高三数学二轮专题复习讲义导数及其应用

第1节导数基础知识篇

基础知识诊断回顾教材务实基础

【知识梳理】

考点1导数的概念和几何性质

函数/（%）在x=/处瞬时变化率是lim电=lim/（x°+Ax）-/（x。），我们称它为函数y=/（尤）在工=/处的

Ax°Ax

导数,记作尸（/）或可10•

票点诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Ax->0的意义：Ax与0之间距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当Axf0时，位在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

包=〃x。+©一（%）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即/'（%）=lim包=lim/（/+©）-”工0）.

—Ax-Ax

2.几何意义函数j，=/（x）在x=x0处的导数尸（%）的几何意义即为函数j，=4X）在点尸（看,%）处的切线的

斜率.用导数研究切线问题，切点是关键.（三大基本关键点：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标

的导函数值为切线斜率）.后=/'6）=1211］（0表示倾斜角，注意tz等于90°的特殊情况）.

3.物理意义函数s=s（7）在点小处的导数s'%）是物体在％时刻的瞬时速度n,即n=s'（%）；v=v（7）在点

t0的导数M"o）是物体在九时刻的瞬时加速度。，即a=MU。）.

考点2导数的运算

1♦求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(。为常数)r«=o

/(x)=xa(aeQ)f\x)=axa~x

f(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=axlna

/'(X)=；

/(x)=logx(Q〉0,aw1)

axina

/(X)=//'(x)=e、

/(x)=lnxf'M=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosXf\x)=-sinx

2.导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则：［/(X)土g(x)］'=八x)土g，(x);

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)］=/'(x)g(x)+/(x)g，(x);

(3)函数商的求导法则：g(x)#O,则［回］=7'(x)g(xr(x)g'(x)

g(x)gW

导数

复合函数y=/［g(x)］的导数和函数歹=/Q),M=g(x)的导数间关系为yx=yuux:

如y=(3x-1)2我们将分三步：①将复合函数分解为基本初等函数\y=U

\u=3x-\

②将y对〃的导数记为乂=2",将〃对x的导数记为4=3;③了=/-u'x=2u-3=6(3x-1).

基础知识诊断回顾教材务实基础

考点一导数的概念和几何性质

【例1】（2020•南阳月考）若〃x）=2矿（2）+，,则/\1）=（）

A.-4B.-6C.2D.4

【例2】（2020•全国I卷）曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

【例3】（2020•全国I卷）函数/（x）=/-2/的图像在点（1,/⑴）处的切线方程为（）

A.y=-2x-1B.y=—2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1

【拓展提升】（2020•韶关期末）已知曲线S:y=2x-xi,求过点/（1,1）并与曲线S相切的直线方程.

【拓展提升】（2020•深圳月考）设点P在曲线y=上，点。在曲线y=ln（2x）上，则|尸最小值为（）

A.l-ln2B.V2(l-ln2)C.l+ln2D.V2(l+ln2)

【解题总结】

1.注意导数的几何意义和物理意义.

2.先化简解析式，在求导.

3.注意区分在点的切线方程和过点的切线方程

在点的切线方程切线方程的计算：函数y=/（x）在点,/（x。））处的切线方程

y=fM

为一（%）=/'（%）（尤-X。）,抓住关键0

k=f'(xo)

过点的切线方程设切点为尸（X。，％）,则斜率左=/（%0）,过切点的切线方程为：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因为切线方程过点/（〃?，M）,所以=/'（%）（机-X0）然后解出X。的值.（x。有几个值，就有几条切线）

注意在做此类题目时票分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

【训练1】（2021•朝阳期末）已知一/⑴f+x,则〃2）的值为（）

43

A.-1B.0C.-D.-

32

x

【训练2】(2020•全国HI)设函数/(%)=--e--,若/”)=—e,则〃=_________.

x+a4

【训练3】（2020•渭南一^莫）＞=Inx-2在1=1处的切线的倾斜角为二，贝寸cos（2a+马的值为（）

x2

【训练4】（2018•全国卷I）设函数/（%）=%3+（〃_1.2+"，若"'）为奇函数，则曲线＞=/（%）在点（0,0）

处的切线方程为（）

A.y=-2xB.y=~^c.y=2xD.y=x

【训练5】（2019•全国m）已知曲线y=ae"+xlnx在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+b,则

A.a=e,b=-lB.a=e,b=l

C.a=e~x,b=\D.a=e~{,b=-l

【训练6】（2020•清新期末）曲线y=e"+i+x在％=-1处的切线与曲线y=f+加相切，则加二（）

A.4B.3C.2D.1

【训练7】（2020•珠海期中）直线y=冽分别与曲线y=2（x+l）,y=x+hu交于点4,B9则|“目的最小

值为（）

A.圭也B.2C.3D.-

42

考点2八大同构函数

八大同构函数分别是：y=xex,y=--,y=~-9y=x\nx,y=——y=——y=ex-x-l,

exxInx9x9

y=x-lnx-1我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间

的本质联系.

图1-2-7

图1-2-4图1-2-6图1-2-8

对于V=xe":如图1-2-1,求导后知：f\x）=（x+1）-,/（%）在区间（-8,-1）递减，在区间（-1,+8）递

增，/w=/（-i）=--；

mne

对于V=xlnx:如图122,求导后知：f\x）=lnx+l,/（x）在区间（0,』）递减，在区间（L+8）递增,

/（4=心=一

关于图1-2-1和图1-2-2,我们仔细观察会发现对于y=xe'函数，我们把x换成Inx即可得到y=xlnx.

y1—y

对于y=—：如图1-2-3,求导后知：f'（x）=-/（X）在区间（-00,1）递减，在区间（1,+00）递增，

eAex

/Wmax=/（1）=-；

e

对于＞=皿：如图1-2-4,求导后知：尸（幻=上坐，”X）在区间（0,e）递增，在区间（e,+oo）递减,

XX

/Wmax=/（1）=-；

e

关于图1-2-3和图1-2-4,我们仔细观察会发现对于了=三函数，我们把x换成Inx即可得到了=处.

exx

对于y=J：如图1-2-5,当x<0时，/（x）=e（x[l）<0,在区间（_oo,0）递减；

XX

当x>0时，,在区间（0,1）递减，在区间（1,+8）递增，〃x）1nhi=〃l）=e;

对于>=上：如图1-2-6,当x<l时，/（x）=电二<0,在区间（0,1）递减；

\nx（Inx）

当%>1时，八%）=，，：,在区间（l,e）递减，在区间（e,+oo）递增，/（x）min=f（e）=e;

（Inx）

关于图1-2-5和图1-2-6,我们仔细观察会发现对于y=J函数，我们把x换成Inx即可得到>==匚.

xInx

对于%—1：如图1-2-7,求导后知：ff（x）=ex-l,/（x）在区间（-8,0）递减，在区间（0,+8）递增,

/«in=/（0）=0；

对于>=x-lnx-l:如图1-2-8,求导后知：/r（x）=1--,/（%）在区间（0,1）递减，在区间（1,+oo）递增,

/（%濡=〃1）=0；

关于图1-2-7和图1-2-8,仔细观察会发现对于>=—1函数，我们把x换成Inx即可得到歹=x—Inx—1.

【例1】（2020•福建模拟）函数/（x）=（x+l）•/的最小值为.

【例2】（2020•荆州期末）函数外幻=L+止的单调增区间为（）

xx

A.(-co,1)B.(0,1)C.(0,e)D.(1,+oo)

【例3】(2021•江苏期末)函数/(x)=xe「xTnx的最小值为,

【解题总结】

1.熟悉掌握八大函数的基本性质.

2.利用八大函数基本性质解决最值单调区间问题.

3.注意函数之间的同构式转化.

x-l

【跟踪训练1】(2020•惠州期末)函数/(%)=——e(x>0)的最小值为.

x

InX

【跟踪训练2】(2020•成都二诊)已知函数/(%)=---，g(x)=x-e~x,若存在不£(0,+oo),xeA,使得

x2

f(xJ=g(X2)=k(k<0)前立,则(生>)2.1的最大值为()

修

41

A./9B・eC.—D.—

考点3三次函数的图像和性质

设三次函数为：f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、6?eR且aw0),其基本性质有:

对于三次函数/(x)=G?+6/+cx+d(a、b、c、c?eR且aH0),其导数为/''(x)=Sax。+26x+

-b±J"-3ac

当〃-3〃>0,其导数尸(x)=0有两个解再，x,原方程有两个极值国，x

223a

当时,原方程有且只有一个实根；

当〃网>〃％)=0时，原方程有两个实数根；

当〃再>/(%)<0时,原方程三个实数根；

性质3:对称性

(1)三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；,/(-—));

3a3a

(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.

【例1】（2020•泸州期末）函数/（x）=x3+2x2+mx+3是R上的单调函数，则m的取值范围是（）

4,4C.[1,+00)D.(-oo,1]

A.(-00,-]B.弓，+oo)

1Q

【例2】(2020•金凤期末)已知函数/(x)=］x3-x2-8x+§,则下列说法正确的()

A.〃x)有一个零点

B.“X)在x=4处有极大值

C.“X)在［-2,4］上单调递增

D.“X)在》=-2处有极大值

【例3】(2020•贵池期中)设。为实数，函数/(x)=/+ax2+(a-3)x,且/'(x)是偶函数，则/(x)的递减区

间为()

A.(0,+oo)B.(-00,-1),(1,+oo)C.(-1,1)D.(3,+oo)

【例4】(2020•新课标皿)已知函数/(x)=x3-日+/.

(1)讨论/(x)的单调性.

⑵若/(X)有三个零点，求左的取值范围

【解题总结】

1.注意三次函数的基本性质.

2.数形结合便于理解.

【跟踪训练】

1.（2020•烟台期末）若函数/（；0=1+（2-0）/+1》+1在定义域上不单调，实数”的取值范围

为（）

A.或。>4B.a>4C.1<«<4D.1<<4

2,若函数=3%+。有3个不同的零点，则实数〃的取值范围是（）

A.(-2，2)B.[-2,2]C.(-00,-1)D.(1,+oo)

3.(2014•全国I理)已知函数/(x)=ax3-3*+l,若/(x)存在唯一的零点%,且为>0,则a的取值范围

为()

A.(2,+oo]B.(—cor—2)C.(1,+00)D.(-oo,-1]

考点4抽象函数导函数构造(拓展提升)

类型一导数和差，构造和差型函数:

f\x)+c=[/(x)+ex],;f，(x)+g'(x)=[/(x)+g(x)];f'(x)-g'(x)=[/(x)-g(x)T;

和与积联系，构造乘积型函数；差与商联系，构造分式型函数:

/'(x)g(x)-/(x)g，(x)=[/(,,

/Xx)g(x)+/(x)g,(x)=[/(x)g(x)l，

g2(x)g(x)

类型二幕函数及其抽象构造

定理1#'(x)+/(x)>0o[V(x)]'>0;xf'(x)-/(x)>0<^>[^^],>0

证明：因为#a)+/(x)=[M(x)y；犷⑴=[£^1了,所以矿(x)+/(x)>o,则函数了=切a)单调递

XX

增；xf\x)-f(x)>0,则卜=型»单调递增.

定理2当x>0时，xf'(x)+nf(x)>0o>0;-叭x)>0=>0

证明因为》"'。)+内1/(》)=口"/(初'；x"所以矿(x)+"(x)>0,则函数

y=x"/(x)单调递增；rf'(x)-nf(x)>0,则y=驾单调递减.

类型三指数函数与抽象构造

定理3f'(x)+f(x)>0o[exf(x)]'>0;r(x)+f(x)<0=[e/(创'<0

/V)-/(x)<0«[^r<0

证明：因为[/(x)e['=e'[/'(x)y(x)],[詈I="”八X),所以广(x)+/(x)>0,则y=/(x)/单调递

增；反之尸〃上单调递减；仆—则”号单调递增；反之”号单调递减.

定理4rw+/(x)>^[ev(x)-a)r>o；r(x)-/(x)>^[^|^r>0.

证明：因为/'(X)+/(x)_a=©°(.;/'(x)-/(x)-a=e2,[由当@了，所以八x)+/(x)>a,则

exex

y="(/(%)-a)单调递增；/'(%)+/(%)<〃，y=e、(/(x)-a)单调递减；若/'(x)-/(1)>a,则y=/(")+。

ex

单调递增，若八幻-则,=/(%)+」单调递减.

ex

定理5正弦同号，余弦反号定理

〃x)smx+〃x)—[〃x)smx"0,当xe(gj),fr(x)tanx+/(x)>0<=>[/(x)sinx]r>0;

当xw(-工，工)，r(x)tanx—/(x)>00[^^|，>0;

/z(x)sinx-/(x)cosx>0>0,

sinx22sinx

cosxfr(x)-/(x)sinx>0o[/(x)cosx]r>0,当XG(-—,—)/'(%)-f(x)tanx>0o[/(x)cosx]r>0;

f'(x)cosx+/(x)sinx〉0o3>。,当Xe(-工，-),/'(x)+/(x)tanx>0o>0.

cosx22cosx

遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论.

【例1】(2020•湛河月考)已知定义在R上的函数g(x),其导函数为g'(x),若g(x)=g(-x)+x3,且当xNO

时，grW>|x2,贝U不等式2g(x+l)—2g(x)<3Y+3x+l的解集为()

A.(-；，0)

B.(-co,一；)C.(-,+oo)D.(一8,；)

【例2】(2015•新课标n)设函数是奇函数/(x)(xeR)的导函数，/(-1)=0,当x>0时，

矿(x)-/(x)<0,则使得/(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-oo,-l)U(0,1)B.(-1,0)U(h+oo)

C.(-00,-1)U(-1.0)D.(0,1)U(1，+oo)

【例3】(2020•南平一模)已知定义在R上的连续函数/(x)满足/(x)=/(4-x)且/(-2)=0,/'(x)为函数

〃x)的导函数，当x<2时，有〃x)+/'(x)>0,则不等式x・/(x)>0的解集为()

A.(0,6)B.(-2,0)C.(-00,-2)D.(-oo,-2)U(0,6)

【例4】(2020•汕头一模)已知函数y=/(x-2)的图象关于点(2,0)对称，函数y=/(x)对于任意的

xe(0,万)满足八x)cosx>/(x)sinx(其中八x)是函数/(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()

A./(_£)>V3/(J)B./(-y)<V3/(^)

3o3o

C.W(q)>用电D.V2/(-^)>V3/(-1)

【解题总结】

1.构造时抓住问题最后的不等式，往往隐藏着原函数影子.

2.利用单调性求解范围.

【跟踪训练】

1.(2020•宛城模拟)定义在R上的可导函数/(x)的导函数为/(x),满足了'(x)</(x)且>=/(尤+1)是偶函

数，/(0)=2e2,则不等式/(x)<2e，的解集为()

A.(-co,2)B.(-co,0)C.(0,+00)D.(2,+<»)

2.(2020•遂宁模拟)定义在(1,+8)上的函数“X)满足//'(制+1>0,其中/'(X)为函数/(x)的导函数，

4

/(3)=j,则关于x的不等式“bg2X)-l>log、2的解集为()

A.(1,8)B.(2,+oo)C.(4,+oo)D.(8,+<»)

3.(2020•陕西月考)已知定义在(0,+8)上的函数〃x)满足切'(x)-/(x)<0,其中/(x)是函数/(x)的导

函数.若2/(m-2020)>(加-2020)/(2),则实数的取值范围为()

A.(0,2020)B.(2020,+<»)C.(2022,+<»)D.(2020,2022)

4.(2020•邵阳一模)已知定义在R上的函数/(x)的导函数为广(x),/。)+/(-苫)=0且对任意工€(0,万)有

/,(x)sinx</(x)cosx.设。=一2/(-令，6=0/()c=/(y),则()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

第2节单调性问题

基础知识诊断回顾教材务实基础

【知识梳理】

考点1单调性基础问题

1.函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果广(x)>0,则y=/(x)为增函数；

如果/'(x)<0,则y=/(x)为减函数.

2.已知函数的单调性问题

①若〃x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有尸(x)NO恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足

尸(x)>0,才能得出/(%)在某个区间上单调递增；

②若/(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有广(x)40恒成立(但不恒等于0);反之，要满足

f\x)<0,才能得出/(x)在某个区间上单调递减.

考点2讨论单调区间问题

类型一不含参数单调性讨论

第一步：求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

第三步：求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数

正负区间段已知，可直接得出结论)；

第四步：未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

第五步：正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

第六步：一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

第七步：借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

第八步：综上所述得圆满.

类型二含参数单调性讨论

第一步：求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个

连续的区间）；

第二步：变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或

恒负，无需单独讨论的部分）；

第三步：恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；

第四步：然后再求有效根；

第五步：根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

第六步：导数图像定区间（作图原理同穿针引线法解高次不等式）；

第七步：综上所述得圆满.

基础知识诊断回顾教材务实基础

考点一单调性基础问题

【例1】（2020•南岗期末）函数"x）=gx2-91nx的单调递减区间是（）

A.（0,3）B.（-00,3）C.（3,+oo）D.（-3,3）

【例2】（2021•宁德期末）已知函数"x）=2x+，一，若函数/（x）在区间［0,+8）上单调递增，则实数°的

X+1

取值范围是（）

A.iz>0B.tz>2C.a<2D.a<2

【例3】(2021•呼和浩特月考)若函数/(x)=(-|V+x+l区间[；,3]上不单调，则实数。的取值范围

是()

A.(2,4)B.[2,4)C(2,当D.[2,马

【解题总结】

以上是单调问题常见题型三剑客，即求单调、已知单调求参范围、已知不单调求参范围，这里要注意

一个细节，即是否取等.

【训练1】(2021•太原期末)函数/(x)=上的单调递增区间是()

ex

A.(-oo,-1]B.(-oo,1]C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【训练2】(2020•全国I理)已知函数/(x)=，+*—X•

(1)当。=1时，讨论的单调性;

【训练3】(2020•兴庆期末)若函数/(xhlnx-竺在[1,3]上为增函数，则加的取值范围为()

A.(—00,—1]B.[—3,+oo)C.[―1,+00)D.(—co,—3]

【训练4】(2020•梅州期末)若函数〃x)=2x+旦在区间[0,+◎上单调递增，实数°的取值范围是()

X+1

A.a>0B.a>2C.a<2D.a<2

考点二讨论单调区间问题

[例4](2020•新课标I)已知函数/(%)=1—q(x+2).

(1)当4=1时，讨论/(X)的单调性；

【例5】(2020•新课标I)已知函数f(x)=ex+ax2-x

(1)当。=1时，讨论/(X)的单调性；

［拓展提升］(2020•新课标II)已知函数/(x)=21nx+l.

(1)设a>0,讨论函数g(x)=一/⑷的单调性.

"Mx-a

【解题总结】

1.关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从

而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.(注意定义域的间断情况).

2.需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函

数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.

3.利用草稿图像辅助说明.

【训练1】(2020•新课标H)已知函数/(x)=sin2xsin2x.

⑴讨论/(x)在区间(0,万)的单调性；

V-L1

【训练2](2019•新课标D)已知函数/(x)=lnx-----

x-1

(1)讨论/(X)的单调性；

【训练3】(2014•新课标0)已知函数/(x)=e*-eT-2x.

⑴讨论/(x)的单调性；

情形一变号函数为一次函数

【例7】(2019•重庆模考)已知函数/(x)=ox+lnx+l(aeJ?).

(1)讨论函数/(x)的单调性;

情形二变号函数为准一次函数

【例8】(2019•广东二模)已知函数/(X)=Q/+2X-1.(其中常数e=2.71828…，是自然对数的底数.)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

【训练4](2020•广西联考)已知函数f(x)=x-1-alnx,

(1)求函数/(x)的极值.

【训练5】(2020•重庆二模)已知函数/(x)=alnX—(其中。42且。*°),且〃x)的一个极值点为x=L

X

(1)求函数“X)的单调区间;

情形三变号函数为二次函数型

知识点讲解：变号函数为二次函数时，变号函数为0的方程一般有两个不同实数根玉，/(无根情况下二次

函数恒正或恒负，只有一根时情况类似，故不作为讨论重点)，理论上票分X|>Xz，进行讨论；

若函数八>)有定义域限制，则方程往往会涉及根的分布问题，需要结合定义域对根的分布进行分类讨论.

可因式分解

【例9】(2017•新课标田)已知函数/(x)=\nx+ax2+(2a+l)x.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

不可因式分解型

y—1

【例10】(2014•山东)设函数/(x)=alnx+——,其中Q为常数.

x+1

(1)若0=0,求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)讨论“X)的单调区间.

【训练6】(2019•新课标W)已知函数〃x)=2x3一"+6.

(1)讨论/(x)的单调性；

【训练7】(2020•新课标IH)已知函数/(x)=x3-kx+k2.

(1)讨论“X)的单调性;

【训练8】（2020•马鞍山二模）已知函数/（%）=〃£一"-/+%（。〉0）

（1）讨论/（X）的单调性;

情形四变号函数为准二次函数型

【例11】(2017•新课标I)已知函数/(x)=/(1-a)-a2x.

(1)讨论/(x)的单调性.

【解题总结】

1.二次型结构of+&C+C,当且仅当0=0时，变号函数为一次函数.此种情况是最特殊的，故应最先讨

论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解.

2.对于不可以因式分解的二次型结构a/+bx+c9我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负.

3.注意定义域以及根的大小关系.

考点三零点比大小破解双参范围(拓展提升)

1.fcc+6£/(x)恒成立，求2的最值和取值范围；

k

2.fcr+63/(x)恒成立，求2的最值和取值范围.

k

如图3-3-1所示，通常的方法是构造函数g(x)=/(x)-履，则gGLn3。时，从而达到解决此类型的目的，

这种解答方法适合解答题，但此类型题目出现在选填压轴题的几率更大，常规思路由于计算量大，对一道

客观题来说没必要，故需要采纳一些高观点低运算的方法，此类型可以利用数形结合的思想，如图3-3-2

所示，通常y=y（x）是一个凹函数（/'x）〉0）,如丘+6£/（x）意味着〉=/（工）与了=h+6相切时即恒成立,

（-2,0）是直线和x轴的交点，记为（9，。），将y=/（X）的唯一零点X1求出,满足不£%即可.

kk

图3-3-1图3-3-2图3-3-3图3-3-4

同理，在比较丘+方3“X）时，也是一类型转化，此时y=/（x）为凸函数（76）〈0）,也将图3-3-3的方案转

化为图3-3-4,构造占3%=-2；四个图中的虚线直线是不可能满足题目要求的，此方法叫零点比大小.

k

【例12】（2021•成都期末）设后，61R,不等式fcc+b+131nx在（0,+¥）上恒成立，则白的最小值是（）

k

11

A.~e9B.——C.D.~e

ee

A-4

【例13］（2021•镇海月考）不等式4x+2@zxb（a、6啜，a-4）对任意实数x恒成立，则——的

。+4

最大值为（）

A.-In2B.-l-ln2C.-2In2D.2-21n2

b-a+1

【跟踪训练13】(2021•浙江月考)已知。，blR,若e*-1办一方对任意实数x恒成立恒成立，则------

a

的取值范围为.

【跟踪训练14】(2020•武汉二模)函数/(x)=lnx,g(x)=(a~e)x+2b.不等式/(x)£g(x)在xf(0，+¥)

恒成立，则勺的最小值是()

a

A.--B.--C.-eD.e

2ee

第3节极值与最值

基础知识诊断回顾教材务实基础

【知识梳理】

考点1极值与最值

1.函数的极值

函数/(X)在点与附近有定义，如果对天附近的所有点都有“X)</(/),则称/(%)是函数的一个极大

值，记作歹极大值=/&),如果对飞附近的所有点都有/(%)>/(%),则称/(%)是函数的一个极小值，记作

y极小值=/(%).极大值与极小值统称为极值，称不为极值点.

求函数的极值的三个基本步骤①求导数/'(X);②求方程/'(x)=0的所有实数根；③检验广(X)在方程

广(力=0的根左右的符号，如果是左正右负(左负右正)(注意数形结合分析)，则/(%)在这个根处取得极

大(小)值.

2.最值的判断法则

函数歹二/(%)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(%)最小值为极小值与靠近极

大值的端点之间的最小者.

2

间隔最值定理导函数为f(x)=ax+bx+c=a(x--x2)(m<xx<x2<n)

(1)当。>0时，最大值是/(再)与/(几)中的最大者；最小值是/(马)与/(⑼中的最小者.

(2)当q<0时，最大值是/(x2)与f(m)中的最大者；最小值是/(再)与f(n)中的最小者.

一^地，设歹=/(x)是定义在［m,n］上的函数，y=/(x)在(加，几)内有导数，求函数y=/(%)在［冽，n\

上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求>=/(%)在(加，加)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将》=/(%)的各极值与/(加)和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

基础知识诊断回顾教材务实基础

考点一极值与最值

【例1】(2020•平邑县期中)已知函数/'(X)的定义域为R且导函数为了'(X),如图是函数y=x-y'(x)的图

象，则下列说法正确的是()

A.函数“X)的减区间是(-2,0),(2,+oo)B.函数“X)的减区间是(-8,-2),(2,+oo)

C.x=-2是函数的极小值点D.x=2是函数的极小值点

【例2】(2019•运城期末)函数/(x)=f-lnx的极值点是

177

【例3】(2020•运城期末)函数/(X)=asinx+§sin3x在x=§处有极值，则(?的值是.

【例4】(2020•天津)已知函数/(x)=G+8nx(无eR),/'(x)为〃x)的导函数.

(1)当左=6时，

(i)求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

o

(ii)求函数g(x)=〃x)-/'(x)+3的单调区间和极值；

x

【例5】(2017•北京)已知函数/(X)=excosx-x,

(1)求曲线＞=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)求函数/(X)在区间［o,g上的最大值和最小值.

【解题总结】

1.因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程/'（x）=0根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值

是否与已知有矛盾.

2.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x轴，否则不

是极值点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.

【训练1】（2021•湖南月考）若尤=1是函数/（x）=；/+（a+1），一（a?+0-3）x的极值点，贝'Ja为（）

A.-2B.3C.-2或3D.-3或2

【训练5】（2020•吉林月考）设函数在定义域内可导，y=〃x）的图象如图所示，则导函数y=/'（x）的

图象为（）

【训练2】（2021•广东期末）函数/（xhZxg?，的极大值为,

【训练3】(2021•河东期末)若函数〃x)=gx3一af+x-5无极值点，则实数”的取值范围是.

【训练4】(2018•新课标I)已知函数/(x)=2sinx+sin2x,贝I〃x)的最小值是.

考点2恒能分问题

恒成立：对定义域。内的任意实数，方程或不等式都成立.

能成立：定义域内存在某个或某些实数，使得方程或不等式能够成立，即存在性问题.

这里，我们将这两类问题按着变量是否统一作了一个分类：

统一变量的恒成立与能成立问题

类型一y/(x)满足VxeD,/(x)>m恒成立,则在区间。上/(X)mM>加

f(x)满足VxeD,f(x)<m恒成立,则在区间。上/(x)max<m

类型二(3)y/(x)满足Hxe。，f{x}>m能成立,则等价于在区间D上/(x)max>m

(4)f(x)满足太eD,f(x)<m