专题10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（解析版）

专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D例1．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中（填“增大”或“减小”）度．【答案】减小15【分析】延长EF到H与CD交于H，先利用对顶角的性质和三角形内角和定理求出DCE=60°，然后根据三角形外角的性质得到∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∠DFE=∠D+∠DHF，由此求解即可．【详解】解：如图，延长EF到H与CD交于H，∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°，∴∠DCE=60°，∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∵∠DFE=∠D+∠DHF，∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°，∴∠D从35°减小到20°，减小了15°，故答案为：减小，15．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用：(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3)理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答；（2）根据题中给出的“字”的概念即可解答；（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可解答．【详解】（1）解：，∴，∵，．（2）解：图中有个“字”分别是：、、、、．（3）解：平分平分，，，．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．求证：（1）；（2）．（1）在中，，在中，，两不等式相加得，∴即 （2）应用上题的结论：，，∴．例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得结论；（4）如图4，同理计算可得结论．【详解】（1）在中，，在中，，∵，∴故答案为：（2）设，，∵，分别平分，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：（3）由（2）可知：，∵，∴，∴，∴，（4）如图4，延长、交于点，设，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题．模型2、“A”字模型结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为．【答案】【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．例2．（2023·重庆·八年级期中）如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，根据题意可知，，然后结合三角形内角和定理即可推出的度数．【详解】解：如图．∵为直角三角形，，∴，∵，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于得出，．例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【详解】解：和是的外角，．又，．【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．例5．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳：(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则度．(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是．(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是．【答案】(1)D(2)240(3)(4)【分析】（1）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（2）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（3）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（4）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案．【详解】（1）解：，，，故选：D．（2）解：，，，故答案为：240．（3）解：，，，故答案为：．（4）解：连接，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的外角，关键是掌握三角形的外角的性质．例6．（2023春·浙江七年级课时练习）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．【详解】解：（1）如图（4），由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；（2）如图（5），由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．例2．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可．【详解】解：由三角板的性质可得：，，∴，故选C．【点睛】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．例3．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角板的特征得到特定角的度数，进一步利用外角和内角和定理分别计算出，，的度数，即可判断．【详解】解：由三角板可知：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴角的大小为的是，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，以及三角板的特征，解题时要熟练根据这些性质逐步计算角的度数．例4．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有．（填序号）

【答案】①③④【分析】①由即可判断；②过点C作，即可判断；③分别讨论当直线与线段相交、直线与线段的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断．【详解】解：①∵，点E、C、D始终保持在一条直线上∴∵∴故①正确；②如图1：过点C作

当点E从点A移动到点H位置时，的度数在逐渐增大∴的度数在逐渐减小当点E从点H移动到点B位置时，的度数在逐渐增大故②错误；③当直线与线段交于点M，如图2：∵∴∴当直线与线段的延长线交于点M，如图3：∵∴∴故若直线与直线交于点M，则为定值故③正确；④当点E在线段上时，且，则；当点E在线段上时，且，则；当时，则；∴若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个故④正确；故答案为：①③④【点睛】本题以三角板的运动为背景，考查了平行线的判定、三角形的内角和、三角形的外角等知识点．掌握相关数学结论是解题关键．例5．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．

(1)当______秒时，；当______秒时，；(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；(3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)当为6或15或24时，有两个内角相等(3)是定值，，理由见解析【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间；（2）画出图形，分类讨论，①；②；③，求出旋转角，再求出值；（3）找出与，，，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论．【详解】（1）如图，当时，

平分，，，又为的一个外角，，；如图，当时，，，，，．故答案为：3；21．（2）①如图，当时，

，，；②如图，当时，，，，；③如图，当时，，，综上所述：当为6或15或24时，有两个内角相等．（3）是为定值105，理由如下：是的一个外角，是的一个外角，，，又，，，，．【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是关键．课后专项训练1．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，易得，利用三角形的外角的性质，得到，即可得出结论．【详解】解：如图，，∴，∴；故选C．【点睛】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．2．（2023·广西南宁·七年级校考阶段练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴，故①正确；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；所以其中正确的结论有①②④共3个，故选：C．【点睛】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．3．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）一副三角板如图摆放，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，由，，，证明，，结合，利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：如图，

∵，，，∴，，∵，∴，故选D【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，理清楚图形中角与角之间的关系是解本题的关键．4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用四边形内角和为和直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴故选：A．【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解．5．（2022春·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据四边形内角和求出∠A+∠B，再利用三角形内角和求出∠C即可．【详解】解：直线DE与AC、BC分别交于E、D，∵∠B+∠A+∠1+∠2=360°，，∴∠B+∠A=360°-260°=100°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=80°．故选择C．【点睛】本题考查四边形内角和与三角形内角和，本题难度不大，只要掌握四边形内角和与三角形内角和是解题关键．6．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案．【详解】解：如图，，，，，，，，，．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．7．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记，，，，又，，，，故选C．【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．8．（2023·全国·八年级期中）如图，将一副直角三角板如图放置，．若边经过点D，则．【答案】/15度【分析】根据三角形外角的性质得到答案．【详解】解：由题意得，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了三角板的角度计算，三角形外角的性质的应用，正确理解三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9．（2023春·七年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图，∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．10．（2023·全国·八年级假期作业）如图，若，则．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．11．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝°．（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝°．（3）将（2）中的“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：4两部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）【答案】（1）18；（2）12；（3）α；（4）α+42°或α﹣12°．【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；（4）分两种讨论：∠EOD：∠COE=1：4，∠EOD：∠COE=4：1，分别运用上述方法即可得到∠OGA的度数【详解】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°；故答案为：18°；（2）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°；故答案为12°；（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝α，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+α，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝30°+α，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝α；（4）当∠EOD：∠COE＝1：4时，∠EOD＝18°，∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝α+90°，∵∠GAD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠BAD＝（α+90°），∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，∴18°+∠OGA＝（α+90°），解得∠OGA＝α+42°；当∠EOD：∠COE＝4：1时，∠EOD＝72°，同理可得∠OGA＝α﹣12°；综上所述，∠OGA的度数为α+42°或α﹣12°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质，解题的关键是掌握：三角形内角和为180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．12．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？

(1)特殊探究：若，则度，度，度；(2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式．【答案】(1)125，90，35(2)，理由见解析(3)（2）中的结论不成立，结论：或，理由见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可．（2）猜想：．利用三角形内角和定理即可解决问题．（3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意：，，．故答案为125，90，35．（2）猜想：．理由：在中，，∵，∴，∴，又∵在中，，∴，∴，∴．（3）判断：（2）中的结论不成立．①如图3﹣1中，结论：．理由：设交于O．

∵，∴，∴．②如图4﹣2中，结论：

③如图3﹣7中，结论：．

理由：∵，∴，∴．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．13．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，例如，在图①中，凸四边形的对角线相交于点O，且，的面积分别为则有，证明过程如下：…任务：(1)请将材料中的证明过程补充完整；(2)如图②，任意凸四边形的对角线相交于点O，分别记的面积为，求证：(3)如图③，在四边形中，对角线相交于点O，，则四边形的面积为___________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)21【分析】（1）根据三角形的高相同，面积比等于底的比求解即可；（2）分别过点作于点于点，再根据三角形的高相同，面积比等于底的比计算即可；（3）根据“任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等”求解即可．【详解】（1）∵，，；（2）如图，分别过点作于点于点．，，，；（3）∵，根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，∴，∴四边形的面积=+++=．故答案为：21【点睛】本题考查了面积及等积变换，掌握三角形的高相同，面积比等于底的比、任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等是解题的关键．14．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；(2)若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

【答案】（1）47°；（2）43°【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论；（2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论．【详解】解：（1），，，，，，．平分交于，平分交于，，．，，，．（2），平分交直线于，，，，．【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键是：（1）根据三角形内角和定理找出；（2）根据三角形内角和定理找出．本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐．15．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若，则____度，____度，____度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)；；(2)(3)不成立，，理由见解析【分析】（1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数；（2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系；（3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：；；．（2）与的关系为：，理由如下：由（1）得：，∵，∴，∴．∴．（3）不成立，存在，理由如下：在中，，在中，∵，∴，∴，∴，∴．∴（2）中的结论不成立．【点睛】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数．16．（2023·八年级课时练习）(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于()A．90°

B．135°

C．270°

D．315°(2)如图②，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝________°；(3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是______________．【答案】（1）C；（2）220；（3）∠1＋∠2＝180°＋∠A.【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；【详解】解：(1)∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角的和为90°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠C＋∠B)＝360°－90°＝270°.故选C.(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠C＋∠B＝180°－40°=140°∴∠1＋∠2＝360°－(∠C＋∠B)＝220°，故答案是：220.(3)根据（1）（2）的结果可得：∠1＋∠2＝180°＋∠A故答案是：∠1＋∠2＝180°＋∠A【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．17．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，与的角平分线交于点．

(1)若，，求的度数；(2)直接写出，，的数量关系；(3)若与的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．【答案】(1)(2)(3)（2）的结论仍然成立，见解析【分析】（1）顶角相等可得，，利用三角形的内角和定理得，，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得，，从而求出的度数；（2）顶角相等可得，，利用三角形的内角和定理得，，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得，，从而求出，，的数量关系；（3）的解析可得，时，，的关系与与的大小无关，所以，即（2）的结论仍然成立．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，得，，∵与的角平分线交于点，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴，得，，∵与的角平分线交于点，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴，，∴，得，，∵与的角平分线交于点，∴，∴，此时，，的关系与与的大小无关，即（2）的结论仍然成立．【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．(1)若，则______，______，______(2)若，则______．（写出求解过程）(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．【答案】(1)140，90，50；(2)35，过程见解析；(3)，理由见解析．【分析】（1）在中，由和三角形内角和定理求得，在中，由及三角形内角和定理求得，即可求得；（2）按照（1）的过程即可得到答案；（3）在中，．在中，，利用，即可得到答案．【详解】（1）在中，，，在中，，，；故答案为：140，90，50．（2）在中，，，在中，，，，故答案为：35；（3）与之间的数量关系为：．理由如下：在中，．在中，．，．【点睛】此题主要考查三角形内角和