数学版本章整合：第二章推理与证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识网络专题探究专题一合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理,统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：eq\x（实验，观察）→eq\x（概括,推广）→eq\x（猜测一般性结论)类比推理的思维过程大致如下：eq\x（观察，比较）→eq\x(联想,类推)→eq\x(猜测新的结论)【例1】观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2,右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n(n＋1），2)，故有12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1eq\f（n(n＋1),2）。答案：12－22＋32－42＋…＋（－1)n＋1n2＝(－1）n＋1·eq\f（n（n＋1），2）【例2】中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：（1）自反性:对于任意a∈A，都有a~a;（2）对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；（3）传递性:对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c,则称“～"是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等"是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出两个等价关系．解析：(1）令A为所有三角形构成的集合，定义A中两个三角形的全等为关系“～”，则其为等价关系．(2)令B为所有正方形构成的集合，定义B中两元素相似为关系“~"，则其为等价关系．（3)令C为一切非零向量构成的集合,定义C中任两向量共线为关系“~”，则其为等价关系．答案:答案不唯一，如“图形的全等"“图形的相似”“非零向量的共线"等．专题二三段论推理三段论推理是演绎推理的主要形式，演绎推理具有如下特点:(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2）演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具．(3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证特点，有助于科学的理论化和系统化．【例3】用三段论证明函数f（x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．提示：证明本题所依据的大前提是增函数的定义,即函数y＝f(x）满足：①在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则有f(x1)＜f(x2）,小前提是f(x）＝－x2＋2x,x∈（－∞，1］满足增函数的定义,这是证明本题的关键．证明：设x1，x2是(－∞，1］上的任意两个实数，且x1＜x2,则f(x1)－f（x2）＝（－x21＋2x1)－（－x22＋2x2)＝(x2－x1）·（x2＋x1－2）．因为x1＜x2,所以x2－x1＞0.因为x1，x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2＜0.因此f(x1)－f（x2）＜0，即f(x1）＜f(x2）．于是根据“三段论"，得f（x)＝－x2＋2x在（－∞，1］上是增函数．【例4】已知函数f(x)＝eq\f(a,x）＋bx,其中a＞0，b＞0，x∈（0，＋∞),试确定f(x）的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：设0＜x1＜x2，则f（x1)－f(x2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a，x1)＋bx1）)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，x2）＋bx2）)＝（x2－x1）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，x1x2)－b))。当0＜x1＜x2≤eq\r(\f(a，b））时，x2－x1＞0，0＜x1x2＜eq\f(a,b）,eq\f（a，x1x2）＞b，∴f（x1）－f(x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．∴f(x)在eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(0,\r（\f(a,b）））)上是减函数；当x2＞x1＞eq\r（\f(a，b））时,x2－x1＞0，x1x2＞eq\f(a，b），eq\f(a，x1x2）＜b，∴f（x1)－f(x2)＜0，即f(x1）＜f(x2)．∴f（x)在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(\f（a，b)），＋∞))上是增函数．专题三直接证明与间接证明在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立．反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理推导出矛盾，从而肯定结论的真实性．这种证法体现了“正难则反”的理论原则．【例5】设a，b，c为△ABC的三边，求证:（a＋b＋c)2＜4（ab＋bc＋ac)．提示：此题可先通过分析法寻求解题思路，然后用综合法证明．证明：证法一（分析法):由题意,要证明（a＋b＋c）2＜4(ab＋bc＋ac),即要证a2＋b2＋c2－2ab－2ac－2bc＜0，即证（a2－ab－ac)＋（b2－bc－ab)＋（c2－ca－bc）＜0,即要证a（a－b－c）＋b（b－c－a）＋c(c－a－b）＜0,①因为a，b，c是三角形的三边，所以a＞0，b＞0，c＞0,且a＜b＋c,所以a－b－c＜0.从而a(a－b－c）＜0，同理可得b（b－c－a）＜0，c（c－a－b）＜0，三式相加，则不等式①成立．以上各步均可逆推，故原不等式成立．证法二（综合法)：因为a，b，c是三角形的三边,所以a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b＋c,所以a－b－c＜0。从而a(a－b－c）＜0，同理可得，b（b－a－c)＜0,c（c－a－b)＜0，三式相加，可得a(a－b－c）＋b(b－c－a）＋c(c－a－b）＜0，则a2－ab－ac＋b2－bc－ab＋c2－ca－bc＜0，即a2＋b2＋c2－2ab－2ac－2bc＜0，通过配方，可得（a＋b＋c)2＜4（ab＋bc＋ac）．【例6】若函数f（x)在区间［a，b]上是增函数,那么方程f(x)＝0在区间[a，b］上至多有一个实数根．提示:含有“至多”“至少”类词语的命题从正面证明难以入手，往往考虑应用反证法证明．证明：假设方程f