专题08 特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型（原卷版）

专题08特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。【知识储备】1）矩形的翻折模型【模型解读】例1．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，将沿翻折得到，点落在上．若，，则的长为(

)

A． B． C． D．例2．（2023·浙江·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，连接，将沿翻折，使点B的对应点恰为点E，则的长为（

）

A． B． C． D．例3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在矩形中，，翻折，使点落在对角线上处．(1)__________；是的__________．（中线、角平分线、高线）(2)求和的长．

例4．（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为．

例5．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，现将矩形沿折叠，点C翻折后交于点G，点D的对应点为点H，当时，线段的长为．

例6．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E，F分别为边和上的两个动点，满足．将四边形沿直线翻折，得到四边形，其中G为A的对称点．当点G落在直线上时，的长为．

例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时，．

例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝

°，＝

；(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长．2）菱形的翻折模型【模型解读】例1．（2023春·重庆八年级专题练习）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与，重合），折痕为，若，，则的长为．例2．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则点E、F分别为边、的中点．若，，则．

例3．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，菱形中，，M为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在的中点E处，则．

例4．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（

）

B． C． D．例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则的长等于．例6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，，菱形的面积为24，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到BC的距离为．

3）正方形的翻折模型【模型解读】例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（

）A． B． C． D．例2．（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图，在正方形中，E为边上一点，将沿着AE翻折得到，点D的对应点F恰好落在对角线上，连接，若，则．

例3．（2023·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P在CD上，将沿BP翻折后点C的对应点Q落在MN上，若，则PD的长为．例4．（2023·天津河东·统考二模）如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边恰好经过点A，过点A作，垂足分别为G，若，则的长度为．例5．（2023·山东济南·八年级统考期中）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是．例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求.例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．

(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．课后专项训练1．（2023·天津红桥·统考三模）如图，已知是矩形的对角线，点分别在边上，连结．将沿翻折，将沿翻折，翻折后点分别落在对角线上的点，处，连结．则下列结论中一定正确的是（）

A． B． C． D．2．（2023春·江苏八年级期中）如图，在矩形中，动点M从点A出发沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N运动的速度为每秒3个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与点D重合，则的值为（）A． B． C． D．3．（2023·重庆九龙坡·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点是边的中点，点是线段上一点，连接，将沿翻折，得到，点的对应点恰好落在线段上，若，，则点到的距离为（

）A． B． C． D．4．（2023·天津红桥·三模）如图，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于N，则线段的长为（

）A． B．4 C．5 D．5．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，菱形中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点，若的周长为18，的周长为38，则的长为（

）A．14 B．12 C．10 D．86．（2023春·重庆·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连接AE，点F在边AD上，连接BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=2DF；③=6：④GE=0.2，其中正确的有（

）7．（2023春·重庆开州·八年级校考期中）如图，矩形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，延长交于点，若，则．

8．（2023秋·海南海口·九年级统考期末）如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则．

9．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为．10．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则．11．（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝3；③AGCF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的是（填序号）．12．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是．

13．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形的边长为5，是边上的一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，则的长为．

14．（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于．

15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则.16．（2023·山东济南·统考三模）如图，在矩形中，，在上取一点E，连接，将沿翻折，使点B落在处，线段交于点F，将沿翻折，使点C的对应点落在线段上，若点恰好为的中点，则线段的长为．

17．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图，把菱形沿折痕翻折，使点落在边上的点处，连结．若，，则．18．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片按如下操作：【操作一】如图①，将正方形纸片对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕EF．则点B、点F之间的距离为_____________．【操作二】如图②，G为正方形边上一点，连接，将图①的正方形纸片沿翻折，使点B的对称点H落在折痕上．连接．