高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题04导数及其应用选择填空题特训(原卷版+解析)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题04导数及其应用选择填空题真题汇总命题趋势真题汇总命题趋势1．【2022年全国甲卷理科06】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则A．−1 B．−12 C．12．【2022年全国甲卷理科12】已知a=3132,b=A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b3．【2022年新高考1卷07】设a=0.1e0.1,b=A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b4．【2021年新高考1卷7】若过点(a,b)可以作曲线y=eA．eb<a C．0<a<eb 5．【2021年全国乙卷理科10】设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)A．a<b B．a>b C．ab<a2 6．【2020年全国1卷理科06】函数f(x)=x4−2x3A．y=−2x−1 B．y=−2x+1C．y=2x−3 D．y=2x+17．【2020年全国3卷理科10】若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（A．y=2x+1 B．y=2x+12 C．y=12x+1 D．y=128．【2019年新课标3理科06】已知曲线y＝aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣19．【2019年新课标3理科07】函数y=2A． B． C．⊈ D．10．【2019年新课标1理科05】函数f（x）=sinx+xcosx+x2在[﹣A． B． C． D．11．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x12．【2018年新课标2理科03】函数f（x）=eA． B． C． D．13．【2018年新课标3理科07】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A． B． C． D．14．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．115．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．−12 B．13 C．16．【2016年新课标1理科07】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A． B． C． D．17．【2015年新课标1理科12】设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[−32e，1） B．[−32e，34）18．【2015年新课标2理科12】设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）19．【2014年新课标1理科11】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）20．【2014年新课标2理科08】设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．321．【2014年新课标2理科12】设函数f（x）=3sinπxm，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）22．【2013年新课标2理科10】已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0 B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减 D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝023．【2022年新高考1卷10】已知函数f(x)=x3−x+1A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线24．【2022年全国乙卷理科16】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex25．【2022年新高考1卷15】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则26．【2022年新高考2卷14】曲线y=ln27．【2021年全国甲卷理科13】曲线y=2x−1x+2在点28．【2021年新高考1卷15】函数f(x)=|2x−1|−2ln29．【2021年新高考2卷16】已知函数f(x)=|ex−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x130．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为．31．【2018年新课标2理科13】曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．32．【2018年新课标3理科14】曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝．33．【2016年新课标2理科16】若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝．34．【2016年新课标3理科15】已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．35．【2013年新课标1理科16】若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为．模拟好题模拟好题1．已知函数f(x)=ex，函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称，若ℎ(x)=g(x)−kx无零点，则实数k的取值范围是（A．1e,e2 B．1e,2．已知函数f(x)=asinx+2cosx在x∈−A．a≥0 B．−2≤a≤2 C．a≥−2 D．a≥0或a≤−23．定义：设函数fx的定义域为D，如果m,n⊆D，使得fx在m,n上的值域为m,n，则称函数fx在m,n上为“等域函数”，若定义域为1e,e2的函数gxA．2e2,1e B．2e4．已知函数fx=−ex+ax−A．0,e2 C．e,+∞5．已知函fx=ex+alnx−xa−xa>0，（eA．1e B．1 C．e D．6．设直线x=t与函数f(x)=2x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,NA．12+ln2 B．3ln2−17．已知对任意实数x都有f'x=3ex+fx，f0=−1A．43e,12 B．438．若函数fx=ln1+x2+mxm>0是奇函数，函数A．1+e,+∞C．2+e,+∞9．已知a>0且a≠1，若任意x≥1，不等式2axex2A．[e,+∞C．[e,e10．已知函数f(x)=xlnx−x2A．t>lnB．曲线y=f(x)在点(e，f(eC．f(x1D．x1+11．已知f(x)=a2−1ex−1−12xA．−2 B．−1 C．1 D．12．已知实数a,b满足ea+eA．ab<0 B．a+b>1C．ea+e13．已知函数f(x)=ex+mx，x∈RA．当m=−1时，函数f(x)在(−∞B．当m=0时，f(x)−lnx≥3在C．对任意的m>0，函数f(x)在(−∞D．存在m<0，函数f(x)有唯一极小值14．已知函数f(x)=−xx−1,x<1lnx+x−1,x≥1，A．fx在0,2B．当k=14时，方程C．fx的值域为D．若对于任意的x∈R，都有x−1f15．已知函数f(x)=x(lnx)A．f(x)在区间(0,+∞B．当x=1e时，C．对∀x∈1D．对∀16．若关于x的不等式2ln(x+1)−a(x+3)−2x+a(ex+2)>0在x∈(0,+17．若函数fx=2x3−ax218．若直线y=kx+m是曲线y=ln(x−1)的切线，也是曲线y=e19．已知可导函数f(x)的定义域为(0,+∞)，满足xf'(x)−2f(x)<020．若关于x的不等式ax+1ex21．已知a>0，函数gx=x+1+ax−222．若曲线y=ex过点(−2,0)的切线恒在函数f(x)=ae23．已知正实数x，y满足e1−2y=(x+2y)e24．已知x1,x2,x3x125．关于x不等式x2−ax−1大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题04导数及其应用选择填空题真题汇总命题趋势真题汇总命题趋势1．【2022年全国甲卷理科06】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则A．−1 B．−12 C．1【答案】B【解析】因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f'1=0，而f'x=ax−bx2，所以故选：B.2．【2022年全国甲卷理科12】已知a=3132,b=A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b【答案】A【解析】因为cb=4所以tan14>14设f(x)=cosf'(x)=−sinx+x>0，所以则f14>f(0)所以b>a,所以c>b>a，故选：A3．【2022年新高考1卷07】设a=0.1e0.1,b=A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【答案】C【解析】设f(x)=ln(1+x)−x(x>−1)，因为当x∈(−1,0)时，f'(x)>0，当x∈(0,+∞所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞所以f(19)<f(0)=0，所以ln109所以f(−110)<f(0)=0，所以ln910故a<b，设g(x)=xex+令ℎ(x)=ex(当0<x<2−1时，ℎ'当2−1<x<1时，ℎ'(x)>0又ℎ(0)=0，所以当0<x<2−1时，所以当0<x<2−1时，g'所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1故选：C.4．【2021年新高考1卷7】若过点(a,b)可以作曲线y=eA．eb<a C．0<a<eb 【答案】D在曲线y=ex上任取一点P(t,et)所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y−e由题意可知，点(a,b)在直线y=etx+(1−t)令f(t)=(a+1−t)et，则当t<a时，f'(t)>0，此时函数当t>a时，f'(t)<0，此时函数所以，f(t)由题意可知，直线y=b与曲线y=f(t)的图象有两个交点，则b<f(t)当t<a+1时，f(t)>0，当t>a+1时，f(t)<0，作出函数f(t)的图象如下图所示：由图可知，当0<b<ea时，直线y=b与曲线故选：D.解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知故选：D.5．【2021年全国乙卷理科10】设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)A．a<b B．a>b C．ab<a2 【答案】D若a=b，则f(x)=a(x−a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故依题意，x=a为函数f(x)=a(x−a)当a<0时，由x>b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b<a，a<0，故ab>a当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b>a，a>0，故ab>a综上所述，ab>a故选：D6．【2020年全国1卷理科06】函数f(x)=x4−2x3A．y=−2x−1 B．y=−2x+1C．y=2x−3 D．y=2x+1【答案】B【解析】∵fx=x4−2x3因此，所求切线的方程为y+1=−2x−1，即y=−2x+1故选：B.7．【2020年全国3卷理科10】若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（A．y=2x+1 B．y=2x+12 C．y=12x+1 D．y=12【答案】D【解析】设直线l在曲线y=x上的切点为x0,函数y=x的导数为y'=12设直线l的方程为y−x0=由于直线l与圆x2+y两边平方并整理得5x02−4x则直线l的方程为x−2y+1=0，即y=1故选：D.8．【2019年新课标3理科06】已知曲线y＝aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣1【答案】解：y＝aex+xlnx的导数为y′＝aex+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故选：D．9．【2019年新课标3理科07】函数y=2A． B． C．⊈ D．【答案】解：由y＝f（x）=2f（﹣x）=2(−x∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C又f（4）=21128+1故选：B．10．【2019年新课标1理科05】函数f（x）=sinx+xcosx+x2在[﹣A． B． C． D．【答案】解：∵f（x）=sinx+xcosx+x2，x∈[﹣∴f（﹣x）=−sinx−xcos(−x)+x2∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）=sinπ+πcosπ+π2=故选：D．11．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【答案】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．12．【2018年新课标2理科03】函数f（x）=eA． B． C． D．【答案】解：函数f（﹣x）=e−x−e则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x＝1时，f（1）＝e−1e＞当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．13．【2018年新课标3理科07】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜−22或0＜由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞22或−22也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．14．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1【答案】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，＝（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故选：A．15．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．−12 B．13 C．【答案】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+1所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（ex﹣1+1等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（ex﹣1+1①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（ex﹣1+1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex−1）的图象的最高点为B由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（ex﹣1+1③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（ex﹣1+1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex−1）的图象的最低点为B由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a=1综上所述，a=1故选：C．16．【2016年新课标1理科07】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣ex，∴f′（x）＝4x﹣ex＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．17．【2015年新课标1理科12】设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[−32e，1） B．[−32e，34）【答案】解：设g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝ex（2x﹣1）+2ex＝ex（2x+1），∴当x＜−12时，g′（x）＜0，当x＞−1∴当x=−12时，g（x当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得32e≤故选：D．18．【2015年新课标2理科12】设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【答案】解：设g（x）=f(x)x，则g（x）的导数为：g′（x）∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=f(x)又∵g（﹣x）=f(−x)−x=−f(x)∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）=f(−1)∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔x＞0g(x)＞0或x＜0⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．19．【2014年新课标1理科11】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）【答案】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=2a时，f（x）＝ax3﹣3x故f（2a）=8a故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．20．【2014年新课标2理科08】设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】解：y'=a−∴y′（0）＝a﹣1＝2，∴a＝3．故选：D．21．【2014年新课标2理科12】设函数f（x）=3sinπxm，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】解：由题意可得，f（x0）＝±3，即πx0m=kπ+π2，k∈z，即再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为12|m∴m2＞14m2+3，∴m求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．22．【2013年新课标2理科10】已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0 B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减 D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【答案】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．（1）当△＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵f(−2a3−x)+f（x）=(−2a3−x)3+a(−2a3f(−∵f(−2a3−x)+f（∴点P(−a3③由表格可知x1，x2分别为极值点，则f'(x④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．（2）当△≤0时，f'(x)=3(x+a3)2≥0，故f（x）在R②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．23．【2022年新高考1卷10】已知函数f(x)=x3−x+1A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】AC【解析】由题，f'x=3x2−1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(−33,33所以x=±3因f(−33)=1+23所以，函数fx在−当x≥33时，fx≥f3综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令f'x=3x2当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.24．【2022年全国乙卷理科16】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex【答案】1【解析】解：f'因为x1,x所以函数fx在−∞,x1所以当x∈−∞,x1∪x若a>1时，当x<0时，2lna⋅a故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅a即方程lna⋅ax即函数y=lna⋅a∵0<a<1,∴函数y=a又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x则切线的斜率为g'故切线方程为y−ln则有−lna⋅a则切线的斜率为ln2因为函数y=lna⋅a所以eln2a<又0<a<1，所以1e综上所述，a的范围为1e25．【2022年新高考1卷15】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则【答案】(−【解析】∵y=(x+a)ex，∴设切点为(x0,y0切线方程为：y−x∵切线过原点，∴−x整理得：x0∵切线有两条，∴∆=a2+4a>0,解得a<−4∴a的取值范围是(−∞故答案为：(−26．【2022年新高考2卷14】曲线y=ln【答案】

y=1e【解析】解：因为y=ln当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x故答案为：y=1e27．【2021年全国甲卷理科13】曲线y=2x−1x+2在点【答案】5x−y+2=0由题，当x=−1时，y=−3，故点在曲线上．求导得：y'=2(x+2)−(2x−1)故切线方程为5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．28．【2021年新高考1卷15】函数f(x)=|2x−1|−2ln【答案】1由题设知：f(x)=|2x−1|−2lnx定义域为∴当0<x≤12时，f(x)=1−2x−2ln当12<x≤1时，f(x)=2x−1−2lnx，有当x>1时，f(x)=2x−1−2lnx，有f'又f(x)在各分段的界点处连续，∴综上有：0<x≤1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增；∴f(x)≥f(1)=1故答案为：1.29．【2021年新高考2卷16】已知函数f(x)=|ex−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1【答案】(0,1)由题意，f(x)=|ex−1|={所以点A(x1,1−ex所以−e所以AM:y−1+e所以|AM|=x同理|BN|=1+所以|AM||BN|故答案为：(0,1)30．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为．【答案】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．31．【2018年新课标2理科13】曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．【答案】解：∵y＝2ln（x+1），∴y′=2当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．32．【2018年新课标3理科14】曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝．【答案】解：曲线y＝（ax+1）ex，可得y′＝aex+（ax+1）ex，曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1＝﹣2，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．33．【2016年新课标2理科16】若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝．【答案】解：设y＝kx+b与y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=1x1=1x2再由切点也在各自的曲线上，可得k联立上述式子解得k=2x从而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2．34．【2016年新课标3理科15】已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．【答案】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，f′（x）=1可得f（1）＝ln1﹣3＝﹣3，f′（1）＝1﹣3＝﹣2，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）＝﹣2（x﹣1），即为2x+y+1＝0．故答案为：2x+y+1＝0．35．【2013年新课标1理科16】若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为．【答案】解：∵函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴f（﹣1）＝f（﹣3）＝0且f（1）＝f（﹣5）＝0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]＝0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]＝0，解之得a=8b=15因此，f（x）＝（1﹣x2）（x2+8x+15）＝﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）＝﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）＝0，得x1＝﹣2−5，x2＝﹣2，x3＝﹣2+当x∈（﹣∞，﹣2−5）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2−5，﹣2）时，f′（当x∈（﹣2，﹣2+5）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+5，+∞）时，f′（∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2−5）、（﹣2，﹣2+5）上是增函数，在区间（﹣2−5又∵f（﹣2−5）＝f（﹣2+∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．模拟好题模拟好题1．已知函数f(x)=ex，函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称，若ℎ(x)=g(x)−kx无零点，则实数k的取值范围是（A．1e,e2 B．1e,【答案】D【解析】由题知g(x)=lnx，ℎ(x)=g(x)−kx=0⇒k=lnxx，设F(x)=lnxx⇒F'(x)=1−lnxx2，当F'(x)<0时，x∈e,+故选：D.2．已知函数f(x)=asinx+2cosx在x∈−A．a≥0 B．−2≤a≤2 C．a≥−2 D．a≥0或a≤−2【答案】C【解析】因为函数f(x)=asinx+2cos所以f'(x)=acos即a≥2tanx在由y=2tanx在(−π所以a≥−2，故选：C3．定义：设函数fx的定义域为D，如果m,n⊆D，使得fx在m,n上的值域为m,n，则称函数fx在m,n上为“等域函数”，若定义域为1e,e2的函数gxA．2e2,1e B．2e【答案】C【解析】当0<a<1时，函数g(x)=ax在若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，n∈[1e,e2所以{mlna=lnn令k(x)=xlnx，则当x∈[1e,e2]时，所以符合条件的m，n不存在.当a>1时，函数g(x)=ax在若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，n∈[1e,e2]（m<n）使得am即lna=lnx设函数ℎ(x)=lnxx（1当1e≤x<e时，ℎ'(x)>0所以ℎ(x)在[1e,所以ℎ(x)在x=e所以ℎ(x)max=ℎ(e)=故2e2≤故选：C.【点睛】解题的关键是讨论g(x)的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4．已知函数fx=−ex+ax−A．0,e2 C．e,+∞【答案】D【解析】f'当a≤0时，f'x<0，则f当a>0时，令f'x=0当x∈−∞,lna时，f'x>0，因为fx有两个零点，所以f令ga=aln令g'a<0解得0<a<1，令g所以ga在0,1单调递减，在1,+且当0<a<1时，ga<0，g1所以a>e故选：D.5．已知函fx=ex+alnx−xa−xa>0，（eA．1e B．1 C．e D．【答案】C【解析】解：因为x∈1,+∞，fx所以，lnx故令mt=lnt−t，t>1，所以，mt在1,+所以xa≤ex，两边取对数得aln记φx=x所以，当x∈1,e，φ'x<0，φx单调递减，当x∈所以，φx的最小值是φe=所以，实数a的最大值是e．故选：C6．设直线x=t与函数f(x)=2x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,NA．12+ln2 B．3ln2−1【答案】A【解析】由题意M(t,2t2)所以MN=2t2−当0<t<12时，ℎ'(t)<0，当t>1即|MN|的最小值为12故选：A.7．已知对任意实数x都有f'x=3ex+fx，f0=−1A．43e,12 B．43【答案】C【解析】解：由f'x=3ex+fx，即f又f0=−1，所以C=−1，所以fx=3x−1ex，故f'x=3x+2ex，所以当x>−23时f设ℎ(x)=a(x−2)，可知该函数恒过点(2,0)，画出f(x),ℎ(x)的图象，如下图所示，不等式fx<ax−2则这两个整数解为0,−1，所以f(−1)<ℎ(−1)f(−2)≥ℎ(−2)即−4e−1<−3a−7e.故选：C．8．若函数fx=ln1+x2+mxm>0是奇函数，函数A．1+e,+∞C．2+e,+∞【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f恒成立，即1+x2因为m>0，所以m=1所以gx即ek−2记g(x)=x+3lnx,(x>0)，则所以函数g(x)在(0,+∞因为ek−2x所以ek−2x+3k−2x≥x+3即ek−2x≥x记ℎ(x)=lnx易知当0<x<e时，ℎ'(x)>0，当所以当x=e时，ℎ(x)有最大值所以k≥1e+2，即故选：D9．已知a>0且a≠1，若任意x≥1，不等式2axex2A．[e,+∞C．[e,e【答案】A【解析】由题设，2ax−e(令f(t)=2et−1−t2当t<1时f″(t)<0，f'(t)递减；当t>1时所以f'(t)≥f当0<a<1，即t∈(0,lna]时，当a>1，即t∈[lna,+∞)时，要使令g(a)=2ae−(lna)2当1<a<e时g″(a)<0，g'(a)递减；当a>所以g'(a)≥g'(e)=0此时a>e时g(a)≥0，即f(综上，a的取值范围为[e故选：A【点睛】关键点点睛：首先将问题转化为f(t)=2et−1−t2−1≥0恒成立，利用导数并讨论a结合指数函数性质判断10．已知函数f(x)=xlnx−x2A．t>lnB．曲线y=f(x)在点(e，f(eC．f(x1D．x1+【答案】B【解析】对于A，由题意得f'令g(x)=ln当0<x<e2时，g'(x)>0，g(x)递增，当x>e故g(x)max=g(故g(x)max=1−对于B，线y=f(x)在点(e，f(e该切线如果与x−y=0垂直，则斜率为-1，即−1，与t>ln对于C，由题意可知f'(x则f(x由A项分析可知0<x1<故C正确；对于D，由题意知，f'(x2则lnx2−要整x1+x2>4设x2x1令ℎ(m)=m−1m−2故ℎ(m)=m−1m−2故m−1故选：B【点睛】本题考查了导数的应用，涉及到导数几何意义和零点问题以及证明不等式问题，综合性较强，思维能力要求较高，解答的关键是D选项的判断，要注意对等式的合理变式，从而构造函数，利用导数判断单调性.11．已知f(x)=a2−1ex−1−12xA．−2 B．−1 C．1 D．【答案】AD【解析】设y=x−1−lnx(x>1)，则所以y=x−1−lnx在(1,+∞所以lnx<x−1,x∈(1,+∞)，∴1ln又f1lnx所以f(x)在(1,+∞所以f'(x)=a2−1令g(x)=xex−1,g'(x)=∴a2−1≥1，解得a≥2所以a的值可以为−2，2故选：AD.12．已知实数a,b满足ea+eA．ab<0 B．a+b>1C．ea+e【答案】BCD【解析】由ea+eb=ea+b得1ea+1因为ea+eb=ea+b⩾2e因为1ea+1eb=1，所以ea=ebeb−1，所以bea−1=bebe故选：BCD13．已知函数f(x)=ex+mx，x∈RA．当m=−1时，函数f(x)在(−∞B．当m=0时，f(x)−lnx≥3在C．对任意的m>0，函数f(x)在(−∞D．存在m<0，函数f(x)有唯一极小值【答案】ACD【解析】由题意，对于选项A，当m=−1时，f(x)=ex−x，f'(x)=ex−1，当x<0时，对于选项B，当m=0时，f(x)=ex，此时f(x)−ln对于选项C，当m>0时，f(x)=ex+mx，f'(x)=ex+m>0，故f(x)在R上为增函数，又f(0)=1，对于选项D，取m=−2，则f(x)=ex−2x，f'(x)=ex−2，当x<ln2时，f'(x)<0，当故选：ACD．14．已知函数f(x)=−xx−1,x<1lnx+x−1,x≥1，A．fx在0,2B．当k=14时，方程C．fx的值域为D．若对于任意的x∈R，都有x−1f【答案】BD【解析】对于A，当x<1时，f(x)=−x当x≥1时，f(x)=lnx+x−1,f故可作出函数的图象如图示：由此可知，fx在0,1对于B,当k=14时，g(x)=14(x−1)令−xx−1=14当x=1时，f(1)=ln1+1−0,g(1)=0，故x=1是当x>1时，令ℎ(x)=f(x)−g(x)=lnx+3即ℎ(x)>ℎ(1)=0，即f(x)>g(x)，此时fx故综合上述，当k=14时，方程由函数fx对于D,对于任意的x∈R，都有x−1f则当x<1时，fx−gx即k≥−x(x−1)2当x<−1时，u'(x)>0，当−1<x<1时，故u(x)max=u(−1)=当x=1时，x−1f当x>1时，fx−gx令v(x)=lnx+x−1−kx+k,当k≤1时，v(x)=ln当1<k<2时，令v'(x)=1+(1−k)x当1<x<1k−1时，故v(x)>v(1)=0，不符合题意当k≥2时，x=1k−1∈(0,1]故v(x)=lnx+(1−k)(x−1)递减，则即lnx+x−1−kx+k<0综合上述，可知当k≥2时，对于任意的x∈R，都有x−1故D正确，故选：BD【点睛】本题综合考查了函数与方程的应用，涉及到利用导数判断函数的单调性和最值问题，综合性强，计算量大，解答的关键是能恰当的变式，构造函数，利用导数判断函数单调性，以及求解最值.15．已知函数f(x)=x(