．（2022秋·内蒙古呼和浩特·七年级统考阶段练习）如图已知直角三角形ABC的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（圆周率取3.14）．【答案】3.42平方厘米【分析】先推出直角三角形ABC是等腰直角三角形，可得BC【详解】解：∵∠A=45°，∠ABC=90°，∴直角三角形ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∵直角三角形ABC的面积是12平方厘米，∴12BC∴半圆的面积=3.14×12∵BC是半圆的直径，∴BD⊥AC，∴三角形BDC的面积=三角形ABC面积÷2=12÷2=6（平方厘米），∴阴影部分面积=9.42-6=3.42（平方厘米）．【点睛】本题主要考查圆的面积公式，圆周角定理的推论，掌握用割补法求不规则图形的面积是解题的关键．23．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．【答案】213【分析】连接BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理可得AC=BC=12BC=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R−CD=R−2，利用勾股定理可得到R=5，则OC=3，由OC为△ABE的中位线，可得BE=2OC=6，再根据圆周角定理可得∠ABE=90°，最后在Rt△BCE【详解】解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝12AB＝1在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵OC∴R−22+4∴OC＝5﹣2＝3，∵OC为△ABE中位线，∴BE＝2OC＝6，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE＝BC2+BE2故答案为：213．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键．24．（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，D为AB的中点，将⊙O沿AB翻折,翻折后的圆弧与AD的延长线交于点C，当AB=3，∠BAC=30°时，CD=．【答案】3【分析】连接BC，连接AO并延长交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解Rt△ABC，进而求得AC,CD．【详解】如图，连接BC，连接AO并延长交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径∵将⊙O沿AB翻折,翻折后的圆弧与AD的延长线交于点C，∴AC是⊙D的直径∴∠ABC=90°∵∠BAC=30°∴∠C=60°Rt△ABC中∴AB=∵AB=3∴BC=∴AC=2∴CD=故答案为：3【点睛】本题考查了直径所对的圆周角等于90°，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解AC是⊙D直径是解题的关键．25．（2023春·安徽宣城·九年级阶段练习）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，则油面AB上升分米．【答案】1或7/7或1【分析】本题实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【详解】解：连接OA，作OG⊥AB于G，∵AB=6分米，∴AG=12AB∵油槽直径MN为10分米．∴OA=5分米，∴OG=52−3同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．故答案为：1或7．【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，通常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形求解．三、解答题26．（2022秋·浙江·九年级期末）如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC=BD，求证：△OCD为等腰三角形．【答案】见解析【分析】过O作AB垂线，设垂足为M，由垂径定理可得AM=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分线段CD，由此证得OC=OD，即△OCD为等腰三角形．【详解】解：证明：过点O点作OM⊥AB，垂足为M；∵OM⊥AB，∴AM=BM，∵AC=BD，∴CM=DM，又∵OM⊥AB，∴OC=OD，∴△OCD为等腰三角形．【点睛】此题主要考查了垂径定理和等腰三角形的判定等知识，解题的关键是合理作出辅助线．27．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝AB，∠BAC＝50°，（1）作出圆心O；（要求用尺规作图，不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）经过点B作直径BF，连接AF，求∠AFB和∠ABF的度数．【答案】（1）见解析；（2）65°，25°．【分析】（1）作AB、BC的垂直平分线，交点即为所求；（2）先利用等腰三角形的性质求出∠ACB的度数，再利用圆周角定理的推论和直角三角形的性质求解即可.【详解】解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：∵AC＝AB，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝180∘∴∠ACB＝∠AFB＝65°，∵BF是直径，∴∠BAF＝90°，∴∠ABF＝90°﹣65°＝25°．【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、圆周角定理的推论和直角三角形的性质，难度不大，属于常考题型，熟练掌握基本知识是关键.28．（2023·浙江绍兴·模拟预测）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD（1）求证：AB=CD．（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABCD的面积=96．【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD＝120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可．【详解】（1）证明：∵AC=BD，∴AC则AB=DC，（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，∵弧BD的度数为120°，∴∠BOD=120°，∴∠BOH=60°，∴OH=12∵BO2=BH2+OH2，OB=8∴BH=43∴BD=83则四边形ABCD的面积=1【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质是解题的关键．29．（2022·九年级单元测试）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，AC=【答案】△ABC是等边三角形，理由见解析.【分析】由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论【详解】△ABC是等边三角形，理由：∵AC∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC是等边三角形．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．30．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．（1）求证：D是BC的中点（2）若DE=3，AD＝1，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）10【分析】（1）根据圆周角定理、等腰三角形的三线合一的性质即可证得结论；（2）根据圆周角定理及等腰三角形的判定得到DE=BD=3，再根据勾股定理求出AB，即可得到半径的长.【详解】（1）∵AB是⊙O直径∴∠ADB＝90°，在△ABC中，AB=AC，∴DB=DC，即点D是BC的中点；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠B=∠E，∴∠C=∠E，∴DE=DC，∵DC=BD，∴DE=BD=3，∵AD=1，又∠ADB＝90°，∴AB=10，∴⊙O的半径＝102【点睛】此题考查圆周角定理，等腰三角形的三线合一的性质及等角对等边的判定，勾股定理.31．（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）

如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．【答案】（1）45°；（2）82【分析】（1）先连接OB、OC,根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，得到∠P=1【详解】解：（1）连接OB，OC，∵

四边形ABCD为正方形，∴

∠BOC=90∴

∠P=1（2）过点O作OE⊥BC于点E，∵

OB=OC，∠BOC=90∴

∠OBE=45∴

OE=BE，∵

OE∴

BE=∴

BC=2BE=2×42【点睛】此题考查圆周角的性质及垂径定理，（2）中垂径定理在运用时与勾股定理同时运用，注意构建对应的直角三角形32．（2022秋·湖北·九年级期末）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；(2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)AB+AC=AD(2)AB+AC=2【分析】（1）在线段AD上截取AE=AB，连接BE，根据圆周角定理的推论证明△ABE和△BCD是等边三角形，再利用SAS证明△BED≌△BAC，得出DE=AC，即可推导得出AB+AC=AD；（2）延长AB到点M，使BM=AC，连接DM，利用圆内接四边形的性质得出∠MBD=∠ACD，再利用SAS证明△MBD≌△ACD，推出MD=AD，∠M=∠BAD=45°，进而证明MD⊥AD，根据勾股定理可得AM=2AD，即【详解】（1）解：如图①在线段AD上截取AE=AB，连接BE，∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=60°，∵CD=∴∠DBC=∠DAC=60°，同理：∠DCB=∠DAB=60°，∴BC=CD=DB，∵AE=AB，∠BAE=60°，∴AB=BE=AE，∴∠ABE=∠DBC=60°，∴∠DBE=∠CBA，在△BED和△BAC中，BE=AB∠DBE=∠CBA∴△BED≌△BACSAS∴DE=AC，∴AD=AE+DE=AB+AC．故答案为：AB+AC=AD；（2）解：AB+AC=2如图②，延长AB到点M，使BM=AC，连接DM，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠MBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD=1∴BD=CD，在△MBD和△ACD中，MB=AC∠MBD=∠ACD∴△MBD≌△ACDSAS∴MD=AD，∴∠M=∠BAD=45°，∴∠MDA=90°，∴MD⊥AD，∴AM=2AD，即∴AB+AC=2【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识点，解题关键是熟练运用转化思想，通过添加辅助线，构造全等三角形．33．（2022秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系