专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（解析版）

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，若，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，由，即可得，根据两直线平行，内错角相等，即可得，，又由，即可求得与互余．【详解】解：过点作，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的度数为，故选：B．

【点睛】本题考查平行公理的推论，平行线的性质与垂直的定义．注意两直线平行，内错角相等．掌握辅助线的作法是解题的关键．例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，则，由平行线的性质可得，，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点作，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．例3．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【详解】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.例4．（2023下·广东广州·七年级校考期中）如图，，：：：：：：，若，则

【答案】【分析】过作，过作，利用平行线的性质可得，，，，然后设出未知数，利用方程思想解决问题即可．【详解】解：过作，过作，

，，，，，，，：：：：：：，设，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是正确作出辅助线，设出未知数，列出方程．例5．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，则．

【答案】/度【分析】过作，过作，可得，，，，，即可求解．【详解】解：如图，过作，过作，

，，，，，，设，，，，和分别平分和，，，，，，，，，解得：，；故答案：．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质，作出适当的辅助线是解题的关键．例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．【详解】解：如图所示，过点，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分线，，，，，，，，即．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键．例7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．【答案】/88度【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【详解】过点、、分别作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案为：．例8．（2023下·上海·七年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如图，过点G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．例9．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知，直线与直线，分别交于点F，E，点H在直线上．(1)如图1，点P在线段上，求证：；(2)如图2，平分，点P为线段上一点，且平分．若，求的度数；(3)如图3，平分，当H在直线上运动（不与点F重合）时，平分交于点N，于点Q，探究与的关系，并证明你的结论．

【答案】(1)见解析(2)(3)或，见解析【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得，再由三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和即可证明；（2）同（1）的证明，得出可求得结论；（3）点H的位置不同，结论不同，要进行分类．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）解：由（1）可得，，∵平分，平分，∴，，∴，（3）解：①如图3，，理由如下：，∵，∴，∴，∵，∴．②如图，，理由如下：

，∵，∴，∴，∵，∴．综上，可得当H在直线上运动（不与点F重合）时，或．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．课后专项训练1．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，已知，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，求出，根据平行线的性质求出，根据，求出．【详解】解：∵中，，∴，∵，∴，∵，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．2．（2023下·山东淄博·九年级校考期中）如图，直线，，为直角，则的度数（

）

A．65° B．75° C．115° D．135°【答案】D【分析】如图，过点作，可证明，根据平行线的性质可得，，根据为直角可得，可求出的度数，根据邻补角互补即可得答案．【详解】如图，过点作，

∵，∴，∴，，∵，为直角，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质及利用邻补角互补求角度，正确作出辅助线，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．3．（2022上·重庆沙坪坝·九年级校考期中）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），连接，若，．则的值为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可．【详解】∵，∴，∵，∴，故选：．【点睛】此题考查了三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．4．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，，，，判断与的大小关系（

）

A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据平行线的性质和直角三角形锐角互余即可求解；【详解】过C作于H，，，H、C、D三点共线，则，∵，∴，，；故选：C

【点睛】该题考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，解答该题的关键是将角度进行等量转换5．（2023下·河南焦作·七年级统考期末）若，则，，的度数之比可能为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过的顶点作，可得，利用平行线的性质求出，，可得，结合选项可得答案．【详解】解：过的顶点作，∵，∴，∴，，∴，∴，，的度数之比可能为，故C正确．故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．6．（2023下·河北邢台·九年级统考开学考试）已知表示两幢大楼，现从点分别对点进行观测，俯角分别为和，若点在同一条直线上，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】确定点对点进行观测的俯角即可求解．【详解】解：如图所示：由题意得：

由水平线互相平行可得：∴故选：C【点睛】本题考查俯角的定义：朝下看时，视线与水平面夹角为俯角．掌握相关定义即可求解．7．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，于C，E是上一点，，，，，则与与之间的数量关系为(

)A．B．C．D．【答案】C【分析】利用可以证明，，从而得到，再由，，推出，从而得到，继而选出选项.【详解】解：过点H作

∵，∴∵，∴∴∴同理可得：又∵，∴∵，，∴，∴∴故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．8．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是．

【答案】/度【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等，即可求出答案．【详解】解：过点作，如图所示：

，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键．9．（2023下·河南周口·七年级期中）如图，，，若，则．【答案】/26度【分析】过点作，则有，可得，，再由垂直可得，可求得，即可求．【详解】解：过点作，如图，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．10．（2023下·山东枣庄·七年级校考期中）如图，直线，，则．

【答案】/度【分析】过点作，进而可得，根据平行线的性质得出，根据已知条件得出，进而根据邻补角，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作

∵，∴∴∴∴∵，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．11．（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）如图，，，，则．

【答案】/度【分析】连接，根据三角形的内角和定理得出，进而得出，则，即可求解．【详解】解：连接，

∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．12．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，平分，，，则．【答案】【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．【详解】解：过E点作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．13．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，将一块含的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点，分别在直线，上，若，，则°．

【答案】40【分析】由题意可得，，则有，由平行线的性质可求得，即可求．【详解】解：如图，由题意得：，，

，，∵，，．故答案为：40．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．14．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线，的平分线交直线于点D，若，则的度数为．

【答案】/19度【分析】过点B作，利用平行线的性质求得，从而得到，再运用角平分线的性质得到，继而求出，最后利用平行线的性质得到．【详解】过点B作，∵，，∴∴，

又∵，∴，∴，又∵是的平分线，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查角平分线的定义，平分线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2023上·四川成都·八年级校考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则，．【答案】/40度/115度【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，解得．故答案为：；．16．（2023下·湖南湘西·七年级校联考期中）如图，于点C，E是上一点，，，平分，平分，若，则的度数为．

【答案】/70度【分析】延长交于点K，根据外角的定义、平行线的性质、角平分线的定义得到，，求出，则．【详解】解：如图，延长交于点K，

，，，，，平分，平分，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，平行线的性质等，有一定难度，解题的关键是正确作出辅助线．17．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）完成下面的证明：如图所示，，求证：．证明：过E作，∵，∴_____________（_________），∴_______（_______）．∵（已作），∴_______（_______）．又∵______，∴．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，过E作，根据平行线的判定与性质求解即可，熟记“平行于同一直线的两直线平行”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【详解】过E作，∵，∴（平行于同一直线的两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），∵（已作），∴（两直线平行，内错角相等），又∵，∴．故答案为：；平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；．18．（2023·成都市·九年级专题练习）在图中，若，又得到什么结论？【答案】【分析】根据图①可得，根据图②可得，即可根据规律得出题目的结论．【详解】解：①如图：过点E作，，,，，；②如图，过E点作，过F点作过G点作，，，，，即;③如图：，根据以上规律可得：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题意将复杂的图形转化为基本图形是解题的关键．19．（2023下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知：如图，已知，，求证：(1)(2)

【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据，得到，由平行线的性质即可得到；（2）由（1）知，再根据，得到，进而得到，由平行线的性质即可得到．【详解】（1）证明：，（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，内错角相等）；（2）证明：由（1）知，，，，（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等）．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质，灵活运用定理进行推理，是解此题的关键．20．（2022下·江西九江·七年级统考期末）解答(1)如图1，平分，平分，且．请判断与的位置关系，并说明理由．(2)如图2，且，当直角顶点移动时，写出与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，，为线段上定点，为射线上一动点（不与点重合），当点在射线上运动时，与有何数量关系？写出结论，并加以说明．

【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义，推出，利用同旁内角互补，两直线平行即可得出结论；（2）根据两直线平行内错角相等，可得，再利用外角性质即可得出结论；（3）根据两直线平行内错角相等，可得，再利用外角性质即可得出结论．【详解】（1）解：，理由如下：平分，平分，，，又，，；（2），理由如下：如图，延长交于点，

，，为的一个外角，，；（3），理由如下：如图，，，是的一个外角，，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键．21．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）已知：直线，点、分别在直线，上，点为平面内一点．(1)如图1，猜想，，的数量关系并说明理由．(2)利用（）的结论解决问题：如图2，已知，平分，平分，，求的度数．

【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）过点E作，根据题意和平行线的判定得，根据平行线的性质得，，根据，即可得；（2）根据题意得，，根据平行线的性质得，根据得，即可得，进行计算即可；【详解】（1），证明如下：证明：如图1所示，过点E作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形找到角之间的和差关系，熟练掌握平行线的性质．22．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作：第一次操作：分别作和的平分线，交点为．第二次操作：分别作和的平分线，交点为．第三次操作：分别作和的平分线，交点为．第次操作，分别作和的平分线，交点为．

(1)如图1，若，，求的度数．(2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由．(3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；（2）先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；（3）根据和的平分线，交点为，得出；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．【详解】（1）解：如图1，过作，

，，，，，；（2），理由如下：如图2，和的平分线交点为，由（1）可得，；和的平分线交点为，由（1）可得，；（3）如图2，和的平分线交点为，由（1）可得，；和的平分线，交点为，；以此类推，，当度时，等于．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．23．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）

(1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数；(2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系；(3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）在左边作，可证得，求解即可；（2）在左边作，根据（1）的思路可证得；（3）在左边作，利用（2）结论，再推理即可．【详解】（1）在左边作，则

，∵，∴，∴,∵，∴，∵与互余，∴（2）在左边作，则

，∵，∴，∴,∵，∴;（3）在左边作，则，，

，∵，∴，∴,∵，∴，∵，∴，∴，∵的平分线，∴，∵，∴．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和，掌握平行线的性质定理是解题的关键．24．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依