甘肃省礼县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

礼县第一中学2024学年高二第一次月考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A. B.C. D.2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（）A.14 B.15 C.23 D.253.若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.4.若角满足，则（）A. B. C. D.5.直线关于对称的直线方程为（）A. B. C. D.6.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（）A. B. C. D.7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个8.在中，，，是的外心，则的最大值为（）A.2 B.C. D.4二､多选题9.已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若A与B相互独立，则 B.若，则事件A与相互独立C.若A与B互斥，则 D.若B发生时A一定发生，则10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（）A.曲线的方程为B.曲线的方程为C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为D.曲线上的点到直线的距离的最大值为11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（）A.当P为底面的中心时，B.当时，长度的最小值为C.当时，长度的最大值为6D.当时，为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，两点到直线的距离相等，则__________．13.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面内两点，．（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．18.已知P(，)是椭圆C：(a>b>0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积的最大值．19.已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积，其中为坐标原点.（1）证明：和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在三点D，E，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.1.D因为全集，，所以，又因为，.故选：D.2.D把数据按从小到大的顺序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因为，上四分位数是.故选：D3.B设圆锥的底面半径为r，由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为2r，又轴截面面积为，故，则该圆锥的表面积为，故选：B4.B由，得，即，则所以.故选：B5.C取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.6.C记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且.恰好能答对两道题事件，且两两互斥，所以，整理得，他三道题都答错为事件，故.故选：C.7.B在从左往右第一个图中，因为，所以，因侧棱垂直于底面，所以面，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，因为分别是所在棱的中点，所以所以，，故，即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时，所以，，故，所以不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时，故，，即，所以不垂直，则下列3个直观图中满足的有个，故B正确.故选：B8.B设角所对的边分别为，，，因为是的外心，记中点为，则有，即，可得，在中，由正弦定理可得：，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：B.9.ABD对于A，若A与B相互独立，则，所以，故A对；对于B，因，，则，因为，所以事件与相互独立，故B对；对于C，若A与B互斥，则，故C错；对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对．故选：ABD10.BCD对A选项与B选项，由题意知圆与圆交于点，则，，所以，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，所以，所以曲线的方程为，故A选项错误，B选项正确；对C选项，通径的长度为，故C选项正确；对D选项，设与直线平行的直线为，，将与联立得，令，解得，此时直线与椭圆相切，当时，切点到直线的距离最大，直线的方程为，此时两平行线的距离为，故曲线上的点到直线的距离的最大值为，故D选项正确.故选BCD.11.BCD对于A，当为底面的中心时，由，则故，故A错误；对于B，当时，当且仅当，取最小值为，故B正确;对于C，当时，，则点在及内部，而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，当时，，当时，，可得最大值为，故C正确；对于D，，，而，所以，则为定值，故D正确.故答案选：BCD.12.1或2由题意可得：，即，可得或，解得或.故答案为：1或2.13.由题意设三棱台为，如图，上底面所在平面截球所得圆的半径是，为上底面截面圆的圆心下底面所在平面截球所得圆的半径是，为下底面截面圆的圆心由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解；当在的延长线上时，可得，解得，因此球的表面积是．故答案为：连接，，由点在以为直径的圆上，故.又，在椭圆上，故有，.设，则，，，.在中，由勾股定理得，解得，于是，，故.15.（1）由题意得，则直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，即．（2）的中点坐标为，由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，即．因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以点在直线上，故设点为，由可得：，解得或，所以点坐标为或，则直线的方程为或．16.（1）若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率；（2）在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率；（3）甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率；第2种情况的概率；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为.17.（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，，解得，又，解得，所以，，成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：，设第60百分位数为，则，解得，所以晋级分数线划为73分合理；（2）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，，则所有的抽样有：，共15个样本点，“抽到的两位同学来自不同小组”，则共8个样本点，所以.（3）因为，所以，所以，所以，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，，平均数与标准差分别为，，则剩余8个分数的平均数：，方差：18.（1）由题意可得，解得：，，∴椭圆的标准方程为：；（2）由(1)可得右焦点，由题意设直线的方程为：，设直线与椭圆的交点，，，，则中点的纵坐标为，联立直线与椭圆的方程，整理可得：，，∴，同理可得直线与椭圆的交点的纵坐标，∴，设，令，则，令，，，，恒成立，∴在，单调递增，∴．∴面积的最大值为：．19.（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，因为在椭圆上，所以，①又因为，所以，②由①②得，，此时，.（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入得，其中，即，（*）又，，所以，因为点到直线的距离为，所以，又，整理得，且符合（*）式，此时，，综上所述，，，结论成立。（2）解法一：（ⅰ）当直线的斜率不存在时