2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,4)，b=(−1,1)，则2aA.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)2.已知直线l1：x−3y+2=0，l2：3x−ay−1=0，若l1⊥l2A.1 B.12 C.−123.已知m是实常数，若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆，则mA.(−∞,20) B.(−∞,5) C.(5,+∞) D.(20,+∞)4.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是(

)A.若a，b与α所成的角相等，则α//b B.若a//α，b//β，α//β，则a//b

C.若a⊂α，b⊂β，α//b，则α//β D.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b5.直线y=kx+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M、N两点，若|MN|=2A.0 B.−23 C.−26.过点P(1,3)作直线l，若l经过点A(a,0)和B(0,b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出(    )．A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条7.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱A.[1,2) B.(1,2] C.(0,1]8.已知点P在直线y=−x−3上运动，M是圆x2+y2=1上的动点，N是圆(x−9)A.13 B.11 C.9 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，则a的值不能为(

)A.1 B.2 C.−1 D.−210.正方体ABCD−A1B1A.直线AD1与直线A1C1所成角为π3 B.直线AD1与平面ABCD所成角为π3

C.二面角11.已知圆M：(x−1)2+(y−1)2=4，直线l：x+y+2=0，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为AA.四边形MAPB面积的最小值为4

B.四边形MAPB面积的最大值为8

C.当∠APB最大时，|PA|=2

D.当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1：mx+y+2m−3=0，l2：mx+y−m+1=0，则直线l1与l13.已知三棱锥P−ABC中，∠APB=2π3，PA=PB=3，AC=5，BC=4，且平面PAB⊥平面ABC14.若点A(x,y)满足C：(x+3)2+(y+4)2≤25，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知直线m：2x−y−3=0与直线n：x+y−3=0的交点为P．

(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；

(2)若直线l1过点P且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l116.(本小题15分)

某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥S−ABCD的高是长方体ABCD−A1B1C1D1高的12，且底面正方形ABCD的边长为4，AA17.(本小题15分)

已知：圆C过点D(0,1)，E(−2,1)，F(−1,2)，P是直线l1：y=x−2上的任意一点，直线l2：y=x+1与圆C交于A、B两点．

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)18.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+(y−1)2=4和圆C2：(x−4)2+(y−5)2=4．

(1)若直线l过点A(−1,0)，且与圆C1相切，求直线l的方程；

(2)设P为直线x=−32上的点，满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l19.(本小题17分)

如图，已知直三棱柱A1B1C1−ABC中，∠ABC=90°且AB=BC=BB1=2，D、E、F分别为AC、BC、B1B的中点，G为线段DE上一动点．

(1)求C1F与平面A

参考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.D

6.B

7.C

8.D

9.AC

10.AC

11.ACD

12.5

13.28π

14.32515.解：(1)由2x−y−3=0x+y−3=0⇒m,n的交点为(2,1)，

由直线l与A，B的距离相等可知，l/​/AB或l过AB的中点，

∴由l/​/AB得l的方程为y−1=−12(x−2)，即x+2y−4=0，

由l过AB的中点得l的方程为x=2，

故x+2y−4=0或x=2为所求．

(2)方法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k<0．

则直线l1的方程为y=k(x−2)+1=kx−2k+1．

令x=0，得y=1−2k>0，

令y=0，得x=2k−1k>0，

∴S△ABO=12(1−2k)2k−1k=4，解得k=−12，

故l1的方程为y=−12(x−2)+1=−12x+2．

方法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a16.解：(1)几何体ABCD−A1B1C1D1为长方体且AB=BC=4，AA1=2，

∴AC1=AB2+BC2+AA12=42+42+22=6，

记长方体外接球的半径为R，线段AC1就是其外接球直径，

则2R=6，R=3，

长方体外接球的体积为V=43π×33=36π．

(2)如图，设AC，BD交于点O，连接SO，∵S−ABCD为正四棱锥，17.解：(Ⅰ)易得C在直线x=−1上，不妨设C(−1,b)，

因为CE=CF，即(−1+2)2+(b−1)2=(−1+1)2+(2−b)2，解得b=0，

故C(−1,0)，半径r=(−1+2)2+(b−1)2=2，

则圆C的方程为：(x+1)2+y2=2；

18.解：(1)设直线l的方程为：y=k(x+1)，即kx−y+k=0…(1分)

圆心C1到直线l的距离d=2，…(2分)

结合点到直线距离公式，得|−3k−1+k|k2+1=2，…(3分)

求得k=34…(4分)

由于直线x=−1与圆C1相切．…(5分)

所以直线l的方程为：x=−1或y=34(x+1)，即x=−1或3x−4y+3=0…(6分)

(2)设点P坐标为(−32,n)，直线l1、l2的方程分别为：y−n=k(x+32)(k≠0),y−n=−1k(x+32)，

即kx−y+n+32k=0,x+ky−kn+32=0…(7分)

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等，

所以圆心C1到直线19.解：(1)由直三棱柱A1B1C1−ABC，知BB1⊥面A1B1C1，

所以点F在A1B1C1的投影为B1，

所以∠FC1B1为C1F与平面A1B1C1所成角，

所以tan∠FC1B1=B1FB1C1=12，

所以C1F与平面A1B1C1所成角的正切值为12．

(2)证明：以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系：

则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，

D(1,1,0)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，B1(0,0,2)，

所以ED=(1,0,0)，

因为G为线段DE上一动点，

设EG=λED(0≤λ≤1)，则EG=λ(1